初中数学解题反思能力的实践研究

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　　【题目】影响初中生数学反思能力的因素探究
　　【绪论  第二章】数学解题反思素养的相关理论探索
　　【第三章】初中数学解题反思能力的实践研究
　　【第四章】初中生数学解题后反思研究的结论
　　【第五章】对初中生数学解题反思能力研究的反思
　　【参考文献】如何提升初中数学反思能力参考文献
　　
　　3初中生数学解题反思能力的实践研究
　　
　　3.1研究的理论依据
　　
　　3.1.1反思
　　
　　反思的理解来源于哲学的思维方式。在我国，“内省”观念由来已久，孔子提倡“仁”的观念并强调士人的内省能力，内省一直是儒家弟子的自我要求，例如在《论语。学而》中，曾子曰：“吾日三省吾身，为人谋而不忠乎？”可见人们一直强调通过内省来促进自身的发展[7].在西方国家，对自己认知过程或思维状态的思考可以追溯到柏拉图和亚里士多德时代，洛克（J.Loke）在使用“反思”这个词时，认为反思是指对自身心灵状态的知觉或者指对心灵运作（思维活动）的注意，是以思维活动为思维的对象，是对思维的思维。斯宾诺莎（B.Spinoza）则认为反思是认识真理的比较高级的方式，他把自己认识论的方法称为“反思的知识”,即“观念的观念”.观念本身是认识的结果，是理性认识的对象，对于作为认识结果的观念的再认识和对于这种再认识之所得观念的再认识，这种理智向着知识的推进，即是“反思”.由此可以看出，斯宾诺莎的反思是以思维活动的结果为思维对象的，而洛克的反思是以思维活动的过程为反思的对象。
　　
　　能较系统论述反思的是美国学家杜威，他在其着作《我们怎样思维》一书中指出：反思是思维的一种形式，是个体在头脑中对问题进行反复、严肃、执着的沉思，并进一步解释为“对于任何信念或假设，按其所依据的基础和进一步推导出的结论，对其进行的主动的、持久的和周密的思考”.他认为反思是问题解决的一种特殊形式，是一个能动的、审慎的认知加工过程。同时，他还指出反省思维涉及直觉、情绪和激情，理性和情绪交织在其中；个体进行反思，有三种态度是非常重要的，一是开放的头脑，二是责任感，三是专心致志，正是这三种态度确保和推动了人们的反思行为。杜威的反思观强调了反思出现的情境状态、问题所引起的困惑和“不确定”,因此探究性是反思的基本特征。也就是说，反思不仅仅“回忆”或“回顾”已有的“心理活动”,而且要找到其中的“问题”以及“答案”.
　　
　　借鉴于杜威的思想，博伊德（Body）和费勒斯（Fales）的反思观突出了反思的完整过程。他们认为反思主要由六个阶段组成：⑴ 内在不适感受。⑵ 识别与澄清问题。⑶ 对来自内外的新信息有敏感性，有观察和吸收多种看法的能力。⑷ 决议，由‘整合’、‘一道’、‘接受自我现实’以及‘创造性综合’表达。⑸ 建构过去、现在以及将来自我的连续体。⑹ 决定是否按反思加工的结果行动[8].
