摘 要： 美国数学家怀尔德在拓扑学研究领域贡献卓着,后来开始对数学基础问题进行哲学思考.他尝试用文化人类学的方法研究数学的发展史,把数学看作是人类主体文化体系的一个子文化体系,把数学从原始起源到现代发展的历程,描绘为一个自然的文化进化过程,给出了数学进化的动力与规律,得到众多着名数学家、哲学家、历史学家和人类学家评述,对研究数学史具有重要的启示意义.
关键词： 怀尔德; 数学史; 数学进化论;
Abstract： Wilder is a famous American mathematician who contributed a great deal in the field of topology research.Affected by his interest and study in anthropology,he tried to apply the method of cultural anthropology research to the history of mathematics when he started the philosophical thinking on mathematical basis problem.He looked mathematics as a sub-cultural system in the whole human cultural system and described the mathematical development from the beginning to modern times as a natural process of culture evolution.He revealed the driving forces and laws of mathematics evolution and his thoughts on mathematics evolution were reviewed by many famous mathematicians,philosophers,historians and anthropologists.It would be very inspiring to study the Wilder's theory for our research on the history of mathematics.
Keyword： Wilder; history of mathematics; mathematical evolution;
雷蒙德·路易斯·怀尔德(Raymond Louis Wilder)是美国着名拓扑学家,曾任美国国家科学院院士、美国数学会主席和美国数学协会主席.1950年,在第11届世界数学家大会上,怀尔德的报告题为“数学的文化基础”[1],希望大家能从文化的视角来理解数学这门学科.直至1982年他去世前,一直用文化人类学的思想阐述数学的进化史,本文将简要叙述他的数学概念进化论思想,以及相关学者对其思想的评述.
1、 数学概念的进化
1952年12月29日美国数学会在密苏里州圣路易斯举办大会,怀尔德卸任专题委员会副主席时做了演讲,他认为对于数学家们来说,最重要的是维持一套标准和传统,以保持数学的延续与增长.他的动机是探讨数学概念的起源方式,并研究那些促进数学概念形成和影响其进化的因素.他以数与几何、解析几何、微积分、曲线等概念为案例,讨论了数学概念的进化历程、影响因素和生命周期,尤其还为曲线到拓扑学的进化历程画了一个清晰的思维导图.他坚信数学发展的进化特征,与任何进化过程一样,数学概念进化过程中的环境影响、遗传压力不容忽视[2].
1968年,怀尔德出版《数学概念的进化: 一个初步的研究》一书,系统介绍了文化的概念,数学作为一种文化的思想,详细的讨论了数的进化、几何的进化、数学进化的动力、数学进化的规律与过程[3].他曾无数次声称自己是个“直觉主义者”[4],因此对于数概念的进化,他认为直觉主义将全部数学都应该建立在自然数计数数字1、2、3…的基础上,从进化的观点来看,这种观点是有道理的.怀尔德给出了“数”概念进化的历史阶段序列,包含如下12个阶段: 区别1和2→1、2到多→对象集合的比较(一一对应关系)→计数→数字词→表意文字→神秘主义→数字系统→数字运算→理想主义→新数字类型(复数、实数、超限数等)→逻辑定义与分析.怀尔德后来在美国数学协会的一次会议演讲中调整了这个历史序列,改变了神秘主义和数字系统的先后顺序,并把后三个阶段分别调整为分数、零和负数、复数等等[5].
对于几何的进化,怀尔德认为几何和几何思想模式在整个数学中的传播,对数学进化产生了重要的影响,很难想象没有几何学的数学会是什么样,它在符号、概念和心理意义上都对数学的发展做出了贡献.数学依赖于“数”和“几何”概念的进化,而且这种进化本质上是压力的产物.怀尔德认为在过去的两个世纪里,所谓“纯粹数学”的发展趋势以及现实情况,只不过是一种自然的文化进化[6].怀尔德还对拓扑学中“连通”概念的进化进行了深入研究,并试图澄清连通概念的归属权.他认为连通概念的直觉意义非常明显,来源于关于物理上时间、空间与物质的讨论[7].
