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【题目】信息技术与数学思想方法教学融合探究
【第一章】信息技术在初中数学思想方法教学中的应用引言
【第二章】信息技术辅助中学数学思想方法教学理论基础
【第三章】基于信息技术的初中数学思想方法教学的调查分析
【第四章】信息技术辅助初中数学思想方法教学策略
【5.1】数与代数教学案例
【5.2 5.3】图形与几何教学案例及统计与概率教学案例
【结语/参考文献】数学思想方法教学中信息技术运用结语与参考文献
5.2 图形与几何教学案例
5.2.1 几何性质教学
类推思想在几何教学中应用很广泛。在学习新知识时，只要和已有的旧知识有着相似的结构或性质，就可以尝试引导学生用类推的思想方法展开学习，实现知识的正迁移。如，《相似三角形的性质》教学，可以这样设计：先复习全等三角形的性质。根据全等三角形是特殊的相似三角形，抛出挑战性问题："你能猜想出相似三角形的性质吗？"引导学生们在类比中，猜想总结相似三角形的性质。大多数同学能有依据的猜想：相似三角形对应角相等；对应边成比例；对应中线、角平分线、高线的比等于相似比；周长的比等于相似比；可对面积的比有争议，有的说等于相似比，有的说等于相似比的平方。这时教师可及时引导：猜想并不能代替证明，它只是一个推理，一个假设，应该进一步深入，验证猜想结果是否正确。
验证的过程中，我们可以充分利用几何画板，直观展示验证过程，对上述猜想内容逐个检验，得出正确的结论。如，在验证"对应边成比例"这个猜想内容时，可以利用几何画板直观、动态的呈现边长的变化情况，随意改变三角形的边长，引导学生观察两个相似三角形的对应边的比值大小，发现其对应边成比例的变化规律。
总之，在教学中有些类推比较直接，有些类推比较隐蔽，需要教师认真分析，寻找知识中的类同结构，才能发现并利用类推的方法展开教学。教师要遵循关系沟通的原则，对知识进行系统梳理，使学生能够主动在头脑中形成对知识的归类认识，类推思想才能"播种生根",为提高学生的思维品质服务。
5.2.2 图形变换教学
义务教育阶段中的数学知识在教材中呈现了一个由易到难的过程。学生在学习过程中，会不自觉地、潜意识里地将某些生疏的知识转化为熟悉的知识、把复杂的问题转化为简单的问题，进而解决各种复杂的数学问题，这种思想就是转化思想。转化的思想方法对攻克各种复杂问题具有重要的意义和作用。
《探索勾股定理》教学时，教材设置了这样一个活动：探索直角三角形各边外接正方形的面积关系。在此数学活动中，图形中 A、B 两个正方形的面积是直观、可求的（见图 5.9），但如何求正方形 C 的面积是本节课的一个难点。有的学生可能会采用之前"数格子"（这种方法对本题而言，有难度）；有的学生可能会想到"转化":不能直接利用正方形的边长求面积，是否可以将正方形的面积转化成三角形的面积来求呢？
系一怎样实现"转化"?传统的教学方法是，让学生使用剪刀和硬纸板来进行剪和拼，这种方法在操作的过程中很容易产生失误或出现误差，拼接之后的图形不是有空隙，就是有重合，导致实验结果不准确。如果我们使用超级画板，形象、直观、精确地展示"割补法"（见图 5.9），实现将正方形的面积转化为三角形的面积，化未知为已知，使问题得以解决。另外，还可以通过改变直角三角形的边长（见图 5.10），用更多的实例说明三个外接正方形面积之间的关系。转化思想可以用在直线图形间的转化，也可以在直线和曲线图形间转化（例如函数图象之间）。
转化思想是一种重要的推理思想，学生对转化思想也情有独钟，遇到数学问题和困难，他们习惯尝试着从自己的知识储备库里搜索类似问题的解决方案。但是，要形成高效实用的转化思想，冰冻三尺，非一日之功，需要依靠各种数学方法不断充实它的内涵和外延，提升它对问题解决的核心战斗力。
5.2.3 几何解决问题教学
数学建模能够提高学生空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、演绎证明等诸方面的能力。因此，在图形与几何教学中，向学生渗透与传递数学建模思想方法，其意义与价值不言而喻。
比如：着名的"将军饮马"问题：如图5.11,A、B 是两个村庄，将军从 A 村去往 B村，途中马要到河边饮水。问：将军在何处饮马才能使所走路程最短？
