近代着名科学家伽利略曾提到“自然这本大书是用数学的语言写成的。”数学不仅在人类探索宇宙和研究自然的过程中起到了重要的作用,而且作为一种生产工具和认识世界的方法论,在人类社会的不同时期,对社会的发展和进步都起了至关重要的作用。中国最早记载数学史料的是《甲骨文书》,从结绳计数到算术、几何、再到微积分,都包含了人类共同智慧的结晶。而《九章算术》就是中国古代数学着作中最闪亮的一颗星。
一、《九章算术》对中国古代数学的影响
《九章算术》在汉朝时期着成,但是它所记载的内容可以追溯到公元前7世纪。在书中涉及到了农业、商业、工程、测量、方程解法以及直角三角形的性质等。它是中国古代数学知识的缩影,全书包含246道应用问题,分成九章编写。分别为:方田———以御田畴界域;栗米———以御交质变易衰分———以御贵贱禀税少广———以御积幂方圆商功———以御功程积实均输———以御远近劳费盈不足———以御隐杂互见方程———以御错糅正负勾股———以御高深广远在书中,在每个问题之后,不仅给出问题的答案,而且还给出相应的方法。在一部分类似的问题后,又统一对方法加以说明,体现出数学是一个举一反三的过程。同时,这也反应出数学这门科学是通过对生活中的事物进行观察、比较、分析、归纳概括后的产物,是源于生活又应用于生活的。
(一)《九章算术》的内容
《九章算术》第一章(方田)的内容是求长方形、正方形、圆形等图形的面积计算公式;第二章(粟米)的内容是谷物粮食的按比例折换;提出比例算法,称为今有术;第三章(衰分)的内容是比例分配问题,并介绍了开平方、开立方的方法,其程序与现今程序基本一致。这是世界上最早的多位数和分数开方法则。它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。第四章(少广)内容是已知面积、体积,反求其一边长和径长等;第五章(商功)的内容是土石工程、体积计算;除给出了各种立体体积公式外,还有工程分配方法;第六章(均输)的内容是合理摊派赋税;用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法,构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。第七章(盈不足)专讲盈亏问题及其解法;第八章(方程)的内容可以说是为了研究粮食产量引出的线性方程组及其解法。它所提出的通过系数的矩阵消去法,直到今天还在使用。
这种解法是最早提出最完整的解决线性方程组的方法。第九章(勾股)中包含两部分,一部分就是勾股定理———也称毕达哥拉斯定理。另一部分是根据相似直角三角形的性质,进行高、深、宽、远的测量方法。
因此,我们可以看出,《九章算术》首先是生活以实际为研究对象,得到的结论是通过实践中观察、实验、分析归纳的结果;其次,它在内容上按照问题来编排,同时有专题讲解和基本的理论;最后,在专题讲解中,着重逻辑的叙述,更便于研究和应用。
(二)《九章算术》的影响
《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的着作;其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造;“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代数方面,《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则;中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯,甚至经过这些地区远至欧洲。《九章算术》成书后直至公元16世纪,中国数学家所编写的数学方面的着作都是与它同体系的。其中大多数算法典籍都仿效《九章算术》的编写体例,并且以其中的算法理论作为进一步研究的起点。着名数学家刘徽和祖冲之都给《九章算术》作过注释,刘徽为《九章算术》作注时说:“周公制礼而有九数,九数之流则《九章》是矣”。并在注释的过程中展开了自己的研究。另有一些数学家给自己的着作冠以“九章”之名,以表达追随《九章算术》的意向。《九章算术》很早传到东南亚等国,并且对这些国家的数学发展起了重要的启迪作用和促进作用。《九章算术》由于其内容的基础性决定了应用的广泛性,其主要内容深刻说明了数学与现实生活的休戚相关,体现了数学是多元复合体,也体现了数学的合作性与民主性。其成书过程折射出的合作与民主精神也是当代社会不可或缺的。《九章算术》对古代中国数学发展的贡献包括:(1)多元一次方程的解法,相当于高斯消元法。(2)开方的计算方法,也反映了古代中国算术的发展。(3)负数的引入,特别是正负数的加减法则的定义等。《九章算术》是先秦至汉代数学的系统总结,对于中国数学的发展有着极为深远的影响,并且在中国和世界数学史上都占有重要的地位。《九章算术》是以社会经济因素中所反映出的问题来选题的,因此中国传统数学与实际生活是紧密相连的。而且以后的数学着作也是延续这一思想编着,注重在实际生活中提炼出数学问题,并给出相应的解决方法。