2、 数学进化的动力与规律
怀尔德在《数学概念的进化》一书中提出了数学进化的11个主要动力,包括: (1)环境(物质的、文化的)压力; (2)遗传压力(包括能力、意义、挑战、地位、概念压力、悖论); (3)符号化; (4)传播; (5)抽象; (6)概括; (7)整合; (8)多样化; (9)文化滞后; (10)文化抵制; (11)选择.怀尔德对这11个动力因素做了注释和评论.他也指出,虽然对数学进化动力的讨论是从历史观点出发的,但并不意味着把所列各种动力看作是构成一个历史序列的,各种动力通常是同时起作用的.他后来又增加了一个“专业化”[5],但在文中并未解释,直到最后在他的着作《数学作为一种文化体系》书中讨论“整合”时,指出“专业化必然导致整合”[8].
怀尔德进一步讨论这些动力是如何展现出来以及它们的完整性,并给出了数学进化的如下10个规律[3].
规律(1): 在任何给定的时间段,与现有数学文化高度相关、以增强满足自身遗传压力或主体文化环境压力要求之实效性的概念将会得到进化.
规律(2): 一个概念的可接受性和接受程度将取决于其成果的丰富程度,特别是,一个概念不会因为它的起源或者诸如“不真实的”这类形而上学标准而永远被拒绝接受.
规律(3): 一个概念在数学上持续具有重要意义的程度,既取决于它的符号表达模式,也取决于它与其他概念的关系.如果一种符号模式趋向于晦涩难懂、甚至导致这个概念完全被拒绝,假设这个概念有用,那么将会出现一种更容易理解的符号形式.如果一组概念是如此的相关,以至于可将它们全部整合成一个更一般的概念,那么整合后的概念将会得到进化.
规律(4): 如果某个确定问题的解决将推动数学理论的进步,那么该理论的概念结构将会以使该问题得到最终解决的方式进化,有可能是在若干研究者彼此独立情况下解决的(但不一定会发表).(不可解的证明也被认为是问题的解决之道,这方面的例子如化圆为方、三等分角以及类似的).
规律(5): 传播的机会将直接影响新概念的进化速度.这些机会比如可被普遍接受的符号,出版物渠道的增加,以及其他的交流意义.
规律(6): 主体文化的需求,特别是伴随着工具增加给数学子文化提供养分时,将导致新概念手段的进化以满足需求.
规律(7): 僵化的文化环境最终会扼杀新数学概念的发展,不利的政治氛围或普遍的反科学氛围也会产生类似的后果.
规律(8): 当前概念结构暴露的不一致性或不完备性可能产生的危机,将刺激新概念的加速进化.
规律(9): 新概念通常依赖于当时仅凭直觉感知的概念,但这些概念的不完备性终将导致新的危机.同样,一个悬而未决问题的解决也会产生新的问题.
规律(10): 数学进化永远是一个持续进步的过程,它只受到规律(5)至(7)所描述的偶然事件所限制.
当然,他也指出这些建议的规律似乎值得深入研究,以便为其辩护或驳斥.对上述规律,怀尔德评论指出[3],所谓“主体文化”是指把数学作为子文化的文化.它不是唯一可定义的.从历史上讲,它在某时候是由国界决定的,就像中国古代数学一样.在现代,除非有政治力量介入,否则主体文化通常会超越国界.在第(6)条规律中,考虑美国自二战开始以来数学发展状况是很有启发性的.主体文化的经济和政治需求刺激了计算机的发展,并最终在理论和应用数学中翻开了崭新的一页.第(1)条规律不证自明,新概念总是以某种方式与现有数学概念相关,它们的发明是由解决现有数学文化(遗传压力)或主体文化(环境压力)提出的紧迫问题需要所推动的.一个人可能拥有令人钦佩的创造现代代数概念的心智结构,但他碰巧是个古希腊公民,那他肯定永远也创造不出现代代数概念.一个支持第(2)条规律的很好例子是数学中最终被迫接受负数和虚数.第(3)条规律的例证是实数位值表示系统的进化.巴比伦密码符号被其他更简单的符号所取代,但是巴比伦扩展到分数的位值系统幸存下来,形成数字系统的起源.描述规律(4)最着名的例子是欧几里得平行公理这一经典问题.该解决方案通常被认为是高斯、罗巴切夫斯基和鲍耶在19世纪前三分之一时期独立工作的结果.怀尔德认为似乎没必要详细阐述中国古代数学的第(5)和第(7)条规律.中国古代数学就像它的主体文化本身一样,变得僵化了.同样的例子是希腊人数学创造力的下降与那个时代普遍文化衰退同时发生.关于第(8)条规律可以首先指出希腊数学的危机,这种危机是由于发现无理量和芝诺悖论而造成的,接下来是希腊几何学发展的创作期.关于数学分析基础的危机最终导致了实数系的概念,也很好地描述了第(9)条进化规律,因为它将集合概念引入数学,而这又在20世纪初引发一场新的危机.而不加控制地使用集合这个概念会产生矛盾,因此必须对其进行分析.只有对数学史进行更全面的论述,才能充分支持第(10)条规律的主张.毫无疑问,创造性的职业数学家们通常会根据自己的经验来达成共识,事实上,在实质上是规律(8)和(9)的必然结果.
