新课程实施以来,小学数学教育经历了并正在经历着一场涤荡与碰撞式的洗礼,其中有教学模式变革的是非之争、有数学化与生活化的取向之辩等.但在数学教育这种形式热闹的背后,因教育评价的迟缓与踟蹰,原本属于文化范畴的数学思想在小学数学课堂教学中却更加边缘化了.
作为数学本身的博大精深和文明智慧的象征,数学思想的缺位意味着数学本身的文化意味及价值追求在课堂教学中应有位置的旁落.我们目睹数学教学 "先学后教,因学定教"等教学模式的变革,我们亲闻数学教学呼唤儿童立场回归的呼唤,我们追求 "数学化"和 "生活化"走向平衡的教学,我们更期待着以思想文化润泽的数学课堂.
一、现实拷问: 在数学基本知识之外,我们给孩子的还应该有什么
数学课程改革的一个重要方向是让数学教学实现两个回归: 一是让数学教学回归儿童,关注儿童的生活; 二是让数学教学回归数学本身.由此可以看出,数学之于儿童不仅是一种指向结果的 "经验数学",它还是一种着眼于数学知识获得过程的 "建构数学"[1].因此,儿童视域中的数学就不应简单地等同于数学知识的汇集,不应被看作无可怀疑的真理的灌输,而应是在数学思想引领下儿童学习数学知识的一种有意义的建构.然而反思当下的小学数学课堂,除了做题与练习,我们给予儿童的还有什么? 日本学者米山国藏说:
"在学校学的数学知识,毕业后若没什么机会去用,一两年后,很快就忘掉了,然而,不管他们从事什么工作,唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等,这些却是随时随地发生作用,使他们终生受益."[2]29从中可以看出,真正的数学教学蕴含着思想与方法的精髓,也关联着人看待世界的态度与改造世界的素质.反观我们培养的小学生,他们只会快速解答数学题,而不知此题所包含的人文精神; 只会机械地使用教师教给的固定方法,而不知感悟数学思想并从中学会多元思考.着名数学家柯朗 ( R. Courant) 曾尖锐地批评数学教育: "数学的教学逐渐流于无意义的单纯演算习题的训练.固然这可以发展形式演算能力,但却无助于对数学的真正理解,无助于提高独立思考能力,不幸的是,教育工作者对此应负其责."[3]
纯知识的工具性的技能教育已使得当今儿童的数学学习越来越单调与封闭,他们在这种功利性的重复与应试中逐渐丧失学习的主动性和思维的灵性.也正因此,我们时常遭遇类似悖论的奇怪现象: 一些数学成绩非常好的学生却很不喜欢学习数学,甚至是达到厌恶的程度.学生在学习数学过程中除了做大量的练习题以外,从未体验过真正的 "生活化"与 "数学化"的过程.学生已经成了解题的工具,数学的教育功能也全然离开了学生的数学课堂,数学的工具性已把儿童与教育割裂开来.在课堂数学中,学生已经感受不到数学丰富的方法、深邃的思想以及数学家严谨而科学的精神,他们也就不会领略到数学文明发展进程中豁然开朗的顿悟以及由此而滋生的超越前人的心向与憧憬.而少却了思想与文化的数学,又将以什么给儿童思维与生命的润泽? "让数学教学走出单纯工具的窠臼,还数学教学思想与文化之本质",这应该是一个返朴归真的应然选择.
二、本质诠释: 数学思想的真实意蕴与内涵
我们常说数学的灵魂是数学的精神和思想,那么数学的思想又是什么呢?史宁中教授从数学学科和教育学的角度描述了数学思想的认知标准: 数学产生和发展所依赖的思想,这是标准之一; 学过数学的人与没有学过数学的人的根本差异,这是标准之二.
邵光华教授认为: "从数学教育方面来讲,数学思想应被理解为更高层次的理性认识,那就是对于数学内容和方法的本质认识,是对数学内容和方法进一步的抽象和概括."[5]笔者认为,数学思想是对某些具体数学认识过程中知识、方法的高度提炼和简明概括,并在后续的认识活动中被循环证实其适用性和正确性,带有一般意义和相对稳定的特征的东西.它呈现了数学发展中的一般规律,对数学发展起着指引方向的作用,它支配着数学的实践活动,是数学的灵魂和核心.数学逻辑结构的一个重要和特殊要素就是数学思想,整个数学学科就是从这些思想的基础出发,并按照这些思想衍生、丰富起来的.事实上,无论是数学概念的界定、数学规律的证明还是数学问题的解决及整个数学系统的形成,其关键核心都在于数学思想的确立.我们可以从以下四个方面来考虑这一关键点.
( 一) 教育之于思想
数学家王世强认为,数学思想有利于促进人类理性精神的形成.他说,数学教育是非常重要的.一是因为数学有广泛应用性; 二则在于数学教育中的思维训练能促进人们养成理性的探索精神.
