摘要：数学教学提倡探究学习，探究问题是有效开展探究学习的关键。如何设计典型的探究问题是中小学数学教师普遍关心的问题。文章以小学生的心理特点和小学数学课程特点为依据，提出了小学数学探究问题的设计依据与原则，并以“众数”这一典型概念性知识为例进行了分析与设计。在此基础上，根据文中所提的设计依据与原则，选取小学数学四年级下册所有知识点设计了典型问题，并在小学数学课堂开展了为期一学期的探究教学实践。最后，对探究问题在数学课堂中的应用效果进行了分析。基于认知过程的小学数学典型探究问题的分析能够为教学设计、课堂交互及学习环境设计提供依据和参考。
关键词：小学数学； 探究问题； 问题设计； 认知过程；
一、引 言
世界各国都非常重视探究在数学学习和教学中的作用。近年来，美国政府特别强调让学生参与真实科学探究活动的重要性[1][2].在欧洲、澳大利亚、以色列等地，课堂教学也特别强调探究活动[3].《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》指出学校给学生留下了解社会、深入思考、动手实践的时间。探究教学是新课程改革倡导的教学方式。
问题是数学创新的基础，是数学探究性学习的起点。探究学习特别强调问题在学习活动中的重要性[4],恰当的探究问题能够激发学生的好奇心和求知欲，引导学生积极思考，培养学生完整的思考能力及逻辑方法，提高教学活动的针对性和有效性。《义务教育数学课程标准（2011年版）》也强调教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，为学生的发展提供良好的环境和条件。典型问题是开展探究学习必不可少的“环境和条件”.探究问题的设计充分体现教师作为学生学习活动的组织者、引导者的作用。在探究教学过程中，教师需要有明确的探究方向。然而，前期调研发现， 小学一线教师期望在课堂教学中开展探究教学，但缺乏对探究问题的分析，不能掌握设计探究问题的有效方法和手段， 以致在课堂教学中普遍存在“探究形式大于内容”的现象。如何设计探究问题是中小学一线数学教师普遍关心的问题，是有效开展探究教学的关键， 也是提高学生创新思维能力的有效途径。本文首先提出了小学数学探究问题的设计依据和原则；然后，以“众数”问题为例进行了分析设计；在此基础上， 设计了小学数学四年级下册的典型探究问题，并在小学数学课堂开展了为期一学期的探究教学实践；最后，对典型探究问题在数学课堂中的应用效果进行了分析。
二、 相关研究
（一）探究教学模式及策略
关于探究教学模式，Poon等提出了小学教师探究教学框架，并在四所小学开展了探究教学实践，发现概念性知识和程序性知识在探究活动中非常重要[5].王晶莹采用文本分析法，比较研究了中美四位科学课程教师的探究教学模式，发现美国教师的探究教学以问题为核心，让学生进行内隐的学习，通过问题使学生反思，从识别问题、形成假设、制定计划、实验探究、分析数据、验证假设、解释结果、回顾反思到实际应用，是一个以问题为中心的循环开放系统，而中国教师多是关注探究教学中知识和技能这一维度的目标[6].
在小学数学探究教学方面，Stafylidou等研究发现，学生在探究分数的意义及大小时，经常使用无效甚至错误的策略[7].如果教师直接告诉学生答案，探究学习则变成了简单的知识传授。教师需要掌握探究学习过程，当学生探究过程中出现问题时，教师才能给予恰当的引导。Fernandez等对日本小学数学探究教学研究发现，教师给出的探究问题是探究教学的四个关键内容之一[8].波利亚认为数学教学应该给学生提出一些引起思考和争论性的题目，尽量让学生在现有条件下亲自去发现尽可能多的东西[9].
（二）探究问题的类型与设计
关于学生提出探究问题的类型和训练方法，Gott、Watson及Chin等研究者对学生提出探究问题的类型进行了研究[10][11][12],由于研究情境的不同，问题类型存在较大差异。Koufetta等给出了提高学生提出探究问题的训练措施，包括小组讨论、头脑风暴、创设有趣情境等[13].Chin等强调探究问题在课堂教学中的重要性，把非探究问题称为低级问题，探究问题称为高级问题[14].罗国忠给出了提出探究问题的三个阶段，即产生问题意识、试图表述问题、用科学的语言表述问题[15].