方法是：作点 A 关于直线 l 的对称点 A',连结 A'B 交 l 于点 P,则 PA+PB=A'B 的值最小。
（1）如图 5.12（1），正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 AB 的中点，P 为对角线上一动点。问 P 位于什么位置时，PB 与 PE 的和最小？
（2）如图 5.12（2），已知⊙O 的半径为 2,OA、OB 为两条互相垂直的半径，∠BOC=30°，P 为半径 OB 上一动点，求 PA 与 PC 的和的最小值。
从知识上来看，这些题目考查的是"利用轴对称的性质"求一定条件下的两条线段和的最小值。从方法上来看，本题是在掌握"将军饮马"的模型之后，考查其在具体变形中的应用，而这种将变式或变形转化为已有模型或模式的做法和能力，即数学建模能力，正是高年级数学学习最需要的能力。
5.3 统计与概率教学案例
5.3.1 统计教学法
在统计教学中，帮助学生逐步建立起数据分析的观念是重中之重。教师可以充分利用信息技术多媒体教学手段，动态展示统计的全过程，帮助学生建立初步的统计思想和意识。
如扇形统计图的教学，教材创设了"最喜欢的球类活动"这一非常贴近学生生活的学习情境。教学时，教师可引导学生从解决问题入手，利用多媒体课件，亲历"提出问题、收集数据、整理数据、描述数据、分析数据并做出决策"统计全过程，将统计观念的培养与统计思维的发展有效地嵌入统计全过程。具体可分以下几步：
第一步：巧设问题，引导学生从问题入手，体会要解决这个问题需要调查和收集每个同学的球类活动喜好情况，感受统计的必要性和作用。
第二步：讨论和学习收集数据的方法，比如如何分组、如何做记录等等，引导学生经历收集数据的过程。
第三步：整理数据，为描述数据提供依据。各小组收集到的原始数据是随机和零散的，不足以反映全班的喜好偏向，要想从中发现规律和说明问题，还需要对数据进行整理和汇总。所以这里教师要引导学生将全班收集的数据，利用课件整理在统计图表中。
第四步：学习用扇形统计图描述数据。此环节是本节课的教学重点，探索过程一定要处理的细腻一些。比如"整个圆表示什么？""每个扇形表示哪一部分？"部分占整体的百分比等问题，都要做比较详细的讨论和交流。现场课件演示扇形统计图的绘制步骤及过程（见图 5.14）。
第五步：分析数据，做出判断和决策。旨在引导学生对统计的数据进行分析，最后做出判断（哪种活动最受欢迎）。另外，教师还要抓住教材设计的两个问题：
（1）在上面的统计活动中你是如何收集与整理数据的？
（2）在解决上面的问题中，数据起着什么作用？
引导学生进行充分地讨论，一是让学生学会收集数据的方法，二是使学生深刻体会数据分析的作用和价值。即：数据可以传递信息，数据可以为决策服务，以提高学生的数据分析观念。
在统计教学中，往往出现大量的数据或是要求较严格的统计图，教学中，教师可以充分利用信息技术，不仅可以节省大量的课堂时间，还可以借助应用软件，如 word、excel 等软件中带有的统计功能，即时做出准确的统计图表，便于师生更准确的进行数据分析和决策判断。
5.3.2 概率教学
随机思想是概率论的核心思想。任意随机事件的发生，都具有概率规律。而随机实验，则是探究概率规律，体会随机思想的一个科学做法。实际教学中，如何引导学生深刻体验随机思想呢？
如《感受可能性》的教学的探究环节可以这样设计：
（1）先对先关的可能性知识进行预习，如，什么是确定事件、什么是不确定事件，判断哪些是必然事件（太阳从西边下山等）、哪些是随机事件（从装有白球和红球的袋子里任意摸 1 个，是什么颜色的球等）。
（2）探究活动一：抽签。课件呈现问题情境：5 位同学参加跳绳比赛，以抽签方式决定比赛顺序。现有5 章形状大小完全相同的纸条，上面分别标有出场的序号 1,2,3,4,5.李念第一个抽签，他在公正公平的情况下，从中任意抽出一张纸条。
思考：抽到的序号小于 6、序号是 0、序号是 1 的可能性，判断各属于什么事件，并举出相似的例子。
（3）探究活动二：掷骰子。
课件呈现问题情境：掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1,2,3,4,5,6.
