摘 要： 数学之美无处不在, 斐波那契数列则是其中最为突出的一个, 它在自然界中是一个完美的存在。本文就斐波那契数列进行研究。重点在于研究如何有效判断某一数列与斐波那契数列的契合程度, 这将有助于帮助寻找生活中的斐波那契数列。本文首先通过引用损失函数与归一化对原始数据进行规范处理, 随后对规范数列进行契合度计算。契合度计算主要引入拟合优度、相关系数等概念, 并结合加权运算提高算法的稳定性。寻找生活中的斐波那契数列, 不仅会让你发现花瓣下的奥秘, 股票中的波浪理论, 更会让你发现生活中的数学世界。
关键词： 斐波那契数列; 损失函数; 归一化拟合优度; 相关系数; 加权运算;
1、 问题背景
1.1、 斐波那契数列介绍
给出如下一组数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…根据观察可以发现, 该数列自第三项开始, 每一项的数值都等于所对应的前两项的数值的和, 这就是着名的斐波那契数列。斐波那契数列是意大利数学家列昂纳多·斐波那契根据对兔子繁殖后代的规律所提出发现的数列, 所以又叫兔子数列。
1.2、 斐波那契数列的一些表达与性质
斐波那契数列的一般表达式如下:
其中, F[1]=1, F[2]=1。
由以上公式可知斐波那契数列是一个递增数列, 研究证明斐波那契数列随着项数的逐渐扩大, 前一项与后一项的比值无限趋近于黄金分割率。并且从第二项开始, 每个奇数项的平方都比前后两项之积多1, 每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。通过数学推理还可以得出其两倍项关系。
除了以上优美的性质, 斐波那契数列还有着无数迷人的性质。斐波那契数列在数学中是优美的存在, 在自然界中它同样保持光彩。
1.3、 现实中的斐波那契数列
相信不少人知道向日葵, 但却很少有人知道向日葵中的数学。通过观察发现, 自然生长状态下的向日葵植株的花序虽然不同, 但都与斐波那契数列中的数据有惊人的相似。通过进一步的学习发现不仅在向日葵中存在斐波那契数列, 在其他无数种植物的生长中都能够看到斐波那契数列的身影, 甚至在人类的金融市场上也存在以斐波那契数列为基础的波浪理论。通过以上资料, 或许你能够了解波浪理论, 但我们需要如何去寻找并发现生活中的斐波那契数列呢?
1.4、 如何寻找斐波那契数列
斐波那契数列非常奇妙, 但如何才能从自然界中的数以万计的不规则数据中找到斐波那契数列呢?本文针对以上问题做了深入的观察和研究, 并结合相关的数学知识, 提出了一种计算数列与斐波那契数列相似度的计算算法。首先本文引用损失函数与归一化对原始数据进行规范处理, 随后对规范数列进行契合度计算。契合度计算主要引入拟合优度、相关系数等概念, 并结合加权运算提高算法的稳定性。通过以上算法, 可以得到一个数列与斐波那契数列的相似程度, 进而更好地筛选出自然界中的斐波那契数列。
2、 算法模型
该算法首先引用损失函数与归一化对原始数据进行规范处理, 使得杂乱无章的数据变的比较规范, 同时还能提高结果的准确性。随后算法对规范数列进行契合度计算。契合度的计算主要引入拟合优度、相关系数等概念, 由于数据的不稳定性, 该算法结合加权运算对拟合优度与相关系数进行加权求值, 进而提高算法的稳定性。
2.1、 数据预处理
2.1.1、 基于损失函数的最优匹配算法
假设拿到如下现实数据:2, 3, 8, 13, 21, 34。首先, 建立损失函数:
其中, ai表示以上数组的第i项, F[j]表示斐波那契数列的第i项。在取得最小值时, ai与F[j]进行匹配。
显然以上所给数据是不完整的, 通过计算机进行匹配可得, 该数列分别与斐波那契数列的第3, 4, 6, 7, 8, 9项对应。
2.1.2、 基于归一化的数据规范处理
归一化是一种简化计算的方式, 即将有量纲的表达式, 经过变换, 化为无量纲的表达式, 成为标量。在对数据的处理过程中, 我们会发现数字的匹配是杂乱无章的, 因此需要对数据进行类似于归一化的规范处理。在该算法中利用斐波那契数列的表达式, 即式 (1) , 可将数据逐项向前求解。例如2.1.1中数据, 可规范化为1, 1, 2, 3, 5, 8。