3、 相关的历史评述
怀尔德《数学概念的进化》一书出版后,得到了众多数学家、数学史家、科学史家、人类学家和数学教育家的积极评论,其中赞赏和批评的意见都有.例如,曾做过美国数学教师协会主席的明尼苏达大学数学教授约翰逊,给怀尔德这本书写了书评,详细介绍了全书的主要内容,他认为这是一本值得学者用来引用和作为参考文献的参考书,这本书最成功之处是把数学作为一个动态的知识领域,以应对社会发展的需要.该书最重要的用途是作为培养中小学数学教师的“数学文化课程”教科书使用[9].
英国格林威治皇家海军学院数学教授布罗德本特指出怀尔德书的一大优点是,没有为人们提供一系列圆滑、肤浅的答案.相反,它陈述事实、提出问题,并提出了可能的解释.作者主要研究了数和几何概念的进化,他的方法既是数学家的,也是人类学家的.该书是对文明史的重要贡献,极大加强了联合国教科文组织在“人类史”百科全书中对“数学”词条的不慷慨处理.正如美国宇航员阿姆斯特朗在前往月球路上写的评论:无论这是我们文明的胜利还是灾难,它肯定取决于数学技能,对当代世界的任何认真研究都不能忽视数学在其中的重要意义,尽管这种重要性经常被低估.怀尔德教授谦虚地把他的书称为“一个初步的研究”,事实也是如此.但人们还是希望这是朝着更深入、更全面研究所迈出的第一步,并拓展讨论20世纪下半叶数学在文化中的地位[10].
美国着名数学史家博耶直接给这本书定义为“数学人类学”,博耶指出,心理学研究表明,数学能力是非常微妙和难以捉摸的,这在阿达玛名着“数学领域的发明心理学”已经指出.怀尔德的工作是对阿达玛这方面问题的一个补充,不妨称之为“数学领域的发明人类学”,因为该书主要关注了“数学作为文化有机体的进化过程”,尽管作者的主要成就是数学研究,但该书更多的采用人类学家观点胜过秉承数学家的观点.博耶认为怀尔德尽管用整整一章来讨论实数,但却几乎没有涉及负数和虚数文化基础问题的讨论.几何概念的进化也比数概念进化所用的笔墨少,而且他也没能运用自己的内部(遗传)和外部(环境)压力原则,讨论十七世纪为何射影几何会被冷淡的对待.博耶认为怀尔德关于数学概念为什么被创造和发展的讨论,并不是对这一话题的最终解答,而是在这个方向上的代表性尝试工作.作者以广泛熟知的历史材料、精准的数学素材,以及吸引人的风格书写了这本着作.尽管有些人不会完全认同他的相关论点,但该书以非常乐观的态度结尾.当前数学的发展状况导致令人激动的现实是,因为数学的文化本质,它的进化不会终止[11].