思考：骰子向上的一面出现的点数是 7、点数大于 0、点数是 4 的可能性，判断各属于什么事件，并举出相似的例子。
通过对生活中各类事件的归纳和总结，教师引导学生归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点判断某些事件的类型。
（3）探索活动三：掷硬币。
课件呈现问题情境：将一枚硬币随意抛向空中，硬币落地时，正面向上还是反面向上。掷硬币的事件是否属于随机事件，判断正、反两个面朝上的可能性的大小。实际教学中，如果让学生像小学生一样亲自动手去做"抛硬币"的试验显然是不合适的，因为学生年龄段不同，学习兴趣点和思维特点也不同，初中学生思维较之小学生更理性、更深刻。这里用课件直观演示，让学生观察数据瞬间变化的过程，他们对随机现象中"随机"这一概念的体验会更深刻：即在相同条件下重复进行，事先明确知道所有可能的结果，但无法预测在一次试验中哪一个结果会出现。
另外，抛硬币试验是一个典型的等可能性实验，利用课题做这个试验，用时少，试验次数多，能让学生充分认识到等可能性的实质：即抛硬币的次数越多，正、反两个面朝上的次数就越接近，也就是可能性的大小越来接近相等。
但是，仅仅限于以上几个例子，就试图让学生体会事件发生的可能性及其大小是远远不够的，对于初中的学生来说，虽然具有一定的想象力和判断力，不必像小学阶段那样亲自动手掷骰子或摸球，然而，对学生来说，随机事件毕竟是一个既抽象、又复杂的问题，即使到高中阶段，部分学生也可能不理解，所以，这个"桩"务必要夯实。这里，教师可充分利多媒体课件，呈现随机抽样、计数、制作图表、数据描述等形象化的多元表征，还可以通过课件增大信息量，通过大量的事实，列举丰富的例子，将思维引向深入，使学生不但对可能性知识的理解更加到位，同时对随机思想的体会也更加深刻。
5.2 图形与几何教学案例
5.2.1 几何性质教学
类推思想在几何教学中应用很广泛。在学习新知识时，只要和已有的旧知识有着相似的结构或性质，就可以尝试引导学生用类推的思想方法展开学习，实现知识的正迁移。如，《相似三角形的性质》教学，可以这样设计：先复习全等三角形的性质。根据全等三角形是特殊的相似三角形，抛出挑战性问题："你能猜想出相似三角形的性质吗？"引导学生们在类比中，猜想总结相似三角形的性质。大多数同学能有依据的猜想：相似三角形对应角相等；对应边成比例；对应中线、角平分线、高线的比等于相似比；周长的比等于相似比；可对面积的比有争议，有的说等于相似比，有的说等于相似比的平方。这时教师可及时引导：猜想并不能代替证明，它只是一个推理，一个假设，应该进一步深入，验证猜想结果是否正确。
验证的过程中，我们可以充分利用几何画板，直观展示验证过程，对上述猜想内容逐个检验，得出正确的结论。如，在验证"对应边成比例"这个猜想内容时，可以利用几何画板直观、动态的呈现边长的变化情况，随意改变三角形的边长，引导学生观察两个相似三角形的对应边的比值大小，发现其对应边成比例的变化规律。
总之，在教学中有些类推比较直接，有些类推比较隐蔽，需要教师认真分析，寻找知识中的类同结构，才能发现并利用类推的方法展开教学。教师要遵循关系沟通的原则，对知识进行系统梳理，使学生能够主动在头脑中形成对知识的归类认识，类推思想才能"播种生根",为提高学生的思维品质服务。
5.2.2 图形变换教学
义务教育阶段中的数学知识在教材中呈现了一个由易到难的过程。学生在学习过程中，会不自觉地、潜意识里地将某些生疏的知识转化为熟悉的知识、把复杂的问题转化为简单的问题，进而解决各种复杂的数学问题，这种思想就是转化思想。转化的思想方法对攻克各种复杂问题具有重要的意义和作用。
《探索勾股定理》教学时，教材设置了这样一个活动：探索直角三角形各边外接正方形的面积关系。在此数学活动中，图形中 A、B 两个正方形的面积是直观、可求的（见图 5.9），但如何求正方形 C 的面积是本节课的一个难点。有的学生可能会采用之前"数格子"（这种方法对本题而言，有难度）；有的学生可能会想到"转化":不能直接利用正方形的边长求面积，是否可以将正方形的面积转化成三角形的面积来求呢？
系一怎样实现"转化"?传统的教学方法是，让学生使用剪刀和硬纸板来进行剪和拼，这种方法在操作的过程中很容易产生失误或出现误差，拼接之后的图形不是有空隙，就是有重合，导致实验结果不准确。如果我们使用超级画板，形象、直观、精确地展示"割补法"（见图 5.9），实现将正方形的面积转化为三角形的面积，化未知为已知，使问题得以解决。另外，还可以通过改变直角三角形的边长（见图 5.10），用更多的实例说明三个外接正方形面积之间的关系。转化思想可以用在直线图形间的转化，也可以在直线和曲线图形间转化（例如函数图象之间）。
转化思想是一种重要的推理思想，学生对转化思想也情有独钟，遇到数学问题和困难，他们习惯尝试着从自己的知识储备库里搜索类似问题的解决方案。但是，要形成高效实用的转化思想，冰冻三尺，非一日之功，需要依靠各种数学方法不断充实它的内涵和外延，提升它对问题解决的核心战斗力。
5.2.3 几何解决问题教学
