概率论的发展历程与日常运用

数学与生活论文第三篇：概率论的发展历程与日常运用

 

　　摘要：介绍了概率论的创立、发展近340年的历史以及数学工作者在概率论发展中所做的贡献，概述了概率论的近期发展方向，并列举了其在生活中的若干应用。

 

　　关键词：概率论; 发展简史; 概率论应用; 中心极限定理应用;

 

　　History of Probability Theory and Its Applications in Life

 

　　SUN Ye-qiang WANG Na

 

　　School of Applied Sciences at Jilin Engineering Normal University

 

　　Abstract：A brief introduction to the founding and development of the probability theory in the past 340 years or so and mathematical researchers ' efforts for its existence was made in the paper as well as an overview of its recent progress and several applications in real life.

 

　　研究概率论的发展简史为我们提供了经验和教训，以史为鉴，让我们可以明确概率论的研究方向。研究概率论在生活中的应用，让人们了解到生活无处不概率，认识到概率论的重要性，并且可以激发人们对概率的兴趣，进而使更多的人研究概率，让概率论能够更加壮大。我国是从1940底开始对现代概率统计进行教学和研究，直到1956年，概率论的重要性逐渐被国家所认识到，于是国家将其列为数学的三大发展方向之一。在这一潮流中，徐宝禄招募了来自全国各地的师生，集中精力开设概率论的班级，并且聘请国外着名学者到中国讲学，开设现代概率统计课程并且组织学术研讨会。在此期间，许多青年教师和学生进行概率研究，使得概率论在我国的发展突飞猛进。目前，我国的概率研究处在国际的前沿水平。然而，在时代发展相当快的今天，我国的概率统计研究的发展空间还是相当大的。

 

　　1 概率论的发展简史

 

　　1.1 概率论的创立

 

　　1650年一名赌徒为了寻求赌博中的胜率问题，找到了着名的数学家帕斯卡，询问他一个着名的问题:“两位赌徒在一次比赛中相遇并下注。无论谁赢得S局游戏，都被认为是胜利者。当一个人赢得a(a<s)局而另一个人赢得b(b<s)局时，赌博停止，询问赌博应如何划分是合理的。”1654年7月30日，帕斯卡写出了他自己的解决方案，并写信分享给了数学家费马。后来，惠更斯也加入了他们的研究行列。就这样，概率论的研究从这三位数学家的几封信中开始了。因此，这三位数学家是概率论研究的始者，他们是概率论真正意义上的创立者。

 

　　1.2 概率论的发展

 

　　随着对概率的研究，人们根据生活中的实际经验提出了等可能性。例如，扔硬币出现正反面的可能性是相同的。同样的，掷一枚骰子，每个点的可能性是1/6。为了证实这一点，数学家做了许多重复的实验。设试验总频数为n，事件A发生次数为μn，定义频率Fn=μn/n。从理论上讲，当n足够大时，频率应当向着稳定值逐渐靠拢，而这个稳定值就可以近似于事件的概率。然而，这需要一个正式的证明。1717年，伯努利证明了当n→∞，频率μn/n收敛到一个固定常数，也就是说，如果设P(A)=p>0，对任意给定的ε>0，有

 

　　这是着名的伯努利大数定律。

 

　　1718年，棣莫弗发表了《机遇原理》，书中叙述了概率的一些计算方法。不仅如此，该书作者发现了随机变量的正态分布，找到了正态概率的分布曲线，他就是棣莫弗。1732年，他证明了在伯努利的情况下，如果p>0，对于任意x的有限区间[a,b]，有

 

　　这是最早的中心极限定理。

 

　　1801年，拉普拉斯推广了棣莫弗定理。这个定理现称为棣莫弗—拉普拉斯定理，他证明在伯努利情形下，若p>0，则n→∞时，有

 

　　1812年，他发表了《分析概率论》。可以说，他是第一个严格系统地为概率论发展打下坚实基础的人。

 

　　1832年，泊松将大数定律推广到更一般的情况。他证明，在一个独立的测试序列中，该测试中事件A发生的概率等于pk，且该测试中事件A发生的次数记在μn中，则对于ε>0，有

 