在探究问题设计方面，Ding等采用学生访谈的方法，消除物理专家和学生看待问题的视角所产生的影响，来提高问题设计的有效性[16].李红美分析了交互式探究教学中设计教学应答系统（Audience ResponseSystems）问题理论框架[17].Pengfei Li给出了教学应答系统应答问题的设计步骤[18].
关于探究问题的教育意义，Lock研究发现仅仅基于学生兴趣所提出的很多问题探究性差，甚至没有教育价值[19].因此，在设计探究问题过程中，考虑学生兴趣的同时更应重视探究问题背后的教育价值。Jong对荷兰中学生的研究表明，探究学习班级的学生在概念性知识上得分高，传统教学班级的学生在程序性知识上得分高[20].
（三）信息技术支持的数学探究学习
在信息技术支持数学探究教学方面，Baki等研究发现，和传统教学相比，应用动态几何软件（DynamicGeometry Software） 能提高一年级数学专业师范生的空间识别技能[21].Falcade等人使用了动态几何软件中的跟踪工具帮助学生探究函数的概念和轨迹[22].Eysink等比较了技术环境支持下不同学习方法的有效性， 研究发现探究学习在发展更深层概念知识上是最有效的[23].基于Web的问题解决能力训练和评估系统IMMEX （Interactive Multimedia Exercises）中的问题解决也强调科学探究的重要性， 并详细记录探究过程[24].
（四）评述
通过以上文献分析发现，数学探究问题的研究已引起了研究者的重视。美国探究式教学更多倾向于课程内容，而我国的探究教学更多是从教学法、教学策略等方面来讨论。目前关于数学探究问题的设计更多倾向于教师个人经验，主观性强，缺少对问题解决认知过程的分析和科学设计。
三、 探究问题设计依据与原则
（一）探究问题设计依据
小学数学探究问题设计过程中既要考虑小学儿童心理特点、生活经历，又要考虑前修知识和问题解决的认知过程。认知过程分析是依据小学数学问题解决认知模型， 分析问题解决认知过程并给出具体描述。魏雪峰选取小学数学两类典型知识，并以“众数”[25]、“异分母相加”[26]为例分析了问题解决认知过程，实现认知模拟，讨论了其对数学教学的启示。认知过程分析的结果能够为探究问题的设计提供重要依据。
小学生思维的基本特点是从以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式，但这种抽象逻辑思维在很大程度上仍然是直接与感性经验相联系的， 仍然具有很大成分的具体形象性[27].皮亚杰认为小学生处于具象思维发展到抽象思维的过渡阶段[28].虽然在当今信息时代，小学生已初步显示出“数字原住民”（Digital Natives）的特征[29],其认知发展阶段存在个性化差异，但是认知发展阶段的顺序并没有改变。在小学阶段，教学的直观性是引起儿童注意的重要条件。“数数”解题过程中“掰手指”、实物与数字的对应，都突出了“实物感知”在小学儿童数学学习过程中的作用。
实验研究表明：7、8岁儿童的记忆能力和学前儿童比较起来，差别不大[30].有意识记和抽象逻辑识记初步发展，无意识记和具体形象识记仍然占有主要地位。随着儿童进入小学阶段的学习，有意识记、抽象逻辑识记、理解的识记逐渐占主导地位。
（二）探究问题设计原则
1. 问题表述符合小学生的认知水平
分析小学阶段一到六年级数学教材发现，小学数学课程内容从具体到抽象，小学一、二年级以具体实物为主，随着年级升高，课程内容抽象度越高。探究问题设计过程要符合小学生的身心发展规律和认知规律，反映小学阶段数学学习的特点。问题的表述应该符合小学生的认知水平，避免“成人化”、“学术化”,尽量采用图形和表格的形式呈现，以帮助学生理解问题的含义，建立具体事务和抽象概念之间的联系。
2. 问题情境与小学生实际生活相联系
小学阶段，尤其是小学低学段的学生，还不能很好地理解抽象的概念，不能很好地把握运算规则中规律性的东西。即使到了高学段，也应注意数学概念和规律所依附的物理背景，能够让学生体验并理解，而不是死记硬背。Cheung也指出探究中提出的问题实际上和学生的生活缺乏联系，教师难以找到探究材料[31].因此，问题设计须将知识点与学生现实生活中的问题有机结合，贴近学生的生活，从学生实际生活中获取教学素材，不断启发和引导学生，让学生逐步感悟到数学中的概念和规律是从现实生活中抽象出来的。问题越真实，对学生理解知识、应用知识的要求就越高，所要实现的就越具有全面性、整体性和综合性，这对学生的知识基础与基本能力就具有更大的挑战性[32].学生在解决实际问题过程中建构起来的知识将是灵活的知识。通过对实际问题的解决，使学生体验到学习的价值和意义，从而激发学生的学习动机。Schliemann等也强调解决现实生活问题的重要性， 他们研究发现，学生建构的用来解决真实世界背景中问题的策略和解题方法更有意义[33][34].
