摘要：概率论与数理统计具有严密的逻辑性、广泛的应用性和较高的抽象性，同时也蕴含了丰富的思政元素，比如诚信踏实、坚持实干的价值观，联系与发展、整体与局部、对立与统一、理论与实践的辩证关系等，授课教师可以通过列举恰当的生活案例或寓言故事、讲述知识点的历史典故、总结知识间结构体系等方式，在传授理论知识的同时揭示其中的思政元素，将思想道德、辩证唯物主义、时代精神、家国情怀、社会主义核心价值观等元素融入课堂教学内容，润物细无声地提升学生的思想道德，使教学效果更具深度和广度。
关键词：概率论与数理统计； 分布函数； 思政元素； 辩证关系；
概率论与数理统计产生于人类的生产实践和社会活动中，起源于对赌博问题的研究。在当代高校的课程中，概率论与数理统计是大学理工科以及经济学等专业开设的一门基础必修课程，其演绎推理、假设检验等统计思想具有抽象性和逻辑性，应用广泛遍及于自然科学、军事科学、医学等诸多领域。2014年，习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上强调："思想政治理论课是落实立德树人根本任务的关键课程".[1]要用好课堂教学这个主渠道，各类课程都要与思想政治理论课同向同行，形成协同效应。实际上，概率论与数理统计的概念以及公式定理背后有着有趣的故事和寓意，蕴含了许多思政原理和社会主义核心价值观，课堂上凝练并融入这些可以极大地吸引学生的学习兴趣，可以收到比思政课堂更生动和深刻的教育效果。本文以此展开，对该门课程的典型思政案例进行深度剖析，为教师的概率论与数理统计课堂提供新的教学思路，使学生能学到专业知识的同时真切地体会社会主义核心价值观、辩证唯物主义，落实"课程思政"教学以及思想教育，进一步使学科内容更具深度，使学科课堂更具温度，使教学效果更具广度。
一、讲诚信懂踏实的思政元素
诚实守信、踏实肯干是为人处世的基本原则，是社会主义核心价值观中的内容。概率论与数理统计课程的教学内容中有许多可以体现讲诚信懂踏实的思政元素，利用条件概率的贝叶斯公式就是其一。在教学过程中可以举例 "狼来了"的故事。假设事件"小孩诚实可信"用A代表、事件"小孩撒谎"用B代表，在最初小孩没骗人时人们"对小孩的相信程度"P（A）=0.75,假设"可信的孩子说谎的概率P（B|A）=0.1,不可信的孩子说谎的概率P（B|A）=0.55.通过贝叶斯公式[2]:B1,B21,…，Bn是一完备事件组，则对于任一事件B,如果B,P（B）>0,有P（Ai|B）=P（Ai）P（Ai）P（B|Ai）Σj=1nP（Aj）P（B|Ai）， i=1,2,…，n,计算得小孩第一次说谎后他的诚信度降为P（A|B）=0.75×0.10.75×0.1+0.25×0.55=0.35,同理，利用贝叶斯公式可计算出他再次撒谎后诚信度已经低至0.09,已经与撒谎孩子的信任度接近，所以，村民对他不再信任。当村民听到他第三次呼叫时认为他在撒谎，所以，没有上山打狼，小孩最终害了自己。这个案例就揭示了诚信的重要性，经常撒谎的人最终由于诚信危机而危害了自己。在讲授贝叶斯公式和这个案例后，教师就可以点拨出社会主义诚信观的重要性，告诉学生：就个人层面讲，诚信是每个人立身的基础；就社会层面讲，党的十八大以来，习近平总书记提出"要把诚实守信作为社会主义和谐社会的基本特征之一".这不仅是一种时代精神，更是实现社会主义的内在动力。
还有超市产品不合格追源问题、组装型不合格商品问责各部件外包商问题、保险赔偿问题，都会由概率分析或计算的结果影响到人们对源头商家的诚信认同度，进而因为诚信问题减少或者停止合作。教师在授课时可以将诸如此类案例的计算结果与社会主义诚信观穿插结合起来，引导学生树立正确的意识：诚实守信是中华儿女的传统美德，也是一个人的立身之本、立身之基，要做一个诚实诚恳、信守承诺的人，传承这种美德血脉。
数学期望又称"均值",也可以说是对未来的预期。教师可以从定义出发，以案例为切入点，让学生明白对未来要有切合实际的期望，并且要脚踏实地去实现。例如：有些学生平时不勤奋刻苦，寄希望于考试超常发挥；看到电视里有人中彩票大奖，便寄希望于"一夜暴富"或者赌博。教师可以通过对事件期望的计算分析出这类事件的成功概率极低，使学生明白未来事件的"均值"是基于之前事件的分布，不切实际的期望是难以实现的，唯有树立合理的目标，注重平时的积累，踏实勤恳才能有所成。个人是这样，实现社会主义现代化也是这样，唯有从本国国情出发，走中国特色社会主义道路，才能实现中华民族的伟大复兴。