美国着名数学史家斯特洛伊克指出,从文化视角对数学的地位及其发展,以及其从一个文化向另一个文化传播的研究还很少.怀尔德的研究从文化学的观点多于从心理学的观点,尽管人们已熟知一些庞加莱和阿达玛等现代数学家的特定观点.该书将会引起历史学家、文化人类学家的兴趣,以及中学数学老师的兴趣.斯特洛伊克将自己的观点与怀尔德做了比较,怀尔德称之为环境压力的因素,就是他自己曾经强调的社会经济和政治因素,以及他自己也曾类似的讨论过“概括”和“抽象”因素.他同意怀尔德的观点: 尽管个别数学家的观点认为,文化中数学的功能是一门基础科学,正如人们所见到的数学对其他科学的支撑,但数学的人文方面可能更重要.无论如何,这是一本非常有用也写得很好的书,推荐给那些喜欢数学史并想知道数学家为什么研究数学的人阅读[12].
美国文化人类学家、文化进化论的代表性人物塞维斯认为,怀尔德的书实现了被誉为现代人类学之父的英国人类学家爱德华·泰勒关于人类学具有跨学科实用性的有益尝试,在他的数学家大会演讲和后续几篇文章的基础上形成了“数学人类学”的研究.怀尔德以他自己独特的方式讨论了数学的进化,专业化时代的实践应用及数学与其他学科的关系,重要的是怀尔德是基于一般文化进化的视角出发的.这本书应该引起更广泛的读者兴趣.一位职业数学家利用其对人类学的兴趣,为数学理论写了一个独到的介绍,它将吸引任何一个受过数学训练的读者.塞维斯指出,自己作为一个职业的人类学家,在数学方面并不专业,但这本书吸引了他的注意力并教会他很多,带来意外的惊喜.这本书可以推荐给人类学家(无论他数学水平如何),怀尔德的工作恰如泰勒对人类学评述的那样[13].
普林斯顿大学历史系科学史研究方向的马奥尼教授认为,这本书既能使数学史家感到振奋又令人沮丧.令人振奋的是怀尔德从深刻洞察的承诺开始,他指出数学是人类自己的创造,这种数学类型和人类任何其他适应机制一样,都是当时文化需求的函数.但后来怀尔德却没能实现这一承诺,显然是因为作者没有认识到自己论点的深刻性.怀尔德虽然尝试了“数”概念的文化史研究,详细的对古希腊几何在塑造西方数学思维习惯中的作用进行了审视,但未能让批判的读者满意,部分原因是有些数学历史的内容不断冲突.怀尔德忽视了他着作的主旨,即如果数学能反射出文化,那么历史学家应该在其文化背景下对待以往的数学.而作者频繁地忽视历史分析,总是沉溺于“如果”的幻想里,如果巴比伦人这么做,如果希腊人这么做,等等.这种推测仅能提供微小的历史洞见,且制约了作者对自己观点的正确回答.不断地重复对“实无穷”的反对,陈述康托的数理论,好像今天所有的数学家都同意似的.这本书为数学史指出了一条很好的道路,但也仅仅是指出道路而已[14].
美国圣母大学科学史与哲学教授克洛也曾探讨过数学历史演变的“十条规律”[15],1974年8月7日至9日,美国艺术与科学学院在马萨诸塞州举办“现代数学的进化”工作坊,克洛也演讲了相关的内容[16].在这次会上,美国女数学家科佩尔曼也给出了类似的“数学的六个历史进程”[17].克洛后来曾针对怀尔德一书提出的数学进化规律若干条进行了质疑,包括进化“动力”一词的本质含义,以及各条进化规律中词语的使用等问题.当然,他也提醒读者,不要因为上述批判性评论就错误的认为怀尔德的书不值得严肃对待,这本书不仅是教师的出色数学史工具书,而且是所有创造性的数学史家必须面对并将从中获益的一本书[18].怀尔德对此给出了积极的回应,强调了他所运用的“动力”一词是“文化进化论”中的概念,都是人类学家使用的词语.怀尔德逐条对其质疑进行了辩驳,并认为在一些规律上二人的意思大致相同,但对克洛称他为一个“实用主义者”,怀尔德认为自己同时也是个“概念主义者”,或者更愿意将自己定为一个“文化进化主义者”[19].
参考文献
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