　　
　　但随着当代认知心理学中元认知理论的形成，反思的观念得到深化和拓展，并且使反思由昔日单纯的心理现象变成一种实践行为。在当代，研究者普遍认为反思在认知心理学中属于元认知的范畴，它是指对自身的思维过程、思维结果进行再认知和检验的过程。元认知可以看成是反思的心理学机制。反思的目的不只是回顾过去或培养元认知的意识，更重要的是指向未来的活动。
　　
　　3.1.2反思性教学
　　
　　（一）关于反思性教学的理论综述
　　
　　最先把反思引进教学过程的是杜威，而反思性教学这一术语正式出现主要得益于美国学者斯冈（D.A.Schon ）1983 年发表的着作《反思实践者：专业人员在行动中如何思考》的影响。随后，世界各地的反思性教学的研究轰轰烈烈地展开了。
　　
　　在我国，熊川武教授分析了现代西方反思性教学的理论，构建了符合我国教育实际的反思性教学理论的体系和实践模型，他确立的以合理性为基础、以教学主体性和主体间性统一、教学目的个性价值和共性价值的互补、教学工具的技术理性和人文理性兼容为内容的教学理论。他的主要观点如下：
　　
　　1、反思性教学就是教学主体借助于行动研究，不断地探究与解决自身和教学目的以及教学工具等方面的问题，将“学会教学”与“学会学习”结合起来，努力提升教学实践的合理性，使自己成为学者型教师的过程。具体包括以下三点：（1） 反思性教学以探究解决教学问题为基本点，其中的反思不是一般地回想教学情况，而是深入处理教学决策和技术以及伦理等层面的教学主体、教学目的、教学工具等方面存在的问题，并在解决问题过程中使教学过程最优化，取得更好的教学效益。（2） 反思性教学以追求教学实践合理性为动力，通过反思，可以发现新问题，进一步激发教师的责任心，使教师在不断改进教学过程中，把自己的教学实践提升到更合理的新高度。（3） 反思性教学是把要求学生“学会学习”与要求教师“学会教学”统一起来的教学。
　　
　　2、教学主体的地位是“确证”的不是“恩赐”的。教学主体受制于主体间性，因而是群体主体共享的，而不是个体主体无条件独霸的，主体间性要求特定主体有自觉反思的意识和较强的反思能力，坚持理解、宽容、平等、对话的行为。
　　
　　3、教学目的受制于教育目的，反映社会成员在教学上的需要。教育目的转化为教学目的，使社会的需要成为教师与学生的需要，教学目的在教学计划中恰当地定位，与教学客体的特征、教学内容的属性、教学方法的格局协调一致，指导教学人员的行动并为教学人员实施，从而实现自身的合理性。
　　
　　4、教学工具有理论工具与实践工具，用之得体，各有其益，两者合之相得益彰。针对当前的现状，由于反思科学教学理论功能的局限性，因此要注意发挥人文教学理论的合理作用；又由于反思应用性教学理论的可操性的局限性，所以应注意充分地发挥基础性教学理论的指导作用。此外，反思性教学中的反思除了以自然科学为主的“重理轻文”的教学内容为反思内容，还要提升“隐性课程”的地位，形成课程上的“文理交融”之势；构建个别化教学与班级教学互补，班级教学包容个别化教学，个别化教学支持班级教学的多种教学方式并存的格局；加强教学策略的运用，突出反思在教学过程中的地位。
　　
　　5、根据教学目的、教学工具，教学主体通过思考并有效合理使用工具，实现其主体性的合理性[9].
　　
　　（二）国内关于反思性学习的研究
　　
　　熊川武教授的反思性教学理论指出，反思性教学既关注教师的教学反思，也关注学生的学习反思。因此，我国教育研究者从反思性教学的两个层面，即“教”与“学”两个层面，在学习层面上提出了“反思性学习”这一概念，其反思的主体是学习者。
　　
　　反思性学习是突出强调元认知指导作用的认知活动，是学习者对自己的学习活动进行自觉监控和调节的过程，是元认知指导作用的过程。 从反思性学习过程来看，元认知知识是基础也是有待反思的对象，反过来通过学习中的不断反思，又可使元认知知识得到深化，为进行更深刻的反思性学习奠定基础。在反思过程中，元认知体验总是相伴随而产生的，元认知体验有助于学习者审视自己的学习目标，激活元认知策略，是推动学习者进行反思调控的动力，它往往影响学习者的自我效能，而自我效能的提高又促进了反思能力的发展。元认知监控是反思性学习的核心。在反思性学习的过程中，学习者自觉分析学习情景，提出有利于自身的学习计划，选择适合于学习的方法，维持良好的学习动机。从这个意义上讲，学习者是积极主动的机体，其主体意识监视现在、计划未来，有效控制自己的思维和学习过程。