诚实守信、踏实肯干精神的培养在提升个体涵养的同时，还可以形成一种优良的社会风气，有助于树立"诚实守信"的社会主义核心价值观。这为建设和谐社会提供了先决条件。
个体虽然是独立存在的，但基于社会属性，个体与个体之间存在着一定的联系。就如同课本知识一般，独立模块存在但亦存在着密不可分的联系，想要对知识有更深刻的认识，就要从中挖掘内部的联系。
二、寻联系求发展的思政元素
概率论、几何、微积分、代数可以说是数学中四大板块，但他们之间往往紧密相连。所谓"寻联系",不仅是寻找知识模块之间的关联，也是寻找学科之间的联系，更是寻求"辩证唯物主义联系观"的深刻思想。而"求发展"则是在"寻联系"的基础上深刻体会"唯物主义发展观"的精神内涵，并反思如何在教学中使学生形成知识体系，提高他们联系知识的能力，增强他们的学习兴趣，进而提高他们的学习能力。
在概率论与数理统计第二章[2]中引入了随机变量的概念，实际上，它就是定义在样本空间上的实值函数，可见，随机变量与高等数学中的函数二者本质上都是实值函数，这就是他们的联系。但前者的取值具有概率性和不确定性，这与函数取值的确定性不同，可见，二者具有差异性。这正好体现了马克思主义哲学原理中的"联系的客观性、普遍性和多样性""共性和个性的辩证关系"及"事物的不断发展性".概率的教学内容的主线之一是分布函数。内容安排首先是一维随机变量的分布函数，接着是一维随机变量函数的分布函数，再到二维的以及二维随机变量函数的分布函数，进而是条件分布函数。这些都是围绕公式F（x）=P{X≤x}计算并展开的，教师可以提炼出他们之间的共性、联系性以及发展性，便于学生理解和记忆，同时，可以让学生感知到"透过现象看本质"的理性思维的重要性。
此外，从大的方面说，概率计算经常会与几何、微积分等知识紧密联系。比如典型案例浦丰投针问题。在两条平行线里随意抛掷一根长度小于平行线距离的针，计算针和任意一条平行线相交的概率。这个案例的计算就要用到概率公式、微积分和几何画图方法。这样的例子还有很多：求解连续型随机变量的分布函数F（x）要用到对密度函数的积分，由分布函数求密度函数要用到微分，解连续型随机变量的期望要用到积分，更有求方差、求联合分布函数等均与微积分思想紧密结合。教师以此揭示事物的普遍联系性和不断发展变化，并且提醒学生每一节课都要消化才能学懂下一节课。
与此同时，这个"寻联系"的过程可以帮助我们理解辩证唯物主义联系观的内涵：事物与事物之间的联系是普遍存在的，并且联系是多样性的。中国的发展离不开世界，世界的发展也需要个性化的中国。有了"寻联系",我们便可"求发展":唯物主义发展观强调，事物不是一成不变的，而是在不断地发展之中，要用发展的眼光看问题。我国辉煌壮丽70年的历程就很好地体现了这一点：在初期，党致力于寻找基本国情和马列主义之间的联系，将二者紧密结合，形成统一整体，为综合国力的增强提供了坚实的理论基础。在发展到一定阶段后，党用发展的眼观看世界，在世界多极化这样的时代背景下，中国在谋求自身发展的同时，提出"一带一路""人类命运共同体"等理念，谋求国与国间互利共存、共赢、同发展。教师在授课时，要协助学生寻找知识点之间的联系，以提高学生的归纳总结能力及培养良好的学习习惯，在课堂中带入一些相关学科知识，通过对比与联系，激发他们的学习兴趣和主观能动性，教师可以巧妙地将"寻联系、求发展"根植于学生的学习习惯、专业发展、未来发展。从学生未来发展来看，唯物主义发展观思想有助于培养他们对自己不气馁、不放弃，对他人不苛责的品格。
在找到知识的联系与发展之后，就要将其与社会中存在的现象结合起来。"空谈误国，实干兴邦。"习近平总书记也曾呼吁大家要 "撸起袖子加油干".理论脱离实际，终究是纸上谈兵，唯有坚持实践，才能减小与真理之间的误差。
三、教坚持谈实践的思政元素
从伯努利概型出发，可以揭示小概率事件的量变与质变规律，从而联系辩证唯物主义三大规律，以此引申出"坚持与实践""锲而不舍，金石可镂"的思政元素。在教学内容中有个伯努利概型、二项分布的案例：某人进行射击，设每次射击的命中率极小，为 0.02, 独立射击400次，由公式P{X≥2}=1-C0400（0.02）0（0.98）400-C1400（0.02）（0.98）399可计算得至少击中两次的概率约等于0.9972,即击中目标至少两次是几乎可以肯定的。可见，一个事件（因素）尽管在一次试验中发生的概率很小，但在大量的独立重复试验中，这事件的发生几乎是必然的，也就是说，小概率事件在大量独立重复试验中是不可忽视的。这说明虽然只是一件微不足道的小事或收获，只要坚持做下去就会产生意想不到的惊喜，"水滴石穿，贵在坚持".
