运用数学模型分析和解决问题过程研究

数学建模获奖论文优秀范文10篇之第八篇：运用数学模型分析和解决问题过程研究

 

　　摘要：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、求解模型，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。基于学生学习实际，按照“注重引领、发现问题，综合信息、建立模型，探究途径、求解模型，深入思考、完善模型”的模式进行数学建模的培养、实施教学，有助于教师设计教学内容和环节，能有效帮助学生运用数学模型分析和解决问题，提升数学建模、数据分析、数学运算等数学核心素养。

 

　　关键词：核心素养; 数学建模; 数学建模过程;

 

　　2014年3月，教育部提出“研究制订学生发展核心素养体系和学业质量标准，组织研究提出各学段学生发展核心素养体系，明确学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，制订中小学各学科学业质量标准，把核心素养和学业质量要求落实到各学科教学中”[1];2017年12月，普通高中新修订课程方案与课程标准颁布，凝练了各学科核心素养，提出了学业质量标准，数学学科将“学生发展为本，立德树人，提升素养”作为基本课程理念之一。在课程标准提出的六个核心素养中，数学建模具有独特的地位，数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式，是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力，对培养学生用数学眼光观察世界、用数学思维思考问题、用数学语言表达交流，提高发现问题、提出问题、分析问题、解决问题能力具有重要意义。

 

　　数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。数学建模主要表现为“发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题”；数学建模过程主要包括“在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。因此，在数学建模过程中，可以基于学生学习实际，按照“注重引领、发现问题，综合信息、建立模型，探究途径、求解模型，深入思考、完善模型”的模式实施教学，设计课题任务与学习活动、教学内容和环节。

 

　　一、注重引领，发现问题

 

　　美国大卫·库伯教授曾指出：“让体验成为学习和发展的源泉。”高中生初步接触数学建模，缺乏完善的建模知识、方法和思维，有的甚至简单地认为数学建模就是解应用题和数学竞赛题。因此，在教学之前教师要清楚数学建模和数学模型之间的差异和联系。数学建模是应用数学知识和方法解决实际问题的基本手段，更注重研究过程；数学模型是解决实际问题所需的数学知识和方法的重要呈现形式，更强调结果。形成数学建模基本思维的首要环节是发现问题、收集分析问题、提出问题。教师在教学过程中应注重选择有效的方法引领学生用数学的眼光观察世界，用数学逻辑思维思考问题。

 

　　（一）善于在教材中发现问题

 

　　在教学实际中，还较普遍存在忙于应付铺天盖地的教辅资料，忽略教材在教学和学习中的地位及作用，不少学生处于刷题模式，没有时间整理、反思、总结所学数学知识，也没有时间提出和搞懂自己的问题和疑惑。长此以往，学生不能明白什么是问题、如何发现问题，有的学生认为难题、竞赛题属于问题；有的学生认为搞不懂的知识和做不来的试题属于问题；有的学生认为教科书上的知识、试题和问题很简单，就不用花时间和精力去学习。这些认识是错误的、片面的、功利的。教材中的概念、定理、数学模型等经典知识能够充分展现数学知识、方法形成和产生的过程，例题和习题都经过精挑细选，比如三角函数模型、观察周期、指数函数模型、线性模型、概率模型等。教材中的探究与发现、阅读与思考，信息技术应用和实习作业等拓展性栏目都经过精心设计，不仅能拓展知识、开阔眼界，还能培养学生从生活中提出问题的习惯和能力。因此，在学习过程中应充分引领学生善于提问，学会提问，“凡事多问为什么”，善于从数学角度对一些现象进行深入思考，学会用自己的语言来描述问题，从而生动、形象地将发现的问题提出来。

 

　　（二）善于在生活中发现问题

 