　　
　　反思性学习不仅仅是对所学知识的识别、加工和理解的认知过程，同时也是学习者有意识地对学习活动进行积极主动的自我观察、自我评价和自我调节过程。
　　
　　首先，反思性学习不仅仅是对学习一般性的回顾或重复，也不是凭借自己有限的经验进行简单重复的学习活动，它的本质是一种带有批判性的学习活动。这是由反思的性质决定的。在反思性学习中，学习者应持有一种积极的情感，善于用否定、批判的眼光审视、分析自身的学习过程，包括过程中涉及到的各种相关因素、方法、手段、观点等，在不断反思的过程中对自身的认知过程进行扬弃，从而达成对自身认知过程的积极监控。从这个意义上讲反思性学习有利于帮助学习者驱除多年来形成的盲目服从传统和权威的惰性思维习惯，使学习者养成科学的认知态度，使自身的理性思维得到提升。另外，在学习中进行批判反思，也是培养创新精神，提高创造力的前提和途径。
　　
　　其次，反思性学习不仅仅是对知识的一般性了解，而是深究活动中所涉及的材料、知识理论、方法思路策略等，让学习者在考察自己认知活动的经历中，反复推敲并探究其中的问题和答案，重构并加深自己对规律、知识和思想方法等的理解。在这种反思学习中，学习者采用深加工的学习策略，进行有意识地反思，不仅加深了对规律的理解，更对思维定势形成积极的影响和引导，同时激活个人的智慧并在学习中产生超越已有信息以外的信息，使学习成为探究性、研究性的活动，具有了较强的科学研究的性质。
　　
　　再次，反思性学习能够帮助学习者从盲目的学习行为中解放出来，从事一种积极、主动的学习活动，是一种提升学习效率的优化学习活动。在反思性学习中，学习者不再是在教师监督下进行被迫学习的机器，而是主动的求学者，他们主动监控自身学习活动，根据自己的特点，反思并调整自身学习行为，充分发挥主体作用，寻找适合自己学习的途径，这样有利于提高学习效率，减轻学习负担，形成了真正意义上的以学习者为中心的自律学习。
　　
　　就反思性学习的基本环节而言，主要有六个阶段，依次为：（1）反省阶段。学生通过回顾学习过程、检查学习策略、检验学习结果等反省自己的学习过程和结果。这个环节是反思的开端其前提是学生具有反思意识。（2）评价阶段。学生对自己的学习过程和结果作出判断，如方法是否恰当，答案是否正确，思路是否清晰等。（3）察觉问题阶段。此阶段学生广泛收集并分析有关经验，特别是关于自己活动信息，以批判的淹灌反观自己的思想、行为、信念、价值观、目的、态度和情感等。（4）确定对策阶段。通过分析，认识了问题的成因后，学生积极寻找新思想与新策略来解决面临的问题，通过接收大量新信息，不断挖掘新信息的内涵和外延，产生更有效的概念和策略方法。（5）实践验证阶段。（6）总结提高阶段。学生通过总结经验、提炼方法、优化探索、深化延拓等方法优化自己的思维过程，调整自己的认知结构。
　　
　　就学生进行反思性学习的方法途径而言，概括起来主要有：（1）强化学生的反思意识。大体上可分三个阶段：课前、课中、课后。强化学生课前预习过程中的反思意识，即让学生就课前自学的效果和产生的疑问进行反思。在自学中培养学生获取信息、提炼问题、解决问题的自学能力和自学习惯，让学生学会学习，学会反思，学会创新。强化学生课后复习中的反思意识，教师要注意培养学生敢于对权威观点提出疑问、勇于把自己的看法告诉别人的学风。（2）为学生创设反思情境反思，增强了学生的求知欲望。（3）给学生提供反思方法和策略。如填写学科调查表，开展学习讨论交流会、写数学日记等等。其中学科调查表可以是针对学生对知识的掌握情况，也可以是针对他们数学学习的策略、习惯、兴趣和态度。讨论会可以分为自评和互评两种形式，讨论的内容可以是学习的过程、结果，学习时的情感、态度和价值观的体现等。数学日记的内容可以是学生所学知识内容进行总结，可以是自己的情感态度、遇到的困难或感兴趣之处；体裁不限，可以是叙事、议论或表格形式。（4）增强学生的反思毅力。通过重重设疑增强了学生的反思毅力。（5）建立良好的师生、生生的互动关系。反思性学习是依赖群体支持的个体活动，它不仅要求反思者有一个开放、负责、执着的心态，同时需要有合作、协调、信任的环境要求。反思性学习是一种互动的社会实践和交流活动。学生在反思过程中，若有他人指点或他人合作进行，会加深理解，反思效果会更显着[10].
