微分方程是联系自变量、未知函数及其导数的关系式,是数学学科中最受外界关注的领域之一. 它使得自然科学中用数学不仅能表明状态,并且也表明过程( 运动) ,它在解决自然科学和社会科学中的实际问题时有着重要的作用. 但是《微分方程》课程的学习总给学生留下枯燥、繁琐、困难等印象,这是因为传统的教学方式总是过于强调理论分析,而忽视了它的实践意义和具体应用.
数学建模是对实际问题在调查分析、简化假设的基础上,用数学的符号和语言来描述它,并通过计算得到定量的结果,通过结果来解释实际问题,并接受检验的过程. 数学建模是数学和外部世界建立联系的一个通道,通过数学建模让学生了解数学不是空中楼阁,它可以解决很多实际问题,具有广泛的应用空间,通过实践来提高学生对数学学习的主动性.
数学建模重在"建",而微分方程是最主要的建模方法之一,很多现实生活中的问题都可以抽象为微分方程来求解. 数学建模是微分方程的应用实例,而微分方程又是数学建模的重要工具,二者相辅相成. 因此很多教师在微分方程的教学过程中已经开始尝试引入数学建模的思想. 在 2006 年,李大潜院士就提出了"将数学建模思想融入数学类主干课程"[1]. 本文结合南京邮电大学( 以下简称"我校") 信息与计算科学专业的教学实践,对微分方程课程如何引入数学建模思想构建立体化教学体系进行一些探讨.
一、内容体系的改革
我校的信息与计算科学专业,是重点建设的一批特色专业之一,其办学理念是以数学为基础、信息为对象、计算机为工具,面向高科技,强调敏锐的数学思维和良好的数学修养,培养前瞻性、开拓性的信息科学人才. 该专业开设了《微分方程》和《微分方程数值解》两门相关的专业基础课,目前均以理论教学为主,教学实践环节较少,并且内容安排上也过于侧重基础理论,缺少实际应用. 学生对基础理论表现出不感兴趣,畏难等情绪,长期处于"被填鸭"的状态,很难调动起学习的兴趣,发挥自身的创造力和潜能.
在过去的 2012 - 2013 学年第二学期的《微分方程》教学过程中已经尝试着引入数学建模思想,进行启发式教学. 这样的尝试,使得学生的注意力更加集中,课堂气氛活跃了很多,在调动学生的学习积极性和探索问题的主观能动性上起到了一定的效果. 为了进一步规范系统的进行教学实践,争取更好的教学效果,本着"有意识、有选择、有策略"的引入数学建模的原则,我们主要从内容的立体化设置和案例选取两个方面进行了深入研究.
1. 内容的立体化设置
传统微分方程的教学的过程总是遵从"定义方程类型 - 讲述求解方法 - 例题 - 习题"这种固定模式,对学生来说枯燥乏味. 新的内容体系上可以尝试以实际问题为驱动的教学模式,"从实际问题中来,回到实际应用中去". 在保持原有知识主线不变的前提下,将每个知识单元的出发和终结点都归为实际问题. 在对问题的分析和简化过程中自然的引入微分方程; 接下来求解方程,得到结果后回到原问题中反演和解释所得到的结果. 在实际问题解决之后进行归纳总结,将所得方程泛化为某一特定类型的为微分方程; 将求解过程提炼为某类方法; 将反演和解释的过程与微分方程定性理论有机对应起来. 经过完整系统的学习后,指导学生将所学知识用于解决新的实际问题. 其原理如图 1 所示:
2. 案例的选择使用
在数学建模案例的选择上"不求大而全,但求少而精",我们并不需要在微分方程教学的每个单元都引入数学建模案例,要有重点,有选择的引入,不能生拉硬拽. 案例的选取主要考虑如下几个方面: 首先,问题的切入点与所授的知识点是否贴合; 其次,问题是否贴近生活,能够激发学生的学习兴趣; 最后,引入问题的难易度和数量是否适中,切忌"喧宾夺主".
表 1 列出了部分微分方程知识点和数学模型的对应关系. 例如: 以着名的 Malthus 人口模型引入变量分离方程,学习求解过程,通过分析发现 Malthus模型在人口数较大时并不合理,继而引出 Logistic 模型. 在系统学习了一阶线性微分方程的解法后,以"新产品的推广"问题作为课后练习,巩固所学知识.
众所周知,微分方程的稳定性理论是整个课程教学中的一个难点,教师难表述,学生难理解. 如果我们尝试在介绍完稳定性基本理论后,以两种群竞争模型为例将理论应用于对实际问题的分析,借助于解释实际问题的合理性,可以使学生迅速掌握抽象的稳定性理论的研究意义和实际应用方法,起到事半功倍的效果.