数学建模能够提高学生空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、演绎证明等诸方面的能力。因此，在图形与几何教学中，向学生渗透与传递数学建模思想方法，其意义与价值不言而喻。
比如：着名的"将军饮马"问题：如图5.11,A、B 是两个村庄，将军从 A 村去往 B村，途中马要到河边饮水。问：将军在何处饮马才能使所走路程最短？
方法是：作点 A 关于直线 l 的对称点 A',连结 A'B 交 l 于点 P,则 PA+PB=A'B 的值最小。
（1）如图 5.12（1），正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 AB 的中点，P 为对角线上一动点。问 P 位于什么位置时，PB 与 PE 的和最小？
（2）如图 5.12（2），已知⊙O 的半径为 2,OA、OB 为两条互相垂直的半径，∠BOC=30°，P 为半径 OB 上一动点，求 PA 与 PC 的和的最小值。
从知识上来看，这些题目考查的是"利用轴对称的性质"求一定条件下的两条线段和的最小值。从方法上来看，本题是在掌握"将军饮马"的模型之后，考查其在具体变形中的应用，而这种将变式或变形转化为已有模型或模式的做法和能力，即数学建模能力，正是高年级数学学习最需要的能力。
5.3 统计与概率教学案例
5.3.1 统计教学法
在统计教学中，帮助学生逐步建立起数据分析的观念是重中之重。教师可以充分利用信息技术多媒体教学手段，动态展示统计的全过程，帮助学生建立初步的统计思想和意识。
如扇形统计图的教学，教材创设了"最喜欢的球类活动"这一非常贴近学生生活的学习情境。教学时，教师可引导学生从解决问题入手，利用多媒体课件，亲历"提出问题、收集数据、整理数据、描述数据、分析数据并做出决策"统计全过程，将统计观念的培养与统计思维的发展有效地嵌入统计全过程。具体可分以下几步：
第一步：巧设问题，引导学生从问题入手，体会要解决这个问题需要调查和收集每个同学的球类活动喜好情况，感受统计的必要性和作用。
第二步：讨论和学习收集数据的方法，比如如何分组、如何做记录等等，引导学生经历收集数据的过程。
第三步：整理数据，为描述数据提供依据。各小组收集到的原始数据是随机和零散的，不足以反映全班的喜好偏向，要想从中发现规律和说明问题，还需要对数据进行整理和汇总。所以这里教师要引导学生将全班收集的数据，利用课件整理在统计图表中。
第四步：学习用扇形统计图描述数据。此环节是本节课的教学重点，探索过程一定要处理的细腻一些。比如"整个圆表示什么？""每个扇形表示哪一部分？"部分占整体的百分比等问题，都要做比较详细的讨论和交流。现场课件演示扇形统计图的绘制步骤及过程（见图 5.14）。
第五步：分析数据，做出判断和决策。旨在引导学生对统计的数据进行分析，最后做出判断（哪种活动最受欢迎）。另外，教师还要抓住教材设计的两个问题：
（1）在上面的统计活动中你是如何收集与整理数据的？
（2）在解决上面的问题中，数据起着什么作用？
引导学生进行充分地讨论，一是让学生学会收集数据的方法，二是使学生深刻体会数据分析的作用和价值。即：数据可以传递信息，数据可以为决策服务，以提高学生的数据分析观念。
在统计教学中，往往出现大量的数据或是要求较严格的统计图，教学中，教师可以充分利用信息技术，不仅可以节省大量的课堂时间，还可以借助应用软件，如 word、excel 等软件中带有的统计功能，即时做出准确的统计图表，便于师生更准确的进行数据分析和决策判断。
5.3.2 概率教学
随机思想是概率论的核心思想。任意随机事件的发生，都具有概率规律。而随机实验，则是探究概率规律，体会随机思想的一个科学做法。实际教学中，如何引导学生深刻体验随机思想呢？
如《感受可能性》的教学的探究环节可以这样设计：
（1）先对先关的可能性知识进行预习，如，什么是确定事件、什么是不确定事件，判断哪些是必然事件（太阳从西边下山等）、哪些是随机事件（从装有白球和红球的袋子里任意摸 1 个，是什么颜色的球等）。
（2）探究活动一：抽签。课件呈现问题情境：5 位同学参加跳绳比赛，以抽签方式决定比赛顺序。现有5 章形状大小完全相同的纸条，上面分别标有出场的序号 1,2,3,4,5.李念第一个抽签，他在公正公平的情况下，从中任意抽出一张纸条。
思考：抽到的序号小于 6、序号是 0、序号是 1 的可能性，判断各属于什么事件，并举出相似的例子。
（3）探究活动二：掷骰子。
课件呈现问题情境：掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1,2,3,4,5,6.
思考：骰子向上的一面出现的点数是 7、点数大于 0、点数是 4 的可能性，判断各属于什么事件，并举出相似的例子。
通过对生活中各类事件的归纳和总结，教师引导学生归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点判断某些事件的类型。
（3）探索活动三：掷硬币。
