4.3 数学史融入立体几何中的概念教学的案例设计
平面概念的建立是学生学习几何的一个难关，主要表现在两个方面，第一，抽象度高；第二，对平面的属性难以理解。数学是一门抽象的学科，而平面的概念是数学中抽象度最高的概念之一。首先主要表现在感性认识的不足。平面除了具有一般数学概念所具有的抽象的，单调的特点之外，主要与现实生活中的原型有比较大的差异，这就为理解平面的概念带来了难度。其次，数学学习的心理过程表明：
整个学习过程中数学认知结构对数学学习始终起着制约的作用。学生能学到什么知识、学到什么程度取决于学习前数学认知结构的初始状态和发展水平。
波利亚说过：“如果我们对论题的知识贫乏，是不容易产生好念头的，如果我们完全没有知识，则根本不可能产生好念头，一个好念头的基础是过去的经验和已有的知识。”
可见，数学知识经验的多少对数学学习的开展有着重要的影响。另外，学生的日常生活经验也可能会阻碍学生对平面概念的理解。基于上述问题，研究者试图寻找一个合理可行的平面概念的教学设计。
设计方案如下：
4.3.1 新课引入
师：我们在初中的时候已经了解了平面图形，比如说三角形，平行四边形，圆，梯形等等，它们都是由点和线构成的，我们在一个平面内处理这些平面图形的问题。点和线是我们研究平面几何的基础。现在，我们要开始研究立体几何的问题，立体几何研究的是空间图形的性质，比如前面我们学习的柱、锥、台、球等都属于空间图形，都是我们要研究的对象。下面请同学们观察这个长方体。
师：我们在这里可以找到哪些几何元素？
生：有六个面，八个顶点，十二条棱。
师：对，空间图形都是由点、线、面这些基本元素组成，立体几何研究的就是这些点、线、面之间的关系。点、线、面是立体几何的三大基本元素，以后我们学习的所有定义、公理、定理都是建立在它们的基础上的。点和线的性质我们在初中已经学习过了，这一节课我们主要来研究平面的性质。
4.3.2 认识平面
师：根据前面所学的知识，我们知道，点构成线，线构成面，面构成体。继续观察长方体，我们可以把它看作是由前后、左右、上下六个面围成的。每个面都是矩形，比如矩形 AABB11又可以看成是由四条直线 ABBBABAA1111组成的。可以看到，点构成线，线构成面，面构成体是立体几何中的基本关系。下面我们就从线构成面的角度来认识平面。
师：我们先来看看这样一些物体，它们给我们一个怎样的印象呢？
PPT 给出海面，草原等图片，教室中观察桌面，黑板面等。
教师总结学生的意见：它们都是平的，直的。
师：我们能不能根据这些特点试着给平面下一个定义呢？
教室引导学生观察，思考，尝试给平面下一个定义。
学生众说纷纭。
4.3.3 深度认识平面，理解平面概念。
师：同学们的说法和历史上的数学家们极其相似哦！
PPT:表格：历史上的数学家们对平面概念的理解[34]教师根据表格介绍平面概念的历史发展。
师：我们一起来分析一下，各位伟大的数学家们对平面的定义是否正确呢？
通过分析上述平面的各种定义，来认识平面的本质。
师：我们看到，历史上各位数学家的定义大多尝试用直线和点来说明平面的“平”和“直”.也就是说，判断一个面是不是平面的关键在于它是否平，直。平面可以看成是由直线构成的，直线是可以无限延伸，所以平面也应该是？
生：无限延伸的。
师：所以我们最后采用的是希尔伯特的想法，平面是一个原始的概念，直接描述，不定义，平面是绝对平的，没有厚度的，无限延展的。那你能举出一个现实生活中的平面吗？
生：好像举不出。
师：对，平面在现实生活中是不存在的，它是一个抽象的数学概念。“平”“直”“无限延展”是它的本质属性。那么，怎样表示一个平面呢？
师：请大家回忆一下，我们是怎样表示直线的？（板演）师：直线的属性是怎样的？
生：直的，无限长的。
师：我们刚才怎样表示直线？是画出了整根直线吗？
生：不是，只是一部分。
师：那我们是不是也可以只用平面的一部分来表示整个平面呢？
教师板演，作出平面示意图，强调平行四边形是平面的一部分，而不是一个平面。
4.3.4 三条公理
师：我们知道，平面是由直线构成的，那么，对于某一条直线，怎样判断它是不是属于某个平面呢？
学生思考，教师引导。
师：我们看看莱布尼兹的定义：平面可以看成是由无数个点构成的。直线也是由无数个点构成的。平面又可以看成是直线组成的。平面内的直线上的所有点都在平面内。又两点确定一直线。也就是说，如果一条直线上有两个点在平面内，那么平面内经过这两个点的直线与这条直线重合，即线在面内。因此，判断一直线在不在平面内，只需判断这条直线上是不是有两个点在这个平面内。这就是我们的公理1.生活中有很多例子，比如将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就可以检查桌面是否平整。
师：平面由直线构成，当两个平面相交的时候，会不会交于一条直线呢？
用纸张模拟，根据平面的无限延展的性质，说明必然会交于一条直线，即公理 2.
师：那怎样来确定一个平面呢？
结合皮埃尔的定义，不在同一条直线上的三点 A, B,C,过其中任意两点，比如 A, B作直线，那么过点C 可以作无数条直线与 AB 相交，所有的这些直线就构成了一个平面，也就是说不共线的三点可以确定一个平面。这就是公理 3.
公理 3 中，取特殊情况，很容易得到 3 条推论。
4.3.5 教学反思
设计意图：本节课是整个立体几何的学习基础。 研究者从学生的认知特点和平面概念的教学特点出发，创设认知情境，以此引发学生的认知冲突，适时引入平面概念发展的历史进程，让学生感受到原来我的想法与历史上数学家们的想法是相似的，鼓励学生的信心，并在辨析各种定义的过程中，加深学生对平面的认识。从学生所熟悉的直线入手，进入平面的学习，从历史和直线的角度去讲解平面，通过分析各位数学家对平面的定义引出平面的相关性质，用学生熟悉的语言解说三条公理及公理 3 的三条推论，亲切自然。
4.4 数学史融入高中数学的概念教学课堂教学的实施与分析
由于教学计划等原因，研究者在自己任教班级进行了立体几何与解析几何的两节案例课，在高一（4）班进行了对数案例课的教学，邀请了本校的 7 名老师听课。授课总体比较顺利，基本完成教学要求。课后与听课老师及部分学生进行了进一步的交流，了解了老师及学生对数学史融入概念教学课堂的看法，并对存在的问题进行了讨论，进而改进教案设计。