这个定理可以联系量变与质变的规律。习近平总书记2013年在十八届中央政治局第五次集体学习时的讲话指出"蠹众而木折，隙大而墙坏",2014年指出"千里之堤，溃于蚁穴"……教师在授课时，可以由伯努利大数定律、小概率事件等的推导引出量变引起质变的哲学原理，进而启发学生坚持不懈，锲而不舍，厚积而薄发。
同时，辩证唯物主义除了包含量变与质变规律外，还包含对立统一规律。从某种意义上说，概率论与数理统计存在对立与统一的关系：概率论重理论、数理统计重实践。比如，新药的使用剂量就是要利用大量的临床实验样本统计得出。概率论中许多统计定理又是从实践中归纳出来的，比如正态分布规律、伯努利大数定律、极大似然估计法等。再如基格里纹科定理：设x1,xn,…，xn是取自独立同分布函数F（x）的样本，Fn（x）是经验分布函数，当n→∞时有P{Iimn→∞？sup?∝<x<+∝|Fn（x）？F（x）|=0）}=1.这个定理说明，随着样本容量的增大，经验分布函数向真实分布逼近。这也在一定程度上解释了"实践出真知"的观点，当实践足够多时，人们总结出的经验就无限接近于真理。无产阶级革命家陶铸曾说："经不起实践检验的理论，是毫无用处的，甚至是有害的。"可以说理论与实践相互依存，二者互为基础、缺一不可。教师在教学中，一定要启发引导学生领悟概率论与数理统计中的实践内涵，告诫学生把所学的理论知识要与实际生活结合起来，唯有实践方能出真知。
四、理清局部与整体，从"三观"到社会主义核心价值观的思政元素
概率论与数理统计中常通过研究样本的概率统计特性来研究总体的特性，[3]在实际应用中一般总体的分布或者其中的参数未知，在操作过程中对其检验十分复杂，统计推断就是利用样本值对总体的分布类型、未知参数进行估计和推断，将复杂问题进行简化。比如，通过样本均值估计总体均值、样本矩估计总体矩、样本中心矩估计总体中心矩。这存在着从点到面，由面及点，从局部到整体，由整体到局部的辩证关系。据此，我们可以将学生的人生观、世界观、价值观与社会主义核心价值观之间的辩证关系巧妙地结合起来。
局部制约着整体，一定程度上可以推知整体，反过来，整体制约着局部。他们二者是相互联系、缺一不可的。在生活中，还有典型的产品合格率问题：在计算某产品的合格率时，对每件成品进行检验显然是不切实际的，人们通常会采用抽样统计的方法，抽取简单随机样本进行概率计算，从而推知整体产品合格率。显然，如果没有随机样本就无法推知整体合格率，而另一方面整体合格率代表着随机样本。
就学生的心理成长规律而言，教师可以从他们对事物的认识和理解的过程入手，从细节到局部，从局部到整体，再从整体到局部的思维模式，引导他们形成更为完善的世界观、价值观和人生观。正确的、积极的、上进的"三观"能够帮助他们更透彻地理解和贯彻社会主义核心价值观，唯有爱国、诚信、敬业、友善的青年一代，才能筑造自由、平等、公正、法制的社会，才能构建富强、民主、文明、和谐的社会主义强国。反之，从整体到局部，中华民族伟大复兴的中国梦，它是国家梦，同时也代表了新一代青年的奋斗之梦，是每一个中国人民的梦。
大学培育的不仅仅是专业型人才，更应是品德高尚、思想进步、"三观"端正的爱国爱党的综合型人才。大学数学作为必修基础课，对学生解决问题的能力、逻辑推理能力的影响深厚，而且还影响到整个大学的其他课程的学习。因此，相应的"课程思政"教学对学生的影响时间长、覆盖面广，教学时将"思政元素"与之结合显得尤为重要。概率论与数理统计作为大学数学的一部分，其中有许多思政元素可以思考、挖掘和提炼，教师在教授专业知识的同时将思想道德、辩证唯物主义、时代精神、家国情怀、社会主义核心价值观等元素融入课堂，切合学生发展需求，贯穿课程教学，落实培养现代化社会主义新青年。
参考文献
[1] 吴静怡，朱亮。学习共同体理论在高校课程思政建设中的应用研究[J].浙江万里学院学报，2018（5）：107-110.
[2] 吴赣昌。概率论与数理统计[M].北京：中国人民大学出版社：67.
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[5] 郑奕。大学数学"课程思政"的思考与实践[J].宁波教育学院学报，2019（1）：59 -61.