　　
　　（三）关于反思性教学中的评价
　　
　　由于反思性教学区别于传统的操作性教学有其特殊性，因此在反思性教学中的评价也有其特殊性。熊川武教授认为反思性教学评价在吸收操作性教学评价之长的基础上，坚持如下评价标准：
　　
　　1、科学评价与人文评价的统一。一方面，一切科学标准客观评价的环节保持与操作性教学评价无异，即要严格把握评价标准和尺度，最大限度降低评价手段等方面的主观因素，努力排除个人情感和价值观等影响，确定合理的评价程序；另一方面，在不适合客观评价的环节应强调可以采用人文评价（即指把事实判断与价值判断融为一体的评价），而且必须采用人文评价。
　　
　　2、定量评价与定性评价的统一。由于反思性教学中的不仅注重自然科学的客观性，还注重教学中的“人性”,光用定量的评价方法是无力说明那些教学过程中的复杂心理现象。因此，对于教学中比较复杂的情况，除了定量评价外还要用定性化的语言评价[11],互相补充，才能更真实地、准确地对之评价，从而使评价又利于促进反思性教学的进一步反思。
　　
　　综上所述，反思性教学的完整过程与传统的教学基本上是一致的。它所不同的是教师与学生都有比较清醒的反思意识，并在具体教学整个过程中各个环节内采取连贯的、有逻辑性的反思，特别是探究问题，解决问题。因此，反思性教学既是培养学生的过程，又是全面发展教师的过程，它为培养学生反思能力提供了操作的模型和理论依据。
　　
　　3.2调查问卷的设计与内容
　　
　　为了了解初中生对解题后进行反思的现状，能够更好的进行本课题的研究，本人在和导师及学校里一些资深教师的探讨下，经过两个月，设计了一份了解初中生数学解题反思能力的调查问卷（具体见附录）。
　　
　　问卷中第1到5题主要是为了调查学生对数学这门课的一些看法；第6到16题主要是为了调查学生和教师对一节课的一些态度和做法；第17到32题主要是为了调查学生对一道题解完之后的一些态度和做法。
　　
　　3.3实践研究的过程
　　
　　（1）通过文献分析，整理解题反思能力相关的教育理论，弄清反思的实质和反思性教学的基本理论；
　　（2）一方面用问卷对本人所教的两个平行班的学生进行问卷调查，了解当下两个班的学生对数学解题后进行反思的状况；另一方面，通过听课，了解当下教师上课的模式。
　　（3）根据了解到的状况，对现状进行定量分析为辅，定性分析为主，在教学中思考解决这一现状的途径和方法。
　　（4）在教学中采用反思性教学法。
　　（5）在两个实验班进行不同教法的过程中，对每个月的月考成绩进行数据分析，看在进行反思性教学的班级的成绩是否明显超过另外一个用传统教学法的班级。最后经过一学期的实践研究，再对两个班进行一次问卷调查（用之前同一份问卷），和之前的调查结果进行比较，分析原因。
　　（6）教师对教学策略与方法的有效性进行评价，结合学生的反馈信息，调整、改进培养模式、教学策略与方法。
　　
　　以上行动研究的过程是一个循环往复，螺旋上升的过程。
　　
　　3.4研究过程中的实验设计
　　
　　3.4.1实验假设
　　
　　⑴实施反思性教学的班级数学均分与实施传统性教学的班级数学均分有显着性差异；
　　⑵进行数学解题反思对学生对数学学科的兴趣有显着影响；
　　⑶进行数学解题反思能使学生增强学习数学的自信心；
　　（4）反思性教学中所使用的策略能提高学生的反思意识和反思方法的掌握。
　　
　　3.4.2实验样本
　　
　　××中学12、16班学生，抽取问卷调查中回答有效的学生作为实验研究样本（其中12班的有效问卷数52,16班有效问卷数53）。
　　
　　3.4.3变量的设计
　　
