20 世纪 30 年代开始，法国崛起一批年轻的学者，他们思想活跃，思维敏捷，另辟蹊径，闯出了一条现代数学发展的新路。这个自称为（也广被人们称之为）布尔巴基（Bourbaki）学派的主要代表人物有J.迪多内（Dieudonne）、A.魏伊（A. weil）、H.嘉当（H. Cartan）、C.谢瓦（C. Chevally）、德尔萨特（J.Delsarte）、厄莱斯曼（C. Ehresman）等人。他们以后都成为了世界数坛上享有盛誉的数学大师。这些人长年在数学杂志上发表论文，编写和陆续出版多卷本《数学原理》（《Elements de Mathematique》）（半个世纪已完成了40分册），举办数学讨论班，其数学活动和数学成果对现代数学产生了相当大的影响。布尔巴基事业的鲜明特色是：聚集着时代年轻人的智慧，体现出强大的力量和气势；薪火相传，后劲充足，昭示着光明的未来和辉煌。因此，它对世界的影响极为深远。布尔巴基的数学成就引起世界数坛包括中国数学界的高度重视，而布尔巴基数学哲学，其本身也是布尔巴基数学成就不可分割的部分。本文主要就布尔巴基数学哲学，作一番深刻的剖析。
一、布尔巴基数学哲学的核心思想
布尔巴基学派有着坚定的数学哲学，他们十分注重构建和修筑他们的数学哲学。让·迪多内是布尔巴基数学哲学的关键人物。从法国《迪多内选集》中可以看到，让·迪多内在主张、宣扬布尔巴基数学哲学上是不遗余力的，在该学派举办的数学讨论班上，让·迪多内就以“布尔巴基的数学哲学”为题作了重要报告，在报告的开场白中，他说：“我觉得我在这次讨论会上听到的报告似乎为了达到双重目的：一方面是描绘1900年左右数学、逻辑和现实的关系的历史状况；另一方面是引出真正的数学哲学。我要讲的不属于这整个计划的第一个方面，但是我也对大多数论述第二方面的报告的方式表示了强烈的保留。”（[1],p.134）接着，他以“布尔巴基的想法”、“直觉主义者和构造主义者”、“直觉主义的‘口头禅’”三个方面阐述布尔巴基数学哲学的立场和主张。在20世纪30年代，“科学哲学看来确定处在前进之中，数学哲学为什么不前进呢？”（[2], p.127）布尔巴基的数学哲学带着它的时代特色显示当时的数学哲学也在前进。
20 世纪初，在关于数学基础上发生了大争论，逻辑主义、形式主义、直觉主义等学派各抒己见，大多数数学家多多少少不自觉地把两部分数学看成相似，一部分是数理逻辑和集合论，另一部分是数学的其余部分。让·迪多内说，这种态度在20世纪初是非常合理的，因为当时这两部分有着紧密的联系，那个时代大多数数学家对数学“基础”问题表现出相当大的热情。但让·迪多内认为他的那个时代“当今的情况已经根本不同”。（[1], p.134）专攻逻辑和集合论的数学家和其他数学家几乎彼此完全互相脱离开。而那时，几乎全部数学家并没有察觉到这点。“我们钦佩导致哥德尔、P.柯亨、塔尔斯基、J.逻滨逊、马蒂亚谢维奇的元数学定理的工作的技巧与深度；但是它们对于数学家感兴趣的绝大多数问题的解决并没有任何（肯定的或否定的）影响。这样说可能有点刺激，但是我不怕，这并不是个人意见，而是事实。”（[1], p.135）针对这种事实，让·迪多内鲜明地亮出他们布尔巴基数学哲学的主张。