　　显然，当pj=p(j=1,2,3，…，n)时，即为伯努利大数定理，泊松通过研究，发现了在概率论中占重要地位的一个分布———泊松分布。即当n→∞时，若npn→λ，则

 

　　在18世纪和19世纪初，概率论在社会中流行起来。然而，由于一部分人将它的作用夸大，许多人试图将它应用于“道德”层面上，但都以失败告终。这种错误的思想在西欧19世纪下半叶盛行一时，所以，这一时期西欧的概率论发展停滞不前。但在同一时期，俄国在概率论的研究有着极大的突破。

 

　　1887年，切比雪夫引入矩方法，将大数定律进一步推广。矩方法的出现为后来的数学研究提供了巨大的方便。此外，他还证明切比雪夫不等式:P:{|X-E(X)|≥ε}≤D(X)/ε[2]。在切比雪夫之后，俄国概率论的发展大致可以分为两个时期:第一个时期以研究独立随机变量序列和马尔可夫链为特征，其代表性人物是切比雪夫的两名学生马尔可夫和李雅普诺夫。第二个时期的研究特点是在概率论中引入实变量函数，而在这个时期里，辛钦以及柯尔莫哥洛夫为代表人物。

 

　　马尔可夫研究了大数定理和中心极限定理，并将其应用扩展到随机试验中。他还在随机现象中发现了一种特殊的随机序列———马尔可夫链。李雅普诺夫进一步推广了中心极限定理。

 

　　为了顺应概率论的公理化趋势，1933年，柯尔莫哥洛夫出版了《概率论的基本概念》。他将概率的明确定义写在这本书里，并且在勒贝格测度和积分理论的基础上，建立了一个严格的概率公理化系统。

 

　　1934年，苏联数学家辛钦创立了概率论的一个重要分支:平稳随机过程。他指出，当系统过程的历史对未来的发展有重要影响时，马尔可夫过程是无法描述的。平稳过程的发展为统计力学和气象学领域，特别是对表现出周期性行为趋势的现象的研究和应用，提供了一个合适的数学模型。

 

　　1955年，“应用概率”这一概念被提出。这一伟大的创举为概率论提供了空前绝后的理论，这一应用研究的出现，使概率在社会科学的量化更加精确，使概率在生活中的作用变得不可估量。应用概率的主要分支包括:排队论，博弈论，信息论，随机规划等，而且与应用生物统计学，应用药物统计学，军事统计学，流体统计学等其他的学科相互结合。

 

　　2 概率论在生活中的若干应用

 

　　概率论与我的生活息息相关。在日常生活中，股市是涨是跌，或者是否会发生某种意外都离不开概率。然而，任何不确定事件都可以用概率模型进行定量分析，如抽样调查、医疗、评估、旅行等。下面用几个实例来看看概率论在这些领域的应用。

 

　　2.1 二项分布在投篮中的应用

 

　　如今全民健身已经是一个耳熟能详的口号了。健身不仅可以给我们一个健硕的体魄，还能让我们的心情放松。因此，在我们的日常生活中，在许多地方都能看到人们运动的身影。然而，在一些运动的背后，都隐藏着概率的知识，以篮球为例，运用二项分布的相关知识来解决这一问题。某人在篮球场进行投篮，假如他每次投中的概率为0.02，独立投篮400次，那么他至少投中两次的概率是多少?

 

　　解设击中的次数为，则

 

　　X～b(400,0.02)

 

　　那么X的分布律为

 

　　于是所求概率为

 

　　由以上分析可知，他至少投中两次的概率为0.9972。

 

　　2.2 全概率公式在生产中的应用

 

　　某工厂为了提高某一产品的生产速度，开设了四条生产线。每条生产线的不合格率与生产所占份额各不相同，具体数据见表1。

 

　　表1 某工厂生产数据     

 

　　现在商家想从生产线上任意取一件已完成的产品，其不合格的概率是多少?

 

　　解设A表示“取到不合格品”，Bi(i=1234)表示“取了第i条生产线的产品”，由全概率公式得

 

　　所以，从出产的产品中抽取一件不合格产品的概率是3.15%。

 

　　2.3 全概率公式在医疗中的应用

 

　　随着吸烟人数的不断增加，肺癌患者的人数日益增多。据调查，在中国一个人患肺癌的概率约为0.1%，而中国的吸烟人数约占总人口20%，患肺癌的概率约为0.4%，那么在不吸烟的人中抽取一个患肺癌的概率为多少?