课件呈现问题情境：将一枚硬币随意抛向空中，硬币落地时，正面向上还是反面向上。掷硬币的事件是否属于随机事件，判断正、反两个面朝上的可能性的大小。实际教学中，如果让学生像小学生一样亲自动手去做"抛硬币"的试验显然是不合适的，因为学生年龄段不同，学习兴趣点和思维特点也不同，初中学生思维较之小学生更理性、更深刻。这里用课件直观演示，让学生观察数据瞬间变化的过程，他们对随机现象中"随机"这一概念的体验会更深刻：即在相同条件下重复进行，事先明确知道所有可能的结果，但无法预测在一次试验中哪一个结果会出现。
另外，抛硬币试验是一个典型的等可能性实验，利用课题做这个试验，用时少，试验次数多，能让学生充分认识到等可能性的实质：即抛硬币的次数越多，正、反两个面朝上的次数就越接近，也就是可能性的大小越来接近相等。
但是，仅仅限于以上几个例子，就试图让学生体会事件发生的可能性及其大小是远远不够的，对于初中的学生来说，虽然具有一定的想象力和判断力，不必像小学阶段那样亲自动手掷骰子或摸球，然而，对学生来说，随机事件毕竟是一个既抽象、又复杂的问题，即使到高中阶段，部分学生也可能不理解，所以，这个"桩"务必要夯实。这里，教师可充分利多媒体课件，呈现随机抽样、计数、制作图表、数据描述等形象化的多元表征，还可以通过课件增大信息量，通过大量的事实，列举丰富的例子，将思维引向深入，使学生不但对可能性知识的理解更加到位，同时对随机思想的体会也更加深刻。
5.2 图形与几何教学案例
5.2.1 几何性质教学
类推思想在几何教学中应用很广泛。在学习新知识时，只要和已有的旧知识有着相似的结构或性质，就可以尝试引导学生用类推的思想方法展开学习，实现知识的正迁移。如，《相似三角形的性质》教学，可以这样设计：先复习全等三角形的性质。根据全等三角形是特殊的相似三角形，抛出挑战性问题："你能猜想出相似三角形的性质吗？"引导学生们在类比中，猜想总结相似三角形的性质。大多数同学能有依据的猜想：相似三角形对应角相等；对应边成比例；对应中线、角平分线、高线的比等于相似比；周长的比等于相似比；可对面积的比有争议，有的说等于相似比，有的说等于相似比的平方。这时教师可及时引导：猜想并不能代替证明，它只是一个推理，一个假设，应该进一步深入，验证猜想结果是否正确。
验证的过程中，我们可以充分利用几何画板，直观展示验证过程，对上述猜想内容逐个检验，得出正确的结论。如，在验证"对应边成比例"这个猜想内容时，可以利用几何画板直观、动态的呈现边长的变化情况，随意改变三角形的边长，引导学生观察两个相似三角形的对应边的比值大小，发现其对应边成比例的变化规律。
总之，在教学中有些类推比较直接，有些类推比较隐蔽，需要教师认真分析，寻找知识中的类同结构，才能发现并利用类推的方法展开教学。教师要遵循关系沟通的原则，对知识进行系统梳理，使学生能够主动在头脑中形成对知识的归类认识，类推思想才能"播种生根",为提高学生的思维品质服务。
5.2.2 图形变换教学
义务教育阶段中的数学知识在教材中呈现了一个由易到难的过程。学生在学习过程中，会不自觉地、潜意识里地将某些生疏的知识转化为熟悉的知识、把复杂的问题转化为简单的问题，进而解决各种复杂的数学问题，这种思想就是转化思想。转化的思想方法对攻克各种复杂问题具有重要的意义和作用。
《探索勾股定理》教学时，教材设置了这样一个活动：探索直角三角形各边外接正方形的面积关系。在此数学活动中，图形中 A、B 两个正方形的面积是直观、可求的（见图 5.9），但如何求正方形 C 的面积是本节课的一个难点。有的学生可能会采用之前"数格子"（这种方法对本题而言，有难度）；有的学生可能会想到"转化":不能直接利用正方形的边长求面积，是否可以将正方形的面积转化成三角形的面积来求呢？
系一怎样实现"转化"?传统的教学方法是，让学生使用剪刀和硬纸板来进行剪和拼，这种方法在操作的过程中很容易产生失误或出现误差，拼接之后的图形不是有空隙，就是有重合，导致实验结果不准确。如果我们使用超级画板，形象、直观、精确地展示"割补法"（见图 5.9），实现将正方形的面积转化为三角形的面积，化未知为已知，使问题得以解决。另外，还可以通过改变直角三角形的边长（见图 5.10），用更多的实例说明三个外接正方形面积之间的关系。转化思想可以用在直线图形间的转化，也可以在直线和曲线图形间转化（例如函数图象之间）。
转化思想是一种重要的推理思想，学生对转化思想也情有独钟，遇到数学问题和困难，他们习惯尝试着从自己的知识储备库里搜索类似问题的解决方案。但是，要形成高效实用的转化思想，冰冻三尺，非一日之功，需要依靠各种数学方法不断充实它的内涵和外延，提升它对问题解决的核心战斗力。
5.2.3 几何解决问题教学
数学建模能够提高学生空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、演绎证明等诸方面的能力。因此，在图形与几何教学中，向学生渗透与传递数学建模思想方法，其意义与价值不言而喻。
比如：着名的"将军饮马"问题：如图5.11,A、B 是两个村庄，将军从 A 村去往 B村，途中马要到河边饮水。问：将军在何处饮马才能使所走路程最短？
方法是：作点 A 关于直线 l 的对称点 A',连结 A'B 交 l 于点 P,则 PA+PB=A'B 的值最小。