布尔巴基极力主张的是用结构的观点研究和统一数学的数学哲学。在数学领域，布尔巴基首先引进数学结构的概念。他们认为，数学结构主义主要是一些对象的集合，这些对象并没有预先指定的特征，人们只要考虑抽象的数学结构，而对对象（元素）究竟是数、是形、是函数还是运算并不关心，关心的则是对象之间的关系。法国着名数学家彭加勒（Henri Poincare）曾经说过：“数学家研究的不是客体，而是客体之间的关系。”（[3], p.23）正如让·迪多内所说，他们感兴趣的对象是某些“集合”的“元素”以及它们之间的某些“关系”，不难给上面加上引号的词下定义，而这只考虑符号系统的适合原意的解释，它们遵从严格的句法，而与要做的解释无关。这种句法可列出一部分规则，再加上如集合论的公理这样的“真的”关系，这些规则和关系称为ZF系统（策梅罗——弗兰克尔系统）。然后在ZF中再加进一些关系，再按句法规则从中进行推论。“这种发展构成我们所谓的结构（或范畴）理论，这些基本关系称为这个结构的公理；它永远保持开放状态”，（[1], p.136）接着，让·迪多内进一步阐明：如果我们用经典观点来解释这些概念，就必须把一个结构的公理考虑成为“隐含定义”（按照彭加勒的巧妙用语）；以精确方式固定所研究对象的基本性质，而禁止在研究中诉诸任何其他的不管是什么性质。典型的范例是群的结构。
这在方法论和认识论上都有重要意义：一方面，由于从适当选定的少数公理能够得出在证明中特别有用的大量结论；另一方面在极为丰富多彩的数学对象中能够识别出这些结构，结果把它所带给自己的工具变成整个数学工具库的一部分。并且，数学结构是分成层次的，代数结构（如李群、群、环、域等）、拓扑结构（如拓扑空间等）、序结构（如偏序、全序、格等）是比较基本的3大类结构。两种或多种结构可以复合而成更复杂的结构，它们之间通过映射或运算联系在一起；两种或多种结构还可以同时出现在同一集合上，它们之间通过一定关系彼此相容，形成多重的结构；多重结构经过组合，就形成更为复杂的结构。让·迪多内指出：“它们不是任意发明出来的，而是对经典问题深入地研究逐步得出的。”（[1], p.136）经典数学研究的种种对象经过分析可以发现其中的种种结构。数学家的工作要着重解决两大问题，即对于某种类型的结构把不同构的结构加以分类；两种结构何时看成是同构的。布尔巴基学派强调考虑的是对象的集合之间的关系；只考虑抽象的数学结构，不关心对象具体是什么。这与经典数学关心具体的数学对象是大不相同的。让·迪多内说，关于数学与可感觉的现实世界之间的关系，他们的立场基本上是反教条主义，即反对封闭在僵硬的教条立场之中，他说：“人们不仅可以获得关于数学概念的知识确定性，而且可以获得关于实在本性（the nature of reality）的知识确定性。”（[4], p.229）1968年，让·迪多内在罗马尼亚布加勒斯特数学研究所发表了题为《布尔巴基的事业》，世人就更加明了了布尔巴基的事业及他们的数学哲学。法国着名数学家彭加勒说过，应该如何做选择是摆在数学家、物理学家、历史学家面前的“原则”，“科学家本能地遵循它们，人们通过深思这些原则，就能够预言数学物理学的未来”。（[5], p.1）为什么布尔巴基主张的是用结构的观点来统一数学呢？对此，让·迪多内阐述了他们深刻的思想：差不多显而易见的是，这样引进和研究的比较普遍的对象较之原始对象是更为“抽象的”。只有抽象和综合才真正导致了本来就很特殊的情况和经常掩盖着事情本质的那些现象的消失。只是由于它们，才能够弄清楚外表完全不同的问题之间的深刻联系；进而弄清楚整个数学的深刻的统一性。“这样，我们就可以看出，为什么现代数学还必定要研究这样一些一般的抽象‘结构’”。（[6], p.127）瑞士着名学者皮亚杰（Jean Piaget）在《结构主义》中说：“最早被认识和研究了的结构，是由伽罗华（Galois）所发现的‘群’的结构，这似乎是无可置疑。并且这个‘群’的结构在十九世纪逐步征服了数学这门科学。 在数学界可以称之为结构主义学派的，也就是布尔巴基学派的特征的乃是企图使全部数学服从于结构的观念。”（[7], pp.12-15）