　　自变量设计：传统性教学和反思性教学，其中反思性教学实践过程与传统性教学基本一致，它所不同的是师生都有比较清醒的反思意识，并在具体教学过程中采取反思的举措，特别是探究问题和解决问题。具体在实施过程的区分为：⑴传统性教学与反思性教学实施过程都为“备课（预习）--授课（听课）--布置作业（完成作业）”.其中括号外的内容表示教师行为，括号内的内容表示学生行为。所不同的是反思性教学在实施过程中的每个环节都有师生有意识地反思并及时对教学进行调控。⑵两种教学在作业上有明显区别：传统性教学中的作业只有常规作业，而反思性教学中的作业不仅有常规作业，还有反思作业。⑶两种教学在教学评价上有一定区别：反思性教学中要求学生写数学日记定期进行自我评估，而传统性教学中不作此项要求。
　　
　　因变量：⑴四次年级统一测试的班级数学均分；⑵学生对数学学科的兴趣；⑶学习数学的自信心；（4）学生的解题时的独立思考能力和纠错能力。其中⑵~（4）的因变量测查采用问卷调查法在实验前、后进行两次调查。
　　
　　无关变量的控制：严格保证相同的教材、相同的课时、相同的常规作业以及相同测试。在传统性教学过程中严格控制有意识的反思示范和训练的发生。
　　
　　3.4.4结果分析
　　
　　采用方差齐性检验的统计法对班级数学均分作差异性分析。采用百分比对两班的问卷回答数据进行统计对比，同时结合课堂观察和访谈的方法进行综合分析。
　　
　　3.5教学实验的具体操作
　　
　　教师根据已有的知识和经验，制定符合学生的问题情境，促使学生饶有兴趣地认识问题，利用多媒体等工具去探索，研究问题，发现问题，总结结论并加以反思，形成解决问题的方法，经过自己的亲身体验，感悟，反思更深。
　　
　　（一）解题反思教学的基本步骤：
　　 　　
　　（二）解题反思教学的设计思路：
　　
　　（1）数学问题设计：注重问题情景的创设，由浅入深，由易到难，所设计的问题在学生能力的“最近发展区”的区域内，使之转变为问题探究式特征，以符合该模式的要求，帮助学生获得概念、方法和定理。
　　
　　（2）数学问题探究的依据：以课程标准为依据，课程标准中指出应以学生为主体，培养学生的创新能力。因此教师在设计问题情境时应符合学生实际，教学目标是通过集体或独立的调查活动，可以改善早期“满堂灌”的传统学习方式，目的是使学生找到探究，学习知识的方法。在教学中，教师应以发展学生的学习、探究、反思能力为目标，尽量留出时间给学生自主探究问题，反思问题，从而提高学生的解题反思能力。
　　
　　（3）数学问题的探究反思策略：在课堂教学中，教师根据实际，对学生的能力进行评估，按照学生能力的就近原则进行激发诱导学生，激发学生学习的兴趣，使学生从“苦学”转化为“乐学”.把原来间断的、不连续的过程变成一个始终如一的连续的过程，从而培养学生的学习能力，进而提高学生的解题反思能力。
　　
　　（三）解题反思教学的具体操作
　　
　　
　　用案例说明。以下是选取的实验班中两个进行反思性教学的典型案例。
　　
　　案例 1:教师出示题目：已知，如图，OA 和 OB 是⊙O 的两条半径，并且 OA⊥OB,在 OA 上任取一点 P,连接 BP 并延长交⊙O 于点 Q,过 Q 点作⊙O 的切线，交 OA 的延长线于R,求证：RP=RQ.
　　
　　读完题目，教师通过对题目条件的分析，鼓励学生举手发言，其中杨锦胜同学举手发言讲了四种方法，在他的带动下，其他学生也很投入得在进行思考，纷纷举手发言。
　　
　　（学生杨锦胜讲了四种方法，本来教师途中想打断他，但看他一副认真的样子，决定还是由他讲下去）学生 A:连 OQ,则∠3=∠B,∵∠2+∠B=90°，∠1+∠3=90°∴∠2=∠1,∴RP=RQ.
　　
　　这位学生讲的这种方法绝大部分学生都会想到，即看到切线，连切点的半径，符合学生们的认知规律。
　　
　　学生杨锦胜：过 B 点作⊙O 的切线 BD[如图②],∵∠3+∠4=90°，∠2+∠4=90°，∴∠2=∠3,又∵∠1=∠3,∴∠1=∠2,∴RP=RQ.
