呼啦圈的物理学并不是平淡无奇的。几十年来，有不少研究论文发表。最重要的两篇，发表在读者众多的“American Journal of Phys-ics”（《美国物理杂志》）上[2,3].这两篇论文都把呼啦圈简化为在水平面内作近乎圆周运动的单个质点的受迫振动问题来处理，把人体的驱动简化为在的一条直线上的简谐运动或水平面内的椭圆运动（见图3）。研究重点是运用非齐次线性方程的解的稳定性的数学方法，找出呼啦圈稳定周期运行的条件。文献[2]假设支点A以圆频率ω在一段直线上作简谐运动，运动方程为
呼啦圈则是一个质量为m的质点，它的唯一广义坐标是角度,拉
格朗日方程是
式中的l是从支点A到质点m之间的不变距离，β是阻尼系数。方程（2）的普遍解牵涉到相当复杂的数学问题，在文献[2,3]中有详细讨论。从解中可以得到呼啦圈稳定运转的条件。
不论从运动员或教练的观点看，文献[2,3]中的单个质点平面运动的数学模型都过分简化了。真实的呼啦圈从来也没有在水平的二维平面中运动。由于重力，呼啦圈与水平面之间永远有一个不等于零的倾角。也是由于重力，呼啦圈会自动下滑。单纯的水平方向的力不可能使呼啦圈维持在水平面内运动。文献[4]和[5]报道了从生理物理学的角度对呼啦圈的工作原理所做的实验和理论研究。研究者们在人身体的各个部位和呼啦圈的多个点上设置了14个反光标志，用5台摄像机从各个角度记录运动过程，然后用数学统计方法对取得的数据进行分析。 人体的运动是用一个具有18个自由度的机械系统来描述的。研究工作的主要结论有以下几点：
（1）呼啦圈可以被描写为一个刚体在三维空间中的运动。运动员的目标是保持呼啦圈的角动量的垂直分量稳定。
（2）运动员的动作是对呼啦圈实施周期性的冲量（力乘时间），来保持角动量恒定。
（3）克服重力是呼啦圈运动的第一要素。运动员必须对呼啦圈施加向上的冲量来平衡重力。
（4）水平方向的冲量必须与呼啦圈的运动保持准确的位相关系，来保持最大的能量传递。
（5）为达到上述目标，不同的运动员的肢体运动方式是不同的。
虽然文献[4]和[5]的实验和数值统计分析是扎实和细致的，但是缺乏简单明了的解析数学模型。本文将以文献[4]和[5]的概念为基础，建立一个解析的物理模型，最后获得一组可以用来指导实际训练的简单公式。这个物理模型的理论基础是几个基本力学原理，包括垂直方向的动量守恒，水平方向的离心力和身体作用力的平衡以及能量守恒。
图4是呼啦圈的三维刚体运动模型的示意图。首先考虑垂直方向的动量守恒。呼啦圈在稳定运转的时候，周期T和频率f的关系是