3. 将知识隐含在问题解决的过程中
目前大部分探究题目往往是直接告诉学生所要用到的知识点，仅仅是知识的传授与应用，缺少了“知识发现”的过程。这样获得的知识不能被灵活地迁移到复杂的实际问题中。探究问题的设计应让学生在解决探究问题的过程中，“不知不觉”地获取知识。学生解决探究问题是为了从问题解决过程中反思和抽象出专业知识和解决问题的策略。
4. 让小学生体验并经历知识产生的过程
学生要解决问题需要亲自动手收集数据、分析数据，进而发现知识。问题的解答不能“一眼就看出”,而要“付出持续努力的思考”.Resnick将付出努力的、非算法式思维作为高层次的思维技能的重要成分[35].学生亲自经历了知识应用的情境，体会了知识是如何被使用的。在解决问题的过程中，不仅获取了知识，而且提高了学生解决生活中实际问题的能力。这样获取的知识是学生自己的知识，是能够灵活加以迁移运用的知识。
5. 把模型思想融入问题设计过程中
数学模型是用数学解决实际问题常用的一种方法。小学生在数学学习中已逐步掌握了加法、减法、乘法、除法、方程等数学模型。在生活中解决实际问题时，能将实际问题提炼成数学问题，运用所学数学模型加以解决。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径[36],是数学基础知识和数学应用之间的桥梁。建立和求解模型的过程应该从现实生活或具体情境中抽象出数学问题。通过解决含有模型思想的典型问题， 有助于学生初步形成模型思想，提高数学学习的兴趣和应用意识。教师在设计问题时，应该充分考虑模型思想。学生在以后遇到类似的问题时，能够提炼成数学问题，有效运用数学模型加以解决。
四、典型探究问题设计---以“众数”问题为例
（一）“众数”问题解决认知过程分析
“众数”是“统计与概率”部分的典型内容，是人教版小学数学教材五年级下学期学习的概念。丁祖荫[37]、林崇德[38]对儿童的概念掌握过程进行了实验研究，结果表明，小学儿童的概念掌握表现出阶段特征，小学低年级儿童较多运用“具体实例”、“直观特征”掌握概念； 小学高年级儿童逐渐能根据非直观的“重要属性”、“实际功用”、“种属关系”掌握概念。“众数”就是培养学生从数据中发现非直观的“重要属性”,即出现的次数最多。
“众数”是一个抽象概念，五年级儿童虽然具有一定的抽象思维能力，但仍然需要具体的材料帮助儿童理解概念。心理学的研究也认为，儿童掌握概念系统的过程，也就是儿童运用以往丰富的概念材料去同化（或领会）深刻而又系统的知识的过程[39].
“众数”的认知过程分析以小学数学问题解决认知模型 （A Cognitive Model of Mathematical ProblemSolving,CMMPS）[40]为框架。求数据{a1,a2,a3…an}中“众数”的问题解决认知过程可以描述为如下步骤。
（1） 题意理解。求给定数据中的“众数”.