（1）如图 5.12（1），正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 AB 的中点，P 为对角线上一动点。问 P 位于什么位置时，PB 与 PE 的和最小？
（2）如图 5.12（2），已知⊙O 的半径为 2,OA、OB 为两条互相垂直的半径，∠BOC=30°，P 为半径 OB 上一动点，求 PA 与 PC 的和的最小值。
从知识上来看，这些题目考查的是"利用轴对称的性质"求一定条件下的两条线段和的最小值。从方法上来看，本题是在掌握"将军饮马"的模型之后，考查其在具体变形中的应用，而这种将变式或变形转化为已有模型或模式的做法和能力，即数学建模能力，正是高年级数学学习最需要的能力。
5.3 统计与概率教学案例
5.3.1 统计教学法
在统计教学中，帮助学生逐步建立起数据分析的观念是重中之重。教师可以充分利用信息技术多媒体教学手段，动态展示统计的全过程，帮助学生建立初步的统计思想和意识。
如扇形统计图的教学，教材创设了"最喜欢的球类活动"这一非常贴近学生生活的学习情境。教学时，教师可引导学生从解决问题入手，利用多媒体课件，亲历"提出问题、收集数据、整理数据、描述数据、分析数据并做出决策"统计全过程，将统计观念的培养与统计思维的发展有效地嵌入统计全过程。具体可分以下几步：
第一步：巧设问题，引导学生从问题入手，体会要解决这个问题需要调查和收集每个同学的球类活动喜好情况，感受统计的必要性和作用。
第二步：讨论和学习收集数据的方法，比如如何分组、如何做记录等等，引导学生经历收集数据的过程。
第三步：整理数据，为描述数据提供依据。各小组收集到的原始数据是随机和零散的，不足以反映全班的喜好偏向，要想从中发现规律和说明问题，还需要对数据进行整理和汇总。所以这里教师要引导学生将全班收集的数据，利用课件整理在统计图表中。
第四步：学习用扇形统计图描述数据。此环节是本节课的教学重点，探索过程一定要处理的细腻一些。比如"整个圆表示什么？""每个扇形表示哪一部分？"部分占整体的百分比等问题，都要做比较详细的讨论和交流。现场课件演示扇形统计图的绘制步骤及过程（见图 5.14）。
第五步：分析数据，做出判断和决策。旨在引导学生对统计的数据进行分析，最后做出判断（哪种活动最受欢迎）。另外，教师还要抓住教材设计的两个问题：
（1）在上面的统计活动中你是如何收集与整理数据的？
（2）在解决上面的问题中，数据起着什么作用？
引导学生进行充分地讨论，一是让学生学会收集数据的方法，二是使学生深刻体会数据分析的作用和价值。即：数据可以传递信息，数据可以为决策服务，以提高学生的数据分析观念。
在统计教学中，往往出现大量的数据或是要求较严格的统计图，教学中，教师可以充分利用信息技术，不仅可以节省大量的课堂时间，还可以借助应用软件，如 word、excel 等软件中带有的统计功能，即时做出准确的统计图表，便于师生更准确的进行数据分析和决策判断。
5.3.2 概率教学
随机思想是概率论的核心思想。任意随机事件的发生，都具有概率规律。而随机实验，则是探究概率规律，体会随机思想的一个科学做法。实际教学中，如何引导学生深刻体验随机思想呢？
如《感受可能性》的教学的探究环节可以这样设计：
（1）先对先关的可能性知识进行预习，如，什么是确定事件、什么是不确定事件，判断哪些是必然事件（太阳从西边下山等）、哪些是随机事件（从装有白球和红球的袋子里任意摸 1 个，是什么颜色的球等）。
（2）探究活动一：抽签。课件呈现问题情境：5 位同学参加跳绳比赛，以抽签方式决定比赛顺序。现有5 章形状大小完全相同的纸条，上面分别标有出场的序号 1,2,3,4,5.李念第一个抽签，他在公正公平的情况下，从中任意抽出一张纸条。
思考：抽到的序号小于 6、序号是 0、序号是 1 的可能性，判断各属于什么事件，并举出相似的例子。
（3）探究活动二：掷骰子。
课件呈现问题情境：掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1,2,3,4,5,6.
思考：骰子向上的一面出现的点数是 7、点数大于 0、点数是 4 的可能性，判断各属于什么事件，并举出相似的例子。
通过对生活中各类事件的归纳和总结，教师引导学生归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点判断某些事件的类型。
（3）探索活动三：掷硬币。
课件呈现问题情境：将一枚硬币随意抛向空中，硬币落地时，正面向上还是反面向上。掷硬币的事件是否属于随机事件，判断正、反两个面朝上的可能性的大小。实际教学中，如果让学生像小学生一样亲自动手去做"抛硬币"的试验显然是不合适的，因为学生年龄段不同，学习兴趣点和思维特点也不同，初中学生思维较之小学生更理性、更深刻。这里用课件直观演示，让学生观察数据瞬间变化的过程，他们对随机现象中"随机"这一概念的体验会更深刻：即在相同条件下重复进行，事先明确知道所有可能的结果，但无法预测在一次试验中哪一个结果会出现。
另外，抛硬币试验是一个典型的等可能性实验，利用课题做这个试验，用时少，试验次数多，能让学生充分认识到等可能性的实质：即抛硬币的次数越多，正、反两个面朝上的次数就越接近，也就是可能性的大小越来接近相等。