在具体的教育教学中,教师只有适时地渗透数学思想,才能引领学生触及数学的灵魂,丰富学生的数学素养,提高学生的创新意识和实践能力.
( 二) 文化之于思想
克莱因 ( F. C. Klein) 认为: "数学是现代文化创生的主要力量,同时又是现代文化中重要的元素之一."[7]数学文化的主要内涵是数学的基本知识和基本技能、基本的思想和方法,其精髓是数学思想.人们在学校学习获得的数学知识,随着时光的远去多数会慢慢淡忘,而那些存留下来的对人的思维方式、价值取向起作用的东西,就是数学思想.
( 三) 方法之于思想
数学思想与数学方法之间有着千丝万缕的联系,但二者也有着自身的特征.首先,数学是一种寻求大家认同的公理法则的方法.这种方法包括科学地界定概念的定义以及严谨地陈述出作为推理基础的公理.其次,数学也是一门蕴含创造精神和探索意识的学科.在探究未知证明的内容时与构思证明的方法时相同,数学家利用高度的直觉和想象,即思想的深度与高度.
( 四) 知识之于思想
数学思想来源于数学知识本身,又高于数学知识本身.它是对数学知识的本质认识,是从某些具体的数学内容和对数学的认识中提炼升华出的数学观点,其正确性在其后的认识活动中被反复运用,带有普遍适用意义,是建立数学和用数学解决问题的纽带.数学思想与数学知识是共生的个体,不是割裂的二物.没有脱离数学知识的数学思想,也没有抛弃数学思想的数学知识.
米山国藏曾说: "不论是科学专家、技术人员还是从事数学教学的教师,数学最高的追求是数学的精神、思想和方法,而数学知识只是次要的."[2]27基本的数学思想可以概括为三个方面,即"符号化与变换的思想" "集合与对应的思想"和"公理化与结构的思想".对小学而言,数学思想大致可细分为十个方面,即对应思想、符号思想、化归思想、类比思想、分解思想、参数思想、数形结合思想、归纳思想、演绎思想和模型思想.
三、价值追求: 小学数学教学渗透数学思想的方向索引
小学数学蕴含了丰富的数学思想,它以或明或暗的方式贯穿数学教材中.如果把数学看作一条知识的长河,数学知识就如一簇簇浪涛清楚地反映在教材上,而数学思想就像一股下隐的思潮静水流深.明线清楚明晰,暗线若隐若现.教师只有领悟并掌握数学思想方法,明确渗透数学思想的方向与路径,深入挖掘教材,灵活设计教法,才能在数学课上以数学思想涵泳学生的文化素质,提升数学素养.那么,在具体教学中渗透数学思想的方向是什么呢?
( 一) 从割裂走向统整
数学思想的教学不是简单地将其从外部直接注入数学知识的过程.前文已述,数学思想总是伴随着数学知识的发生发展,数学知识与数学思想是紧密地联系在一起的.数学是知识与思想的有机结合,没有不包含数学思想的数学知识,也没有游离于数学知识之外的数学思想.每一种数学思想的呈现都有一定的概念、法则、公式等知识的承载,而每一种数学知识的掌握、数学技能的习得,也都有数学思想方法的潜在的渗透与影响.
教师需要建立一种整体统一的观点,在知识教学中引领学生感悟思想,在思想体验中反观知识的发生发展,从而获得统一联系的认知结构.
( 二) 从狭隘走向宽泛
教学是面向儿童当下认知现实的选择,也是着眼其未来成长与发展的选择,即儿童成长的现实性与可能性.在教学中,教师应该有一种宏观与宽深的视域,既要关注数学思想方法在学生已有经验中生长,又要关注在知识教学过程中数学思想本身从平面走向立体的过程.例如,化归思想的教学有具体问题向抽象问题转化,也有抽象问题向具体问题转化; 有复杂问题向简单问题转化,也有未知问题向已知问题转化; 有整体向局部的转化,也有正面向反面的转化.从教材的编排序列来看,不仅有形到数的转化,也有数到形的转化,还有形与形的转化.从学生的已有经验来看,不仅有简易直观的一次转化,也有纷繁复杂的数次转化.
( 三) 从内隐走向外铄
在小学数学教学中,数学思想的形成是一个渐进的过程,它总是随着数学知识的难度加深而表现出相应的层次性.教师要有意识地让学生经历数学思想的孕育、形成和发展的过程.从学习者角度来看,可见性知识往往是可以用语言传授的知识; 而内隐性知识更多的是需要儿童自身的体验,进而用自己的思维方式 "再创造"的数学活动.对于内隐于数学知识教学中的数学思想教学,尤其需要教师引领学生更多地经历数学活动,从而让学生从生活世界走向符号化世界直至垂直数学化.这一过程也就是一个感悟、体验、探索到应用的过程,在这个过程中数学思想不断地从内隐的体验感受走向外铄的意义赋予.