二、对纯粹数学进展的有力把握
布尔巴基数学哲学是布尔巴基事业的组成部分。布尔巴基主张和宣扬他们的数学哲学，是结合他们的数学研究工作进行的。预示和勾勒出当时纯粹数学的发展趋势，是布尔巴基学派发表文章和进行讨论的主要内容。让·迪多内说，《数学评论》每个月所评论的纯粹数学的文章已经超过1500篇，应当可以从这种爆炸性的发展中辨别出趋势来。并且，他还说，他写出了一本书《纯粹数学大纲：布尔巴基的选择》，可以说是这个讨论班上500多个已经发表的“报告”的导引，其中对于每个理论，都把它的问题、方法和结果作了简要的叙述，这些理论在相应的“报告”中都更加充分地讨论过。让·迪多内以“纯粹数学的当前趋势”为题发文阐述了该学派剖析纯粹数学当时的发展趋势的数学哲学。
20 世纪开头之年，德国着名数学家希尔伯特（David Hilbert）在巴黎国际数学家代表大会上作了题为“数学问题”的讲演。这篇讲演深刻而长远地影响着人类数学的发展。希尔伯特阐明，“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。”（[8], p.60）布尔巴基学派正是认识到“问题是数学的心脏”（康托尔语），看到“还存在着大量尚未解决的数学问题，它们是当前积极研究的对象，预示他们所处的时代数学会有进展。”（[6], p.124）那么，纯粹数学的进展会表现在哪里？让·迪多内说：“我认为，数学的进展产生于下列三个方面：解答问题、理解数学现象和引进好的符号及方便的算法。显然，最后一方面只是数学所特有的。”（[6], p.124）让·迪多内认真地论述了这些远见卓识。他敏锐地看到：多个时代数学家们所面临的问题，都是前辈们遗留给他们的，或者是同时代的人提出来的。对于已经解决了的问题，经常性的兴趣并没有消失，因为经过说明和综合之后，立即就会产生许多其他结果。实际上这样的问题在问题解决之前，它就产生过许多题目，其中一部分甚至至今尚未得到解决。哥德尔和科恩（P. Cohen）的着作告诉人们，根据现代数学中容许的公理，我们任何时候也不能证明问题的答案是肯定的还是否定的。也就是说，在任何时候都不能有把握地说，数学问题的答案究竟是“对”或是“不对”。这就产生了一个问题：如果问题尚未解决，那么有没有可能，它是不可解的呢？数学问题最经常的解法是开始于经验摸索，开始于对所做事情的意义没有完全理解然而都部分地或全部地达到了目的的成功的思想。有时，在仔细地分析这种思想，并发展现有的技术之后，人们就可以大大地扩大原始方法的应用范围，从而构成了同时可以解决其他问题的共同方法。问题是数学进展的主要源泉，“严肃的”数学问题或多或少会提示一些有生命的东西，“对于它们的自然进化是应当认真对待的。”（[6], pp.125-126）为了了解问题的真实性质，常常是要打开全新的数学领域，新的思想和方法是至关重要的，例如，用根式解代数方程的问题就促进了群论和场论的诞生。
当然，能够说清楚真正实质的好的数学符号是绝不可少的，好的符号往往伴随着易于使用它们的算法，它们一旦确定之后，“就是永远如此，对它们的应用几乎是自动化的。”（[6], p.126）从让·迪多内对以上三个方面的剖析，布尔巴基学派着力研究纯粹数学的进展会表现在哪里，当然，他们要根据当时的情况指出进展的“主流”。主流的特征在于其某个分支之间有着多种相互联系并且彼此之间施加相互的影响。与当时主流相关的，有“前主流”（典型例子是数论及组合理论中的大量问题）、“偏离开主流”（如非交换及非结合代数、一般拓扑学以及抽象泛函分析）和“离开主流”而集中于特殊的问题（如单复变函数论）的东西。接着，布尔巴基注重阐述当时他们最关心的“某些普遍趋向”的主流，那就是：
