【第二篇】论文题目: 矩阵初等变换方法在高等代数中的应用
摘要:矩阵的初等变换是高等代数的一种非常重要的运算, 它是该课程的重要组成部分, 也是研究该部分的重要手段之一.它的应用主要体现在以下几点:求矩阵的秩, 求向量组的极大无关组、秩, 求解线性方程组, 求多项式的最大公因式等方面.本文就它的具体应用展开阐述.
关键词:高等代数; 矩阵; 初等变换;
一、矩阵初等变换的理论概述
线性代数当中, 矩阵初等变换主要有三种形式, 分别为:
第一, 交换矩阵两行, 也就是将i, j对换, 两行记为ri, rj;第二, 通过某一非0的数 (通常设为k) 乘以矩阵中某一行所有的元素, 第i行乘以k表示为ri×k;第三, 如果将矩阵某一行中的所有元素都乘以某个数k, 然后加到另一行的对应元素中, 那么第j行乘以k加到第i行记为ri+krj.
与之类似的, 将上述的"行"全部改成"列", 就可以得到矩阵初等变换的定义, 也就是将对应的记号"r"换为"c"来表示.矩阵的初等行变换以及初等列变换均被称为矩阵的初等变换.
根据以上内容可以发现, 三种初等变换的方式均不会对某个方阵A中的行列式非0性质产生任何改变, 因此当矩阵为方阵时, 就可以通过初等变换的方式观察矩阵是否可逆, 以此判断原矩阵是否具有可逆性.根据这一点可以知道, 矩阵的三种初等变换均为可逆变换, 并且逆变换也是同种类的初等变换之一.
二、矩阵初等变换在多项式中的应用
通过矩阵变换的方式求多项式f (x) 、g (x) 的最大公因式, 主要方法为:
三、矩阵初等变换在行列式中的应用
所有的n阶方阵A均可以被当成是行列式|A|中的矩阵, 若对方阵A施行一次初等变换, 得到n阶方阵B, 那么根据行列式性质就可以知道|A|和|B|最多有一个常数因子的相差量, 此常数为可确定常数.根据这一原理可以得到行列式|A|, 具体为: (1) 通过对A进行初等变换使矩阵A成为三角形矩阵B, 算出|B|, 进而能够得到|A|; (2) 先通过矩阵初等变换使矩阵A变为某行 (列) 仅存在一个元素非0, 然后根据该行 (列) 将|A|展开, 并降低高阶行列式|A|为低阶行列式, 进而求解|A|.
四、矩阵初等变换在矩阵中的应用
设A为m×n的矩阵, 经过一系列初等行变换后, A能够变为行阶梯形矩阵, 如下:再进行一系列的初等列变换后可以得到矩阵A的标准形为.
(一) 求矩阵的秩
对m×n矩阵A进行初等行变换, 就可以将A转化成阶梯形矩阵, 那么此阶梯形矩阵中的非0行个数就是矩阵A的秩.
(二) 求矩阵的标准形
对于任意的m×n矩阵A都能够通过初等变换的方式得到标准形, 即, 其中r为矩阵的秩.
(三) 求可逆矩阵的逆矩阵
(四) 求解矩阵方程
五、矩阵初等变换在线性方程组中的应用
通过矩阵初等行的变换, 将线性方程组AX=b的增广矩阵=转化为行阶梯形的矩阵, 具体如下:
六、矩阵初等变换在二次型中的应用
n元二次型可以通过矩阵将其表示为
可以通过矩阵初等变换将二次型XAX作为标准形, 主要方法为:
第一, 构造矩阵, 然后对A采取相同的初等行和列的变换, 仅仅对E进行其中的初等列变换, 将A变换为对角矩阵B的时候, E就会成为C, 那么就能得到CAC=B.
第二, 构造矩阵, 然后对A进行同类型初等行及列的转变, 但仅仅对E进行其中的初等行变换, 然后使A转变为对角矩阵B的同时, E就会成为C, 那么就有CAC=B.
七、矩阵初等变换在向量空间P中的应用
(一) 判断某向量是否能够由一个向量组线性表示
(二) 判断一个向量组能否通过另一向量组线性表示
通过矩阵初等行变换, 得到下列矩阵:
(三) 判断一个向量组是否具有线性关联
设a1, a2, ?, am∈p, 根据以上向量, 以列构造矩阵, 得到a1, a2, ?, am, 通过矩阵初等行变换将矩阵变为:
第一, 如果r=m, 那么a1, a2, ?, am线性无关;第二, 如果r<m, 那么a1, a2, ?, am线性呈相关性, 并且a1, a2, ?, aj是这一向量组的某极大线性无关组.
综上所述, 利用矩阵的初等变换解决高等代数的各种问题时, 它可以将一些复杂问题简单化, 抽象问题具体化等, 给我们的计算带来方便.所以我们在以后的解题中只要涉及到此方面的内容, 一定要优先考虑争取做到事半功倍.
参考文献
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