（2） 拟订方案。从数据{a1,a2,a3…an}中寻找出现次数最多的数。
（3） 执行方案。
1激活长时程序性记忆中的数数操作， 在数据{a1,a2,a3…an}中分别数a1,a2,a3…an的个数；
2确定a1,a2,a3…an出现的次数分别为M1,M2,M3…Mn;
3激活长时程序性记忆中的比较操作，比较M1,M2,M3…Mn的大小，确定最大值Mmax;
4Mmax对应的数ai就是数据{a1,a2,a3…an}的众数。
（4） 回顾检查。检查每个环节是否有误，长时陈述性记忆中增加了“众数”概念；长时程序性记忆中增加了求“众数”的操作，同时数数和比较动作得以进一步强化。
通过分析“众数”问题解题过程发现，关键是确定解题的策略，即“数据中出现次数最多的数”.之后的操作如“数数”、“比较”、“对应”等，都是以前学过的知识。
儿童概念的获得是从具体逐步抽象的过程，儿童在开始掌握概念的时候，由于知识经验的缺乏，许多概念常常是孤立的， 还没有加入到一定的概念系统中。只有在概念系统中去掌握概念，才能掌握得更好。例如，只有儿童掌握了中位数、平均数等概念，才能更好地掌握“众数”概念，建立它们之间的联系。
（二）“众数”问题概念模型
乔纳森研究发现，解决问题时要求学生构建问题的概念模型（Conceptual Model），构建概念模型是问题转换的关键步骤[41].《义务教育数学课程标准（2011年版）》也多处提及“模型思想”,强调在数学课程中，应当注重发展学生的模型思想，建立和求解模型的过程包括从现实生活或具体情境中抽象出数学问题[42].分析“众数”求解过程，得出“众数”问题的概念模型，如图1所示。通过模型分析可以发现，求解“众数”关键是选择解题策略，即如何从小学生熟悉的的生活情境中抽象或转换为数学问题。该数学问题包括：收集数据、数据统计、数的比较。一旦转换成数学问题后，学生可以利用已有知识和技能， 完成该问题的求解。因此，探究问题的设计应该考虑帮助学生完成从应用问题到数学问题的转换。
（三）“众数”探究题
杜威在其《我们如何思维》（《How We Think》）一书中关于“讲课”的论述中指出：“准备就是提出问题，激发学生联想到熟悉的个人经历，这在了解新的问题时很有帮助。”“只要学生将这些认识与实际活动联系起来，那认识新事物的过程就会变得简单容易。”[43]基于以上考虑和对“众数”解题模型的分析，在设计“众数”探究问题时，创设“过生日”这一小学生熟悉的情境，具体问题如下。
学校同意我们五（一）班明年要举办一次生日庆祝活动。但只能给某月出生的同学庆祝。如果你是班主任：你会如何选择？ 你觉得选哪个月比较合适？
分析“众数”探究题，我们发现：（1）此题目是真正的应用问题，“过生日”这一问题情境与学生实际生活紧密相关；（2）学生自己分析问题，构建问题的模型，选择解题策略；（3）学生自己动手收集数据，获取每个月过生日的人数；（4）学生自己动手统计数据，计算每个月过生日的人数；（5）比较每个月过生日的人数，过生日最多的月份即为该问题的解。
通过求解“众数”探究问题，不再是由教师直接给出众数的概念，而是让学生自己动手统计班内学生的生日月份数， 进而比较每个月份过生日人数的多少。让学生不但理解概念本身，而且亲身体验概念产生的意义；体验“众数”概念的应用情境，并自己构建众数解题的策略和方法，形成知识的深度迁移；培养学生从应用问题到数学建模的能力。“众数”探究问题的设计体现了“问题情境-建立模型-求解验证”的数学活动过程，同时也体现了模型思想的基本要求，有利于学生在求解问题的过程中理解、掌握“众数”的有关知识，积累数学活动经验。通过求解探究问题，更有利于学生主动去发现、分析和解决问题，培养学生的创新意识。
（四）探究问题与教材题目的对比分析
教材中为了讲授“众数”概念，在导入“众数”概念前，给出了一道“从一组20名队员的身高数据中选择合适舞伴”的题目[44].仔细分析教材题目中的数据和目标会发现：（1）无论身高是多少都不能满足目标，都不合适；（2） 单一身高不是选择10名同学的充分条件；（3） 问题中数据直接给出， 省去了收集数据的步骤，实际生活问题不会自动给出所需数据；（4）题目给出的“选舞伴”情境，并不是小学生熟悉的生活情境。因为，对于城市小学生或许熟悉，但对于农村小学生来讲，这一问题情境非常陌生，不利于知识的发现和掌握。通过以上分析可以发现，教材中给出的题目不是“众数”问题的典型问题。
五、探究问题在小学数学课堂教学中的应用
依据文中所述方法，针对小学数学四年级下册的所有知识点设计了典型探究题，并在数学课堂探究教学中加以使用。培养学生的逻辑推理能力是《义务教育数学课程标准（2011年版）》所倡导的，也是小学数学探究教学的目标之一。培养方法就是在课堂探究教学中使用典型问题，让学生在解决典型探究题的过程中提高逻辑推理能力。
（一）研究对象
研究过程中选取了北京市门头沟区某小学四年级两个班，一个为实验班，一个为对比班，实验班课堂教学中使用了典型探究问题。两个班学生情况见表1.