但是，仅仅限于以上几个例子，就试图让学生体会事件发生的可能性及其大小是远远不够的，对于初中的学生来说，虽然具有一定的想象力和判断力，不必像小学阶段那样亲自动手掷骰子或摸球，然而，对学生来说，随机事件毕竟是一个既抽象、又复杂的问题，即使到高中阶段，部分学生也可能不理解，所以，这个"桩"务必要夯实。这里，教师可充分利多媒体课件，呈现随机抽样、计数、制作图表、数据描述等形象化的多元表征，还可以通过课件增大信息量，通过大量的事实，列举丰富的例子，将思维引向深入，使学生不但对可能性知识的理解更加到位，同时对随机思想的体会也更加深刻。
5.2 图形与几何教学案例
5.2.1 几何性质教学
类推思想在几何教学中应用很广泛。在学习新知识时，只要和已有的旧知识有着相似的结构或性质，就可以尝试引导学生用类推的思想方法展开学习，实现知识的正迁移。如，《相似三角形的性质》教学，可以这样设计：先复习全等三角形的性质。根据全等三角形是特殊的相似三角形，抛出挑战性问题："你能猜想出相似三角形的性质吗？"引导学生们在类比中，猜想总结相似三角形的性质。大多数同学能有依据的猜想：相似三角形对应角相等；对应边成比例；对应中线、角平分线、高线的比等于相似比；周长的比等于相似比；可对面积的比有争议，有的说等于相似比，有的说等于相似比的平方。这时教师可及时引导：猜想并不能代替证明，它只是一个推理，一个假设，应该进一步深入，验证猜想结果是否正确。
验证的过程中，我们可以充分利用几何画板，直观展示验证过程，对上述猜想内容逐个检验，得出正确的结论。如，在验证"对应边成比例"这个猜想内容时，可以利用几何画板直观、动态的呈现边长的变化情况，随意改变三角形的边长，引导学生观察两个相似三角形的对应边的比值大小，发现其对应边成比例的变化规律。
总之，在教学中有些类推比较直接，有些类推比较隐蔽，需要教师认真分析，寻找知识中的类同结构，才能发现并利用类推的方法展开教学。教师要遵循关系沟通的原则，对知识进行系统梳理，使学生能够主动在头脑中形成对知识的归类认识，类推思想才能"播种生根",为提高学生的思维品质服务。
5.2.2 图形变换教学
义务教育阶段中的数学知识在教材中呈现了一个由易到难的过程。学生在学习过程中，会不自觉地、潜意识里地将某些生疏的知识转化为熟悉的知识、把复杂的问题转化为简单的问题，进而解决各种复杂的数学问题，这种思想就是转化思想。转化的思想方法对攻克各种复杂问题具有重要的意义和作用。
《探索勾股定理》教学时，教材设置了这样一个活动：探索直角三角形各边外接正方形的面积关系。在此数学活动中，图形中 A、B 两个正方形的面积是直观、可求的（见图 5.9），但如何求正方形 C 的面积是本节课的一个难点。有的学生可能会采用之前"数格子"（这种方法对本题而言，有难度）；有的学生可能会想到"转化":不能直接利用正方形的边长求面积，是否可以将正方形的面积转化成三角形的面积来求呢？
系一怎样实现"转化"?传统的教学方法是，让学生使用剪刀和硬纸板来进行剪和拼，这种方法在操作的过程中很容易产生失误或出现误差，拼接之后的图形不是有空隙，就是有重合，导致实验结果不准确。如果我们使用超级画板，形象、直观、精确地展示"割补法"（见图 5.9），实现将正方形的面积转化为三角形的面积，化未知为已知，使问题得以解决。另外，还可以通过改变直角三角形的边长（见图 5.10），用更多的实例说明三个外接正方形面积之间的关系。转化思想可以用在直线图形间的转化，也可以在直线和曲线图形间转化（例如函数图象之间）。
转化思想是一种重要的推理思想，学生对转化思想也情有独钟，遇到数学问题和困难，他们习惯尝试着从自己的知识储备库里搜索类似问题的解决方案。但是，要形成高效实用的转化思想，冰冻三尺，非一日之功，需要依靠各种数学方法不断充实它的内涵和外延，提升它对问题解决的核心战斗力。
5.2.3 几何解决问题教学
数学建模能够提高学生空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、演绎证明等诸方面的能力。因此，在图形与几何教学中，向学生渗透与传递数学建模思想方法，其意义与价值不言而喻。
比如：着名的"将军饮马"问题：如图5.11,A、B 是两个村庄，将军从 A 村去往 B村，途中马要到河边饮水。问：将军在何处饮马才能使所走路程最短？
方法是：作点 A 关于直线 l 的对称点 A',连结 A'B 交 l 于点 P,则 PA+PB=A'B 的值最小。
（1）如图 5.12（1），正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 AB 的中点，P 为对角线上一动点。问 P 位于什么位置时，PB 与 PE 的和最小？
（2）如图 5.12（2），已知⊙O 的半径为 2,OA、OB 为两条互相垂直的半径，∠BOC=30°，P 为半径 OB 上一动点，求 PA 与 PC 的和的最小值。
从知识上来看，这些题目考查的是"利用轴对称的性质"求一定条件下的两条线段和的最小值。从方法上来看，本题是在掌握"将军饮马"的模型之后，考查其在具体变形中的应用，而这种将变式或变形转化为已有模型或模式的做法和能力，即数学建模能力，正是高年级数学学习最需要的能力。