 

　　解设表示“患肺癌”，B表示“吸烟”，则P(A)=0.001，则P(B)=0.20依题意可得，P(A/B)=0.004

 

　　由全概率公式可得

 

　　将题中已知数据代入上述公式中，得

 

　　由此可知，不吸烟得人患肺癌得几率是非常低的，只有0.025%。

 

　　2.4 贝叶斯公式在医疗中的应用

 

　　据调查，在自然人群中，人们患某病的概率为0.5%。在身体没有不舒服的前提下，去医院检查是否患此病，其准确率为95%。那么当试验反应是阳性时，被诊断者患有这种病的概率是多少?

 

　　解设A表示“试验反应为阳性”，B表示“被诊断者患病”由题可知P(B)=0.005,P(A/B)=0.95，则

 

　　因此被诊断者患有这种病的概率是0.0872。

 

　　2.5 中心极限定理在旅游中的应用

 

　　随着生活水平的提高，人们的旅游兴趣日益增加。为了促使旅店生意兴旺发达。某旅店一共有20个大房间，每个房间有10张床。每个房间被游客预订的床位数量为Vk(k=1,2，…，20)。随机变量均匀分布，区间为(0,10)。记V=∑k20=1Vk，询问整个青年旅社预订的床位数量超过105个的概率，即P{V>105}。

 

　　由独立分布的中心极限定理，随机变量近似服从正态分布N(0,1)，则

 

　　因此整个青年旅社预订的床位数量超过105个的概率为0.348。

 

　　2.6 中心极限定理在学校安装水龙头中的应用

 

　　在学校里，水龙头拥挤是常见的现象。某大学有5000名学生，只有一个开水房。当到了打水高峰期的晚上，学生们所排的队伍如一条长龙，甚至还会因打水而出现争吵打架现象。为了减少同学之间的争吵打架，学生会提议增加一个水房。经调查每个学生在晚上通常会占用1%的时间占据水龙头。现有旧水房中只有45个可以使用的水龙头。那么:若不增加新水房，打水的学生出现人潮的可能性有多大?

 

　　解设同一时刻占水龙头的学生数为，则X～B(5000,0.01)

 

　　那么拥挤的概率为

 

　　为简化，可用隶莫佛-拉普拉斯定理，已知

 

　　故

 

　　从而

 

　　P(δ≥45)≈1-0.2389=0.7611

 

　　拥挤的概率竟然高达76.11%，怪不得打水过程中会出现那么多起争吵。

 

　　如今概率论的应用范围十分广泛，包括保险、自动化控制、管理、旅游、医疗和工农业生产等。经过数学研究人员的不断努力，概率论的理论知识不断完善，其应用范围将随着社会的需求不断扩大。

 

　　3 结论

 

　　概率论起源于赌博问题。而首先对这个问题进行研究与讨论的是帕斯卡、费马、惠更斯等人。之后，更多的数学家开始研究概率问题，数学家伯努利提出着名的大数定律，棣莫弗发现了正态概率分布曲线，后来，经过数学家的不断努力，使概率论的理论不断完善。

 

　　概率论现已成为数学的不可替代的分支，经过数学工作者的长期而艰苦的奋斗，其理论不断完善，应用范围不断深入，包括保险、旅游管理、医疗、自动化控制和工农业生产等领域。而在上文中我们只是介绍了其在医疗、生产、旅游、管理等方面的简单应用。随着概率理论的不断完善与社会需求的日益增加，概率论的应用范围将越来越广阔。发展到今天，概率论在人类社会的生活领域中起着不可磨灭的作用。

 

　　参考文献

 

　　[1]巩馥洲．概率统计的研究与发展[J]．中国科学院院刊，2012,27(2):175-188.

　　[2]胡晓飞．赌博产生的数学———概率论的起源和发展[J]．科技风，2013(18):189-189.

　　[3]蔡东汉．概率论简史[J]．华中师范大学学报:自然科学版，1990(4):112-115.

　　[4]布合力且木·阿不都热合木．概率论在日常生活中的若干运用研究[J]．数学学习与研究，2017(14):6-6.