《九章算术》的精髓就是机械化思想,以构造性与机械化为其特色的算法体系。其实,算法就是所谓的“术”,就是方法的意思。我国古代数学以解决实际问题为最终目标,一切从实际问题出发,形成算法,寓理于算,并进一步应用于解决各种实际问题;同时,数学的内容、思想和方法的发展不受理论框架的限制,注重实际效果(如负数、无理数的创立),并且在内容的表达形式上以归纳体系为主……。
中国古代数学以《九章算术》为核心,并日渐完备,逐渐形成我国古代初等数学体系,不仅影响着世界数学的创造与发展,也为日后我国数学知识体系的不断完善与发展打下了坚实的基础。
二、《九章算术》对中国现代数学的影响
《九章算术》流传的繁荣时期是三国到唐代初期,特别是隋唐时期,不仅把它列为主要的教科书在国内大量流传,而且也传到了朝鲜、日本等邻国。而且早已有人认为印度的几何学来源于中国和希腊。可见,《九章算术》不仅对中国数学而且对世界数学的影响都是深远的。但是到了14世纪中期之后,中国古典数学进入到了低落时期,而西方数学开始蓬勃发展起来。直到16世纪末,西方传教士将西方数学文化传入到中国,并且欧几里得的《几何原本》的前6卷在17世纪译成中文,这些都有力地冲击了中国数学文化的发展。但是当时国内的数学模式仍然延续了《九章算术》的精神,即着重解决实际的应用问题,忽略了对于基本数学概念、定理的探究。中国传统式数学一直处于实用主义的文化背景下,数学一直被认为是一种工具与手段,并没有“纯数学”的哲学概念。因此直到19世纪,西方传教士在中国设立学校,中国学生开始接触西方逻辑体系的数学书,这种情形才稍微有所改变。我国的教育工作者终于意识到中国教育上存在的问题,但是一直到了上世纪60年代初期,我国才开始真正研究教学改革问题。人们认识到学生了解抽象结论的形成是远远不够的,还应该让学生积极地参与到这个认知过程中。由此将原来的注入式教学转变为启发式教学。
(一)《九章算术》对中国现代数学教学思想的推进
《九章算术》作为“算经十书”之首,它所体现出来的思想方法在很大程度上反映了我国传统数学的基本思想方法,如开放式的归纳体系、算法化的内容、模型化的方法等等。这些思想方法对于培养学生的数学能力有着重要的意义。
1.数形结合思想
数形结合就是使抽象思维和形象思想相互作用,实现数量关系与图形性质的相互转化,将抽象的数学关系和直观的图形结合起来研究数学问题。在《九章算术》中,如“方田”、“商功”章的平面图形和立体图形的求积问题,都用数的计算,即着重于考察图形中的数的关系,算出确定的数值。同时,亦用形的直观来解释数的算法。在《刘注》中,刘徽“析理以辞,解体以图”,将数的计算来解决形的研究,证明了书中的很多问题。其中他提出了“令出入相补,各从其类”的出入相补原理,用图形的分、合、移、补证明了不少数学恒等式,开创了中国古代数学中数形结合的独特的研究方法。
数形结合的思想在各个领域融会贯通,特别是应用在课堂上,可以给学生留下深刻的印象,有助于发挥思维的整体性。是现代教学最常应用的方法之一。
2.算法化思想
算法是在12世纪出现的,指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程。算法可以理解为有基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤。或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列,并且这样的步骤和序列可以解决一类问题。《九章算术》的基本内容就是“术”,其数学理论都是以“术”的形式表示出来的。而这些“术”符合现代算法的一些重要的特征,如可行性、确定性、有穷性、有效性和普遍性等。