（二）数据收集
实验过程中，使用瑞文标准推理测验量表来测试学生的逻辑推理能力。实验前测于2013年1月开展，后测于2013年7月开展，实验持续一个学期。瑞文标准推理测验量表是最早由英国心理学家瑞文（J.C.Raven）于1938年设计的非文字智力测验[45],量表由A~E共五个模块60张图片组成，A模块最简单，E模块最难，A至E模块难度递增。前后测分别使用了《标准瑞文推理测验》[46]对学生进行测试，数据分析使用SPSS 19.
（三）结果分析
1. 实验班与对比班推理能力比较
瑞文量表的前后测数据见表2.
从表2可以看出，前测阶段，实验班和对比班的瑞文成绩均值非常接近（两者仅相差0.8分），而后测阶段实验班比对比班均值高出5.4分。
以教学过程中使用典型探究问题为自变量，采用单因素方差分析比较实验班和对比班的前后测瑞文成绩，结果见表3.
从表3看出，在前测阶段，F=0.156,显着性水平p=0.69>0.05,实验班和对比班瑞文成绩没有显着性差异。在后测阶段，F=11.09,显着性水平p=0.00<0.05,实验班和对比班瑞文成绩达到显着性差异。这一结果表明，使用典型探究问题，有效提高了实验班学生的推理能力。
2. 实验班数学推理能力比较分析
考虑到瑞文成绩与年龄相关，为排除年龄增长带来的影响，把样本中成绩值与所在年龄段的常模进行对比，可对应归入八个等级，即瑞文等级。实验班前后测瑞文成绩与瑞文等级见表4.
对实验班的前后测数据进行配对样本t检验，见表5.
从表4、表5数据看出，实验班瑞文推理能力配对t检验样本数为34,前测瑞文成绩的均值为40.85,后测瑞文成绩的均值为48.24, 后测比前测提高了7.39,显着性水平p=0.00<0.001,达到了极显着水平。也就是说，使用典型探究问题开展教学前后，学生的数学推理能力有了明显提升。后测的标准差小于前测标准差，即离散程度变小，并且均值提高，说明前测中低分学生成绩提升较为明显。即使用典型探究问题开展教学后对数学推理能力较差的学生具有较好的促进作用。
分析瑞文等级前后测数据发现，前测瑞文等级的均值为4.29,后测瑞文等级的均值为5.41,即前测与后测中学生的瑞文等级平均水平都为中等偏上。后测平均等级比前测平均等级提高1.12,高于1个等级水平，显着性水平p=0.00<0.001,达到了极显着水平。也就是说，使用典型探究问题开展教学前后，学生的数学推理能力有了明显提升。
进一步分析瑞文量表中A至E五个模块的前后测数据发现，C、D、E三个模块的提升较为显着， 显着性水平p=0.00<0.001,达到了极显着水平。其中E部分即最难部分的提高最为显着。说明在小学数学课堂教学中使用典型探究问题，对学生高级数学推理能力的提升具有重要作用。
六、总 结
问题设计是探究教学的重要组成部分， 教师根据探究问题特点，在学生探究过程中开展有效交互，进行有针对性的引导。在开展探究教学过程中，典型探究问题的设计需要充分发挥学生的积极性， 贴近学生的生活实际，遵循学生的身心发展规律和数学课程特点。
探究问题在小学数学课堂的合理运用，激发了学生数学学习的兴趣。同时重视学生探索数学的体验，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维，积极培养小学生良好的数学学习习惯，能够提高数学思维能力和利用数学知识解决实际问题的能力，也为技术在数学探究教学中的应用提供了重要依据和参考。