　　
　　学生杨锦胜：和上一种辅助线的作法相同，但是最后用平行来证明。
　　
　　他发完言后坐下，不到两分钟，他又举手了，站起来又发言：辅助线还可以这样作，延长 BO 交⊙O 于 E,然后连接 EQ,如上图②，然后用同角的余角相等的方法证明，得出结论。
　　
　　学生杨锦胜讲完后，其他学生们在他作的的辅助线的启发下，数学课代表王鑫伟同学举手了，讲出了比学生杨锦胜更简单的证明方法。接下去，学生们纷纷举手想发言。这时，笔者进行了总结，由于我们对第一种方法进行认真反思、探究后，从而得到了下面这么多种证明方法，说明什么？我们应认真探究每个数学问题，探究完后应进行认真地反思，反思的目的是总结出这类题目的解题方法，触类旁通。
　　
　　如果对案例 1 进行改编：已知，如图，圆 A 和圆 B 是圆 O 的两条半径，并且 OA⊥OB,在 OA 上截取一点 P,连接 BP,并延长 BP 交圆 O 于点 Q,过 Q 点作圆 O 的切线，交 OA 的延长线于点 R,求证：RP=RQ.
　　
　　改编 1:如图，A 在圆 O 的直径上，OB 是圆 O 的半径，并垂直这条直径，连接 BA,并延长 BA,与圆 O相交于另一点 C,过 C 点作圆 O 的切线，与 OA 的延长线相交于点 D,求证：DA=DC.
　　
　　改编 2:若将 RP 向上进行平移，交 OB 于点 M,问 RP= RQ 是否还成立？
　　
　　改编 3:若将 RP 向上进行平移，平移到圆 O 外，与 OB 的延长线交于 M,问 RP= RQ 是否还成立？
　　
　　改编 4:若将 RP 向下进行平移，与 BO 的延长线交于 M（M 在圆内），问 RP= RQ 是否还成立？
　　
　　改编 5:若将 RP 向下进行平移，与 BO 的延长线交于 M（M 在圆外），问 RP= RQ 是否还成立？
　　
　　将题目进行这样的改编，可以发现学生始终处于一种兴奋状态，他们在对问题进行不断地探究，不断地反思，使学生的探究能力和反思能力都有所提高，这样对数学解题反思能力的提高不容置疑是成功的。
　　
　　同时，在探究数学问题时，教师应倡导一题多解、一题多变、多题一解，并且给出例子，让学生感受这三种类型，进行针对性地练习。此外，教师根据授课内容和对象的特点，精心设计教案，选好题，选对题，题目可以由易到难，所讲方法可以由浅到深，从而激发学生的求知欲，循序渐进地养成解题反思的习惯。
　　
　　案例 2:教师出示题目：如图 1 是两个边长分别为 a,b 的正方形 ABCD 和正方形 EFGC,请用 a,b
　　 　　
　　表示阴影部分的面积，并计算当 a=4cm,b=6cm 时，阴影部分的面积。　　
　　
        读完题，话音刚落，学生们都纷纷举手发言，这个问题对很多学生来说是比较容易的，所以笔者对此题进行改编：把阴影部分改成如图 2 所示的三角形 DBF,在其他条件都不变的情况下，要求学生计算如图 2 中阴影部分的面积。
　　
　　学生 A:“在上题的基础上只要多减一个△EDF 的面积就行了。”学生 A 傲气十足地看着我，笔者心想：“说得是没错，但总不该这么‘嚣张’吧！”于是我故意“为难”他：“我给你 1分钟，你再想一种方法。”学生 A 摇摇头，顿时有些不好意思了，其他学生们也笑了。
　　
　　此时，学生 B 举手了，请她发言，说道：“老师，我有另外一种方法。”笔者心想：“连我自己都没想到其他的方法，谁这么快想到了另外的方法？”一看是班长，我马上让她站起来回答，教室里一片安静，其他同学认真聆听学生 B 的做法。
　　
　　学生 B:记 BF 与 CE 的交点为 H,所以△BDF 的面积等于△DBH 的面积加上△DHF 的面积，而这两个面积都可以看作是以 DH 为底边去求面积，所以只要求出 DH 的长度就可以了。（根据生 B的描述画出示意图 3）
　　
　　师：你是如何求出 DH 的呢？
　　
　　学生 B:利用△BCH∽△BEF 先求得 CH,CD 减去 CH 即得 DH.