“术”是在人们对算筹,尤其是运筹动作的直觉把握的基础上得出来的:采用某种方法运算,就可得出某种结果,以对运算动作直觉把握的某种信息来保证其正确性。而运筹动作是建立在人的经验基础上的,因而通过算筹和运筹动作的直觉把握是在经验的基础上实现的。这种直觉把握是一种直觉方法,直觉方法是一种创造性思维方法,它有助于人们在经验基础上的创造,这可以说是中国古代数学取得一系列重要成就的原因之一。
3.极限的思想
极限是一个过程量。是描述一个变量在变化过程中,另一个变量得到的最终状态。极限思想就是用联系变动的观点,把所考察的对象看作是某对象在无限变化过程中变化的结果的思想。这个思想贯穿微积分的始终,是微积分的基本思想。在刘晖求圆的面积时,用内接正n边形的方法,n越大,正n边形的面积就越接近圆的面积。当n趋向于无穷大时,就可以用正n边形的面积求出圆的面积了。这里面应用的就是极限的思想。这个思想对于引导我们求所有不规则图形的面积都是有指导意义的。
4.模型化思想
“数学模型乃是针对或参照某种事物系统的的或数量相依关系,采用形式化数学语言,概括地或近似地表述出来的一种数学结构。”从广义来讲,“一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程式以及公式系列构成的算法系列构成的算法系统等等可称之为数学模型。”数学模型是为解决数学原型的问题而建立的。
(二)《九章算术》对于现代数学思想的制约
现代的数学教育是将数学知识系统化。这里所谓的“系统”有两个含义,第一,按认知规律将数学的知识点由浅入深地按认知的系统展示出来,这个系统着重在心理学、教育学意义上。第二,按数学的内在规律,逻辑地展现数学发展的过程,这个系统是着重在数学的本质特征的推理系统。第三,进入到数学专业,则一门课程就是一个系统,每门课程从集合论上立论,然后按逻辑展开,形成一个完整的数学体系。这个完整的数学系统其实就是一个逻辑演绎系统,从公理到定理到推论,都要严格论证。
《九章算术》是以构造性和机械化为算法体系的。注重实际是它最大的特点。它虽然满足了人们当时社会生产和生活的需要,但是对于知识的根源却缺乏相应的反思与论证,这就挫伤了人们的创新精神,失去了寻根求底的科学精神。这也是中国古典数学到了明代出现停滞的部分原因。没有创新就不会有发展。《九章算术》是按照问题→归类→模型化→程序化筹算的过程来解决问题的,这样就使中国古代数学走上了模式化的道路。实用主义思想,述而不作的研究方法都严重制约了中国数学家的思维方式,从而无法突破创新。而西方传统的数学的程序是:定义→公理→定理。这是由逻辑演绎的思维程序,从对几何图形的观察和归纳得到了公理系统及其定义与命题。《几何原本》用公理法建立数学体系,西方数学的内容主要是证明定理,西方数学是着重推理论证的演绎体系,它的特色是公理化。吴文俊说,中国古代数学根本没有定理的概念,它的主要内容是四则计算和解方程。中国数学是着重解决各式各样的问题,着重具体计算的一种算法体系,它的特色是机械化。
这种机械化的思维方式虽然很大程度上促进了数学的发展,但是忽视理论的研究,忽视各种算法之间内部逻辑联系的研究,加上我国经历了漫长的封建社会阶段,延缓了数学家探索新理论和新思想的步伐。
三、结束语
《九章算术》是中国古代数学的核心,其数学水平是处于当时世界先进行列的,对中华数学文化的发展也起到了十分重要的作用。但随着社会发展及世界数学文化交流的需要,《九章算术》不能完全满足生产和生活的需要,于是数学家们就将东西方的数学基础进行有机的融合。数学的发展历史,就是东西方数学相互影响和此消彼长的历史。笛卡尔的数学研究中,经常会出现逻辑与算法相互影响的痕迹,其中,让几何问题代数化和借助于机械化手段去解决高次曲线作图的思想与中算家的做法不无相同。我们大家熟知的微积分,曾经在算法传统下被主宰数年,直到19世纪才被逻辑传统的数学家加以重建。因此,数学的发展中,算法与逻辑相互补充,使得数学符号体系的完善、抽象概念的形成,严密逻辑体系的建立,各项数学分支如雨后春笋般破土而出,使数学发展步入新的繁荣时期。
参考文献:
[1]吴维煊.《九章算术》成书过程中的数学文化特征[J].广东第二师范学院学报,2011,(11).
[2]夏萌.古代中西方数学比较谈:文化与普适性[J].煤炭高等教育,2013,(01).
[3]李继闵.《九章算术》导读与译注[M].西安:陕西科学技术出版社,1998.
[4]李伯春.一份关于数学史知识的调查[J].数学通报,2003,(03).
[5]孙宏安.中国古代数学思维方式浅析[J],辽宁教育学院学报,1991,(增刊).