　　数学来源于生活，又服务于生活。很多学生却认为数学除应付考试外，在生活中毫无用处，这是极端错误的观点。为了让学生认识到数学是有用的，数学是自然的，明确数学与我们的生活息息相关，数学建模在解决科学、工程技术等问题中具有重要性和广泛性，教师应在深入研究数学建模理论知识的基础上恰当地选择贴近生活、生产、科学和技术方面的素材，或者让学生（或合作学习小组）根据社会热点问题和生活经验发现和提出相关的数学问题。比如针对我国人口老龄化现象，指导学生查找关于二孩政策提出的原因和作用的资料，谈谈自己对政策的理解，从而提出问题。又如我国高铁技术处于世界领先地位，通过观看视频、查询资料等方式，在增强学生民族自豪感的同时，让学生发挥想象，发现问题、提出问题，从而潜移默化中提升学生的核心素养。再如，基于当地生活实际，跑山鸡、生态猪等绿色养殖业应运而生，可引导学生结合自己了解的情况发现问题、提出问题……

 

　　（三）善于在迁移中发现问题

 

　　随着科技的发展和社会的进步，数学思想不断渗透到各学科领域，数学建模广泛应用于解决其他学科的问题。没有数学，就不能客观认识世界，应让学生深刻领悟数学在物质世界和精神世界中的地位和作用。因此，要更好地调动学生学习数学的热情和兴趣，培养学生的主动性，从而达成教学目标。比如建筑类中，我国桥梁建设技术堪称世界一流，可通过实地考察、查询资料，提出诸如建筑成本、建设时长、建设周期等问题；在物理学科中，涉及很多数学知识和数学模型，如单摆问题即三角函数周期模型、圆锥曲线、三角函数等，在教学过程中借助生动有趣的物理问题激发学生的学习兴趣，引导学生主动地探索物理问题的相关关系，将物理问题转化为数学模型，借助数学知识和计算机技术求解，进而把得到的数据应用于生活，服务于人类，如地铁运行时间的调度，隧道修建等；概率模型在生物遗传学中的应用、立体几何模型在化学中的应用等，都能促进学生在迁移中发现问题。因此，在教学过程中应善于运用跨学科问题，做到融会贯通，突出数学建模素养的作用，提升数学应用能力。

 

　　二、综合信息，建立模型

 

　　建立模型是数学建模核心素养的重要表现。在学生知道“是什么、为什么”的基础上，教师要进一步引导学生用恰当的数学语言、数学符号对已提出的问题进行抽象和思考，让学生结合已有的知识和经验解决“能怎么、怎么样”的问题，即建立相应的数学模型。

 

　　（一）利用已知建立模型

 

　　选模和建模的主要依据是已知条件。结合已有知识、经验和数学方法挖掘隐含条件，筛选主要影响条件，区分条件的主次影响和相关联系是首要工作，如层次分析法、灰色关联法和相关系数法等。当条件明显、单一时一般能够直接根据已知条件确定选择相应的数学模型，这类模型都是属于高中比较基础的内容，一般利用待定系数法建立函数模型。比较常见的有一次函数、二次函数、形数指数函数和对数函数等模型。

 

　　（二）利用对比建立模型

 

　　当已知条件、隐含条件比较多，数据统计、分析比较复杂时，常常借助已有知识和经验，认真分析比对已知条件与已有模型的参数和适用条件选择恰当的数学模型，人工智能技术软件自动根据已知条件匹配相应的数学模型（如案例推理技术，相关系数技术），通过比对每种函数模型解决问题的效果来选择最好模型。通过对比，可以更好地选择恰当的模型，更好地阐述已有数据表现的客观现象。对比学习不仅能够较好地解决问题，还蕴藏着数据分析、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。

 

　　（三）利用关联建立模型

 

　　当问题的已知条件模糊，数据繁琐时，常常借助数学方法（如多元统计分析方法）对问题的相关信息进行加工处理，模糊匹配已有的数学模型，修正模型，即关联建模。在关联情境中，学生需牢固掌握基础数学知识，积累一些典型的数学模型，并能灵活运用这些数学模型。如经济数学模型：经济增长模型（线性回归模型），生产函数模型（对数线性模型）；社会数学模型：人口增长模型（指数函数模型）；等级评价模型（平均数模型）等。

 

　　三、探究途径，求解模型

 