　　
　　教室里其他学生都暗自在赞叹学生 B,此时，我带头鼓了掌，学生们也给学生 B 鼓起了掌。
　　
　　这个时候，笔者心想：“学生们是多么聪明啊，他们会在任何一个不经意的时刻，突然蹦出一种想法，让你惊喜，让你喟叹，其实一个个睿智的想法都是来源于学生自己！”
　　 　　
　　这时，笔者观察到有几位学生低着头，仔细一看，发现他们正在“唰唰”地在草稿本里写着其他的解题方法，多么积极啊！忽然，学生 C 举手了，站起来回答道：“我 又想到了一种方法。”看他激动的样子，笔者索性让学生 C 到台上来进行发言，让他当一回小老师。
　　
　　学生 C:延长 BD 与 EF 交于点 H（如图 4），则阴影部分的面积等于△FHB 的面积减去△FHD的面积，这两个三角形的面积都可以以 FH 为底进行求解，而△FHB 的高就是 b, △FHD 的高是b-a.
　　
　　师：如何求 FH 的长度呢？
　　
　　学生 C:不用求，只要说明 FH=CD 就可以了。
　　
　　师：继续说。
　　
　　学生 C:因为 BD 是正方形 ABCD 的对角线，所以可以证明∠BDC=45°，而∠EDH 和∠BDC 是对顶角，所以∠EDH =45°，又因为∠E=90°，所以∠EHD=∠EDH=45°，则 ED=EH,从而可以证明 FH=CD.
　　
　　“真是太漂亮了！”笔者不禁表扬了一句，接着是其他学生们鼓起了佩服的掌声。
　　
　　师：那还有其他的方法吗？
　　
　　笔者心想：“这不恰恰是学生进行自主探索的一个良好机会吗，大胆地放手，让学生自己去探索吧，学生的思维超乎我的想象，也许还有更精彩的呢！”
　　
　　果不其然，学生 D 举手了，他发言道：“跟学生 C 类似，延长 FD 交 AB 于点 H,同样利用两个三角形的面积差来求。”（如图 5）笔者表扬道：“非常好！”
　　
　　笔头还是在“唰唰”地窜动……过了没多久，
　　
　　学生 E 举手了，笔者心里暗自赞叹道：“学生的思维是如此的宽广！”学生 E:“我的想法跟学生 B 类似，不同的是我是把阴影部分分割成上下两个三角形，（如图 6）延长 AD 交 BF 于点 H”,交 FG 于点 M,先证出△FHM∽△FBG,求出 HM,然后求 DH 的长，接下去就可以求面积差了。
　　
　　师：“真聪明！”虽然学生 E 与学生 B 的思想一样，但能从另一个角度进行分割，说明他的思维是发散的。对于我，却像是喝了一杯醇酒一般，又醉了几分；对于学生，又推开了一扇窗。
　　 　　
　　学生讲的方法已经很多种了，有的方法甚至我自己都没想到。此时，笔者看了下时间，发现只剩下 5 分钟了，心想：“最后总结一下，可以结束了。”但这时又有个学生发言了。
　　
　　“老师，我还有一种。”
　　
　　是学生 F,他平时比较内向，却很爱思考。
　　
　　师：“哦，那你添的辅助线又是什么呢？”
　　
　　“我没有添辅助线，（如图 7）我是用解析法。以 C 为坐标原点，以 BC 所在的直线为横轴，以 CD 所在的直线为纵轴建立直角坐标系，马上可以写出B（-4,0），F（6,6），则可求出 BF所在直线的解析式为 y=0.6x+2.4,然后…”
　　
　　他在讲解的时候有些激动，咽了下口水，又继续说。
　　
　　“然后就可以求出 H（0,2.4），所以 CH=2.4,DH=1.6,接下去的做法就和学生 B 一样了。”
　　
　　师赞叹道：“真是漂亮的构思！”
　　
　　虽然这道题不必这么麻烦，但重要的是他想到了别人想不到的，将坐标思想与几何图形相结合，数形结合了，真是妙不可言，我心里为他不断地叫绝！