( 四) 从表达走向体悟
数学知识是人类生命实践活动智慧的结晶,是前人通过探究、比较、归纳和验证而形成的.其中,形象化的实物渐趋成为符号化的表达,数学知识也逐渐变成了符号化的知识,[11]因为这种简约的符号化表达,儿童的数学学习省却了前人生命实践活动的丰富经历和深刻感受.
真正的数学思想的获得不是简单地灌输和告诉,而是学生在数学活动中不断体验和感悟.换言之,这种指向于过程的真切体悟,正是儿童生命成长的思想建构.
当教师循着这个方向,数学教学就赋予了儿童生命成长意义的关怀.在知识与技能的教学中,我们就会让学生经历像数学家那样发现真理的创造过程; 在过程与方法的教学中,我们就会有意地让学生积累丰富的活动经验,从而提炼、感悟数学的思想方法; 在培养学生数学情感与态度中,我们就会呈现前人探究数学知识本原的严谨与执着,让学生学会用数学的眼光去观察事物、用数学的方法去解决实际问题,让学生的心田始终体验着数学思想与文化的氤氲.
四、田野践行: 小学数学教学渗透数学思想的策略选择
数学思想是数学知识的精髓,也是知识转化为能力的桥梁.如何在小学数学教学中渗透数学思想,实现数学教学向儿童和数学本身的回归呢?
首先,教师要革新原有的狭隘功利的数学教学模式,树立科学正确的数学教学观、数学文化观、数学价值观.其次,教师应站在数学思想的高度,以数学知识为载体,从儿童已有的经验和认知特点出发,遵循统整、宽泛、外铄和内化的渗透原则,通过整体把握、过程探究和实践应用等途径予以适时的挖掘、提炼和渗透,从而促进学生数学知识和思想方法全面而均衡地发展.
( 一) 结构化的整体设计,显化数学思想
作为数学文化源头的西方,对于数学历来有这种说法, "上帝是按照数学原则创造这个世界的."小学数学教材的编排也体现着结构化与系统性的特点.笛卡儿曾有这样一个问题解决的数学设想,他拟将一切问题变成数学问题,再把数学问题转化成方程问题,从而运用问题中的已知量和未知量之间的数学关系,把生活语言转化成代数语言.
这正是方程思想的基础内涵与价值追求.但是,小学阶段的学生在解应用题时通常使用算术方法,排斥方程思想.因为在用算术方法解题时,让具体的已知数参加运算,算术的结果就是要求的未知数的解,学生习惯了从已知出发再到未知的思维方式.而在代数中用字母表示的未知数和已知数一样,按照运算规律参与运算,可以通过移项改变自身的位置,清晰地呈现已知和未知的数量关系.随着小学生数学学习认知心理的逐渐成熟,我们应在合适的时机渗透方程思想.只有这样,学生的数学发展水平才能持续而深入地提高.在解答稍复杂的分数应用题、工程问题、行程问题中的追及问题、鸡兔同笼等问题时,运用方程思想解答比较简便,因为用字母 x表示未知数后,数量关系更加明显,解题思路更加清晰.在数学发展过程中,函数思想与方程思想有密切的关联,因为方程的动态变化性,函数在一定的空间域内把变量之间的关系归纳成了集合中元素与元素的对应.数学思想是现实世界中数量关系深入研究和数学本身不断发展的必然产物.对于变量的重要性,恩格斯在 《自然辩证法》一书有关 "数学"的论述中有过精辟的阐述:
"数学中的伟大的分水岭是笛卡儿发现了变数,因为变数,运动进入了数学; 因为变数,辨证法进入了数学; 因为变数,微分与积分也很快变得必要起来."这样来看,方程思想本质而辨证地反映了数量关系的变化规律,它体现着数学鲜明的结构性和整体关联性.又如,在乘法口算练习中有如下三组题:
8 × 6 = 40 × 6 = 300 × 900 =
80 × 6 = 40 × 60 = 30 × 900 =
800 × 6 = 40 × 600 = 3 × 900 =
一般情况下,教师在学生口算回答正确后也就不再追问,而有经验的教师会让学生先计算,后比较答案,接着让学生观察所填答案找出规律,思考答案变化的原因.在此基础上,再呈现含有除法的两组题:
45 × 8 = 1500 ÷ 300 =
15 × 8 = 1500 ÷ 30 =
5 × 8 = 1500 ÷ 3 =
通过进一步的观察对比分析,学生总结出"两个数相乘或相除,当一个数变化,另一个数不变时,得数变化是有规律的".在数学教学中,探究具体问题中变量之间关系一般用解析式来表示,这时可以把解析式理解成方程,初高中阶段的正反比例函数、一次函数、二次函数、幂指对函数、三角函数等都可以通过对方程的研究去分析解决问题.小学数学教材中对比也有体现,如在分数应用题中,一个具体的数量往往对应于一个抽象的分率,只要找出数量和分率的对应,问题就会迎刃而解; 在行程应用题中,物体运动的路程对应于其本身运行的速度与时间.学好这些函数是继续深入学习数学所必需的,通过整体结构化的教学设计显化函数思想,不但能达到解题的要 求,而且打开了解题思路,丰富了解题方法.