5.3 统计与概率教学案例
5.3.1 统计教学法
在统计教学中，帮助学生逐步建立起数据分析的观念是重中之重。教师可以充分利用信息技术多媒体教学手段，动态展示统计的全过程，帮助学生建立初步的统计思想和意识。
如扇形统计图的教学，教材创设了"最喜欢的球类活动"这一非常贴近学生生活的学习情境。教学时，教师可引导学生从解决问题入手，利用多媒体课件，亲历"提出问题、收集数据、整理数据、描述数据、分析数据并做出决策"统计全过程，将统计观念的培养与统计思维的发展有效地嵌入统计全过程。具体可分以下几步：
第一步：巧设问题，引导学生从问题入手，体会要解决这个问题需要调查和收集每个同学的球类活动喜好情况，感受统计的必要性和作用。
第二步：讨论和学习收集数据的方法，比如如何分组、如何做记录等等，引导学生经历收集数据的过程。
第三步：整理数据，为描述数据提供依据。各小组收集到的原始数据是随机和零散的，不足以反映全班的喜好偏向，要想从中发现规律和说明问题，还需要对数据进行整理和汇总。所以这里教师要引导学生将全班收集的数据，利用课件整理在统计图表中。
第四步：学习用扇形统计图描述数据。此环节是本节课的教学重点，探索过程一定要处理的细腻一些。比如"整个圆表示什么？""每个扇形表示哪一部分？"部分占整体的百分比等问题，都要做比较详细的讨论和交流。现场课件演示扇形统计图的绘制步骤及过程（见图 5.14）。
第五步：分析数据，做出判断和决策。旨在引导学生对统计的数据进行分析，最后做出判断（哪种活动最受欢迎）。另外，教师还要抓住教材设计的两个问题：
（1）在上面的统计活动中你是如何收集与整理数据的？
（2）在解决上面的问题中，数据起着什么作用？
引导学生进行充分地讨论，一是让学生学会收集数据的方法，二是使学生深刻体会数据分析的作用和价值。即：数据可以传递信息，数据可以为决策服务，以提高学生的数据分析观念。
在统计教学中，往往出现大量的数据或是要求较严格的统计图，教学中，教师可以充分利用信息技术，不仅可以节省大量的课堂时间，还可以借助应用软件，如 word、excel 等软件中带有的统计功能，即时做出准确的统计图表，便于师生更准确的进行数据分析和决策判断。
5.3.2 概率教学
随机思想是概率论的核心思想。任意随机事件的发生，都具有概率规律。而随机实验，则是探究概率规律，体会随机思想的一个科学做法。实际教学中，如何引导学生深刻体验随机思想呢？
如《感受可能性》的教学的探究环节可以这样设计：
（1）先对先关的可能性知识进行预习，如，什么是确定事件、什么是不确定事件，判断哪些是必然事件（太阳从西边下山等）、哪些是随机事件（从装有白球和红球的袋子里任意摸 1 个，是什么颜色的球等）。
（2）探究活动一：抽签。课件呈现问题情境：5 位同学参加跳绳比赛，以抽签方式决定比赛顺序。现有5 章形状大小完全相同的纸条，上面分别标有出场的序号 1,2,3,4,5.李念第一个抽签，他在公正公平的情况下，从中任意抽出一张纸条。
思考：抽到的序号小于 6、序号是 0、序号是 1 的可能性，判断各属于什么事件，并举出相似的例子。
（3）探究活动二：掷骰子。
课件呈现问题情境：掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1,2,3,4,5,6.
思考：骰子向上的一面出现的点数是 7、点数大于 0、点数是 4 的可能性，判断各属于什么事件，并举出相似的例子。
通过对生活中各类事件的归纳和总结，教师引导学生归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点判断某些事件的类型。
（3）探索活动三：掷硬币。
课件呈现问题情境：将一枚硬币随意抛向空中，硬币落地时，正面向上还是反面向上。掷硬币的事件是否属于随机事件，判断正、反两个面朝上的可能性的大小。实际教学中，如果让学生像小学生一样亲自动手去做"抛硬币"的试验显然是不合适的，因为学生年龄段不同，学习兴趣点和思维特点也不同，初中学生思维较之小学生更理性、更深刻。这里用课件直观演示，让学生观察数据瞬间变化的过程，他们对随机现象中"随机"这一概念的体验会更深刻：即在相同条件下重复进行，事先明确知道所有可能的结果，但无法预测在一次试验中哪一个结果会出现。
另外，抛硬币试验是一个典型的等可能性实验，利用课题做这个试验，用时少，试验次数多，能让学生充分认识到等可能性的实质：即抛硬币的次数越多，正、反两个面朝上的次数就越接近，也就是可能性的大小越来接近相等。
但是，仅仅限于以上几个例子，就试图让学生体会事件发生的可能性及其大小是远远不够的，对于初中的学生来说，虽然具有一定的想象力和判断力，不必像小学阶段那样亲自动手掷骰子或摸球，然而，对学生来说，随机事件毕竟是一个既抽象、又复杂的问题，即使到高中阶段，部分学生也可能不理解，所以，这个"桩"务必要夯实。这里，教师可充分利多媒体课件，呈现随机抽样、计数、制作图表、数据描述等形象化的多元表征，还可以通过课件增大信息量，通过大量的事实，列举丰富的例子，将思维引向深入，使学生不但对可能性知识的理解更加到位，同时对随机思想的体会也更加深刻。