2.2、 拟合优度的推广运用
拟合优度是指回归直线对观测值的拟合程度。度量拟合优度的统计量是可决系数R2。R2的最大值为1。R2的值越接近1, 说明回归直线对观测值的拟合程度越好;反之, R2的值越小, 说明回归直线对观测值的拟合程度越差。
样本可决系数的定义公式如下:
其中y表示标准斐波那契数列值, 表示需要验证的值, 表示所需要验证的数列的平均值。经过分析可知, 以上表达对于非线性的斐波那契数列不能起到非常好的评价作用。
通过对拟合优度的深入理解和分析发现, 其所具有的性质也可用在数列的相似度计算上。将拟合优度进行以下优化, 针对数列能够达到更好的效果:
对以上公式进行分析可知, 上式取消了均值的求取, 因为对于数列来说线性度不高, 故做以上修改, 对后式开方可以增大其灵敏度, 对数列相似度能够提高效率。
2.3、 相关系数的运用与求解
在统计学中, 协方差用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况, 即当两个变量是相同的情况。本文通过引入协方差进而引入相关系数对两个数列的相关性进行研究。协方差的求解公式如下:
其中E (X) , E (Y) 分别表示数列X, Y的期望值。
在引入协方差的基础上, 可引入相关系数, 如下:
其中D (X) , D (Y) 分别表示数列X, Y的方差值。
2.4、 加权求值
在2.2, 2.3中, 分别对拟合优度与相关系数进行了优化与分析;显然可以知道其值均在0到1之间, 并且分别从不同的角度代表着两个数列的相似程度。通常数据会有一定的局部性, 因此拟合优度与相关系数对数列的相似性的决定程度可变, 这样有利于算法的优化。求解公式如下:
其中ρXY, r分别表示相关系数与可决系数, α, β分别表示相关系数与可决系数的权重。α, β的默认值分别为0.5, 0.5。
2.5、 对算法的结果的处理分析
通过以上算法可以得到最终的结果P, 很显然如果检测的数列是斐波那契数列得到的P值为1, 则可以接受其为斐波那契数列;在该算法中, 可视实际情况对P值进行限定, 大于P值则将其分类为斐波那契数列。原则上P值的取值范围大于0.5。
3、 算法的推广应用
3.1、 算法对数列的预测
通过对向日葵花序的数据进行分析, 如果对数据分析之后接收数列为斐波那契数列, 可以对下一轮花瓣的花瓣数进行预测, 也可以对向日葵花瓣层数进行差项的预测。当然预测不仅仅局限于向日葵, 对于斐波那契数列均可。
3.2、 算法对缺省值的填充
通常, 我们所获得的数据有可能会有一些缺省值, 也就是流失值, 在处理这类值时, 如果在没有相关的信息的情况下, 如果我们能够得出其为斐波那契数列的结论, 则可对该缺省值根据斐波那契数列的性质进行推导填充。
3.3、 在金融股票方面的运用:波浪理论
波浪理论是美国证券分析家拉尔夫·.纳尔逊·.艾略特利用道琼斯工业指数平均 (Dow Jones Industrial Average, DJIA) 作为研究工具所发现的一个金融理论, 通过这一理论, 可以对股票的走势进行预测。在波浪理论中, 其基本要点之一是黄金分割率奇异数字组合是波浪理论的数据基础。这也就是说, 波浪理论与黄金分割率一样, 与斐波那契数列有密切的联系。即对斐波那契数列的发现与研究可以更好地对股票市场进行分析预测。
3.4、 斐波那契数列的研究展望
斐波那契数列承载着数学之美与大自然之美的连结, 它用简单的数学语言阐明了部分自然规律, 更可贵的是, 它还有着广泛而深刻的实际应用价值, 在金融等诸多领域都能发挥自己独特的作用, 我相信, 对斐波那契数列的深入研究学习将会很大程度地促进人类社会的进步与发展。
4、 总结
(1) 本文中提出的损失函数为取绝对值最小的解;函数部分的实际数据优化处理未考虑一数与两不同的斐波那契数差的绝对值相等的情况, 可能导致匹配紊乱;而且处理比较粗糙, 有待改进。
(2) 由于所学知识有限, 本文在加权运算部分最终所得的加权系数的确定没有做详细的分析。