( 二) 数学化的过程参与,点化数学思想
数学教育家斯托利亚尔研究指出: 儿童的数学思维活动水平一般分为三个层次.第一层次是数学描述,即经验材料的数学组织化,主要是儿童借助于直观形象的观察、尝试错误、归纳和类比的方法呈现经验材料; 第二层次是数学抽象,即数学材料的逻辑组织化,主要是儿童在积累的经验材料中抽象出本质属性、原始概念和公理体系; 第三个层次是数学理论在实践中的应用.
由此看出,数学基本思想的获得需要学生参与到数学地组织现实材料的过程,即 "经验材料化"和 "数学材料逻辑化"的过程,而这种过程正是数学的本质与核心不断被点化与显现的过程.
在数学概念的教学中,有些教师常常只是从告诉的角度让学生知道几个数学概念,这种简单而功利的教学非常不利于学生数学思想的形成.
关注学生数学思想的生长,必须让学生充分经历概念从生活现实走向数学现实的数学化过程.
在教学 《圆的认识》时,笔者引导学生利用聚化思维在反复追问中,不断去粗取精,去伪存真,从而实现数学抽象.首先,教师用圆规在黑板上示范画一个圆,接着让学生用圆规在练习本上也画一个圆,再引导学生观察比较两者的相同点,从而使学生知道画圆要先定点,再拉开圆规两脚,旋转一周成圆.其次,让学生观看在操场上画一个更大的圆的两段视频.片断一是体育教师以自己为中心用灰勺旋转一周画一个圆; 片断二是固定绳子一端,拉直绳子,旋转一周形成一个圆.
教师追问: 要画更大的圆,怎么办? 再次比较这两种画圆方法的共同点.最后,让学生在头脑中形成无形的圆.先是用一根一端系着小球的绳子甩动一周,让学生想一想小球走过的路线是什么;其后让学生观察时钟上秒针旋转一周针尖留下的痕迹,再将这一层次的画法与前两个层次进行比较.在这三个层次的基础上,聚焦分析: 这三种方法都画出了一个圆,他们有什么共同的地方?
进而揭示出圆的三个要素: 定点、定长、旋转一周.就这样,圆的非本质属性不断去除,本质属性逐渐析取,学生对于圆的特征的认识越来越清晰和深刻.
( 三) 应用化的问题解决,深化数学思想
在课堂教学之外,我们还要让学生在实践中体察和感悟数学思想.教师要以开放的教学视野引导学生走出教室,在数学实践活动中,丰富活动经验,感悟数学思想.转化是解决数学问题常用的思想方法之一,表现为在解决一个陌生的新问题或复杂问题时,要设法将其转化为已知的旧问题或简单的问题,即化新为旧、化繁为简、化难为易,从而顺利解决问题.在教学测量不规则物体体积时,笔者让学生测量一个山芋的体积.
山芋是一个不规则的物体,没有可以直接使用的体积计算公式,但我们可以通过转化使其体积等同于规则物体的体积来测量.只要把山芋放入装有水的长方体 ( 或圆柱体) 容器里,先量一量容器的长和宽 ( 底面半径与高) ,再量出水面升高的高度,然后用升高部分的长方体 ( 或圆柱体) 体积与这个山芋的体积等同转化,就能顺利解决问题.一个初看很难的问题,通过转化不仅促进了学生问题解决能力的提高,还深化了学生对转化这一数学思想的认识.
数学与数学教育有着深刻而丰富的内涵意蕴.作为工具的数学,着眼于结绳计数式的问题解决与方法应用; 作为文化的数学,指向于人类精神与智慧成果的传播与继承; 而作为教育的数学,它立足于受教育者生命的全面丰盈[15].在小学数学教学中,我们企盼给学生活泼而灵动的数学,不应仅是数学课上单调的公式、机械的计算甚至是漫无边际的题海; 我们憧憬真切感知与理性思考交相辉映的课堂,学生经历数学探索的历程,沐浴数学方法、思想和精神的润泽,体验数学思想的理性、智慧与美.唯有此时,数学已经以思想存在的方式真正渗入了课程、到达了课堂、溶入了教学,数学教学也就会以文化的方式亲近儿童,亲近儿童的生活.
[参 考 文 献]
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