　　问题转化为数学模型后，借助有效的求解途径才能高效地求解出结果，进而更好发挥模型的作用，提升数学建模素养。

 

　　（一）运用代数方法求解模型

 

　　高中阶段很多数学模型都能运用代数方法求解，比如初等函数中利用配方法解决一元二次函数有关的最值问题；指数函数、对数函数模型可利用函数单调性等进行求解；其他复合函数模型或超越函数模型可借助导函数、均值不等式、三角换元、极坐标方程等知识求解。

 

　　（二）运用数形结合求解模型

 

　　在模型实际求解过程中，我们还会遇到不需求出解的精准值，只需估计解的取值范围或解的个数的问题。解决这类问题一般借助数形结合建立形与数的联系来解，借助几何作图估算结果。比如人教A版教材必修1中例1，可用二分法求近似解，也可用函数单调性及零点存在定理求解，还可以通过两个函数图像交点进行求解。

 

　　（三）运用信息技术求解模型

 

　　教材在阅读与思考、信息技术应用等板块都介绍了信息技术在数学中的应用，充分说明利用信息技术求解模型优势。尤其是一些常见数学模拟模型软件，可以把人工不能计算或难于计算的复杂数据快速处理，也可以解决代数方法、几何模型不能解决的问题。因此，适当运用信息技术求解模型，可以达到方便、快捷、准确，节约人力、物力的效果，是数学模型求解的好帮手。比如利用几何画板研究与图像有关的结论和问题，类比解决其他问题；利用MATALB编写程序可以求解方程的近似解，求解最优解问题；利用仿真数字模拟软件可以研究股票等的变化趋势。

 

　　四、深入思考，完善模型

 

　　任何数学模型求解的结果都不可能与实际问题完全吻合，有些小误差可能导致出现严重的偏差。因此，需要深入思考，运用修订影响条件和修订模型的参数等方法来完善数学模型，从而提高数学模型的稳定性和求解结果的准确性。

 

　　（一）修订条件完善模型

 

　　恰当的已知条件直接决定数学模型的好坏，在实际生活中模型的建立并不是一蹴而就的。结合数学模型的求解结果，不断修订预设条件和考虑每个条件所占的权重，找到一个符合实际问题的临界点，才能完善模型。比如养殖业中，喂养环境、喂养技术等都是作为喂养依据，如果考虑利润最大化，还需考虑市场需求、质量好坏等。

 

　　（二）检验结果完善模型

 

　　在学习实际中，有的学生求解模型时草草结束运算，缺乏反思、检验的习惯。实际上，有时模型的解答结果与实际情况相差甚远。如解析几何中常见的是否存在性问题，往往会忽略隐形条件得出错误结论；解与三角形有关模型问题时，容易忽视三角形本身应满足的条件；在最值问题中，常常忽略自变量的取值范围等。因此，教师要引导学生养成检验、完善结果的好习惯，培养严谨的数学思维。

 

　　（三）综合分析完善模型

 

　　建立的数学模型，存在数学模型稳定性差、精确度低、误差大、局限性大的可能性。求解模型后，可借助一些专业手段对已选择的数学模型进行综合分析，从而完善模型，通过综合分析主次影响因素和不同模型的求解结果，仔细审核，深入思考，调整、确定最终的数学模型。

 

　　在数学建模活动中，掌握必要的建模方法特别是经历数学建模过程，可以促进学生真实地体验如何通过数学的“眼睛”来观察和分析现实世界中的事件，提出并且利用数学的“语言”来描述和分析这些事情，最后能数学化地形成比较清晰的假设、目标问题等。经历数学建模过程，能有效帮助学生学会用数学模型分析和解决问题，提升数学建模、数据分析、数学运算等数学核心素养；能让学生感悟数学是现实的、有用的，从而理解数学的学科价值，展现数学的育人价值，增强学生学习数学的兴趣，促进学生更好地发展。

 

　　参考文献

　　[1] 中华人民共和国教育部.中华人民共和国教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见[S].教基二〔2014〕4号，2014-3-30.

　　[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.