二、教学方法的创新
过去以"教师讲授,学生记忆,考试评价"为主线的传统教学模式,容易产生"高分低能"的学生,有悖于人才培养的目标. 尤其在数学课程的教学中,单靠教师的严谨推理和科学描述是不够,因此必须调动学生的主观能动性,使其建立相应的思维和推理方式. 将数学建模融入微分方程的教学是一个很重要的实践途径,可以形成"以问题为主线,以学生为主体,以解决问题和培养能力为主要目标"的教学模式,很大程度的激发学生的兴趣和潜能,较好的培养学生思考、分析、解决问题的能力. 作为教师,可以从以下几点入手:
1. 课前结合所讲授知识点,精心选择案例,编写教案和多媒体课件. 实际问题的引入、背景分析、图形图表、定理和定义的表述都采用多媒体课件. 方程的求解过程,定理的证明等设计为板书形式. 这样的"课件 + 板书"相结合的教学形式,既保证了信息量,图文并茂,又在重点部分给了学生同步思考、推导和记录的空间,从而确保了教学效果.
2. 课内引入数学建模案例,丰富课堂教学内容,适当增加实验课时. 鲜活的建模案例有助于活跃课堂气氛,引导学生积极思考,变被动学习为主动学习. 在解决实际问题的过程中,求解模型是重要的一步,但并不是所有的方程都可以通过简单计算获得解析解的,很多时候要借助于计算机软件( Matlab,Mathematica,Maple 等) 和微分方程数值解法来协助求解. 国内的《微分方程》教材上虽基本上都有一章介绍数值求解方法,但在实际教学过程中受课时等原因的限制而基本被放在大纲要求之外. 而引入数学建模思想构建立体化教学体系之后,数值求解方法成为必要内容,这样才能使实际问题获得完整的解决方案. 因此应在教学中适当增加实验课时,指导学生使用计算机软件求微分方程的解析解或者编程求数值解. Matlab,Mathematica 等强大的绘图功能可以帮助学生直观的理解"方向场"、"轨线"、"相空间"、"相平面"、"奇解"、"包络"等抽象的概念. 同时,其强大的数值计算功能可以帮助学生分析总结所得结果是否合理3. 课后充分利用网络资源帮助学生巩固知识.
首先,通过 BBS 或 E - mail 帮助学生答疑解惑,给学生营造交流讨论问题的环境. 另外,在学习完某个完整的知识体系之后,提供一些实际问题( 如"SARS 病毒的传播问题","请你破案") ,组织学生分组协作,解决实际问题. 在课程的整个学习过程中组织 1 - 2次的模拟竞赛,让学生通过"分析问题( 上网查询收集数据、资料) ---建立数学模型---模型求解( 理论分析或数值求解) ---分析总结"完整地实现数学建模全过程.
三、考核机制的改革
考核不单是对学习效果的检验,也是对学习的一种导向,考核的内容和方式直接决定着学生学习的侧重点. 随着数学建模思想的立体化教学体系改革,微分方程课程的考核机制应做相应调整,改变原来单一的理论考试方式. 在考核机制的改革上应突出如下两点:
第一,提高平时成绩所占比例. 该课程以前的考核都是平时成绩 20%,期末考试 80%,随着"以解决问题和培养能力为目标"的教学体制改革,应适当提高平时成绩的比例,如改为 40%. 平时成绩以到课率、课堂表现、作业、实验环节表现和课外分组建模竞赛成绩为参考.
第二,期末考试试卷内容分配比例调整. 基本理论和方程求解是课程的重点内容,不可忽视,但过去的考试中过于强调计算,解方程占的比例太大. 改革之后应注重对学生数学建模能力,即分析问题、解决问题的综合能力考核,建议基本概念和理论部分占30% ,以填空和选择的形式进行考核; 方程的求解部分占40% -50%; 综合能力考核占20% -30%,以应用题的形式考察学生建模的能力.
改革后的考核机制更为全面,更加公平,能体现学生的真实水平和综合素质,与人才培养目标相契合. 同时,课程考核与选拔参加数学建模竞赛挂钩,考核成绩优秀的学生可以获得推荐参赛资格,以此作为激励,有助于提高学习的积极性.
总之,将数学建模思想融入微分方程构建立体化的教学体系,更加符合我校信息与计算科学专业的办学理念. 首先,这种融入能提高学生的学习兴趣和效果,帮助学生全面了解微分方程的研究背景、方法和意义. 其次,数学建模的过程是对学生分析问题、解决问题能力和创新能力的全面培养. 最后,这种融入教学可以反哺于数学建模大赛,为竞赛培养优秀的选手,取得更好的竞赛成果. 当然,数学建模思想的融入是一个长期的潜移默化的过程,改革方案也需要时间的检验,要在实践的过程中不断调整和完善,才能真正实现教学改革的目标.
[参 考 文 献]
[1]李大潜. 将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学,2006,( 1) .
[2]王高雄,等. 常微分方程[M]. 第 3 版. 北京: 高等教育出版社,2007.
[3]姜启源. 数学模型[M]. 第 2 版. 北京: 高等教育出版社,1999.
[4]周义仓,靳祯,秦军林. 常微分方程及其应用[M]. 北京: 科学出版社,2003.