从1840年左右开始，经过长期演化之后，到1920年左右，纯粹数学开始主要关注于研究结构而不是关注被赋予这些结构的对象。数学中的许多重要问题可以表述成：把给定的某种类型的结构按同构进行分类。
还有那些“个别的趋向及结果”，这被布尔巴基看作是“当代数学中某些最重要的分支”。（[9], p.132）它们是：逻辑及基础，代数拓扑学与微分拓扑学，微分流形与微分几何学，常微分方程，偏微分方程，一般理论及叶状结构，线性偏微分方程，巴拿赫空间、反应谱理论、巴拿赫代数，交换调和分析、遍分理论、概率论及位势论，李群、非交换调和分析及自守形式，“抽象群”，解析几何，代数几何及交换代数，数论等。
布尔巴基学派分别地考查了它们。当然，他们也清楚：“显然，在1940年以后，其中大多数分支中所用的方法甚至于基本概念已经有了根本的改变。”（[9], p.132）布尔巴基学派的另一位重要成员A.魏伊也这么说：
“我既不能也不打算给数学的未来发展指明一条道路，这样做肯定是劳而无功的， 我们的目的是，在评述一些主要数学分支的过程中引起人们注意到这些问题生机勃勃茁壮成长，同时它们之间又有内在的统一性。 希尔伯特在他1900年的报告结束时说：数学是一个有机整体，它的生命力正是在于它各部分之间的不可分割的联系。”（[10], pp.160-161）高度分化高度综合是现代科学的重要特征，布尔巴基学派的观点反映了这种时代特征。可以这么说，布尔巴基的观点揭示了当时纯粹数学的进展趋势，并且把握、驾驭了这种趋势。把握、驾驭数学的进展趋势，这是把数学做强的重要举措。把握住当时纯粹数学的进展趋势，我们发现布尔巴基数学哲学表现出几个显着的特点：集思广益，凝聚智慧；各抒己见，充分自由；吸取互补，相得益彰；体系开放，力戒僵化。
三、有效数学手段的采用及对现代数学研究的影响
20 世纪的法国数学，在世界数坛上占有举足轻重的地位，布尔巴基派的青年人们发起的“布尔巴基运动”，从30年代末之后席卷整个法国，并且在全世界产生巨大影响。布尔巴基成员之中，产生了许多具有世界意义的数学大师。比如，布尔巴基的首领成员让·迪多内，发表了大量论文，他本人的《Treaiseon Analysis》是具有世界影响的现代分析着作；首领成员魏伊在代数数论和代数几何上的工作十分深刻，是20世纪中叶以后世界上最重要的数学家之一；成员之一H.嘉当以多复变函数和同调代数驰名天下，是一位大数学家；成员之一歇瓦莱，建立了李（Lie）理论和有限群之间的桥梁，是一位贡献很大的数学家。
在布尔巴基成员中，获得菲尔兹奖的布尔巴基成员就有施瓦兹（Schwartz，广义函数的奠基人）、格罗申第克（Grothendick，现代代数几何学家）和塞尔（Serre，《数学原本》代数部分的主要贡献者）。还有一名外国籍（波兰）的数学家爱伦伯格（S. Eilenderg，同调代数的制定者）。后期众多有名望的布尔巴基成员在这里就不一一列举。
事业的辉煌和巨大的世界影响，是与重视数学交流分不开的。“在专业上，科学家和数学家有严格的国际主义心态”。（[11], p.224）让·迪多内说，这是布尔巴基数学哲学的“社会学”。青年人要开创新领域，就必须对数学作一番巡视。首先，是布尔巴基的重要成员魏尔走出国外，了解到德国当时阿廷（Artin，抽象代数奠基人之一）、诺特（Noether，一般理想理论）、西格尔（Siegel）和海塞（Hasse）（西格尔和海塞在20世纪20年代在任意代数数系数的二次型研究上获得重要结果。魏尔在60年代取得了新的进展）这些数学家在代数方面的崭新工作，也了解了匈牙利黎兹（Riesz）和巴拿赫（Banach，利沃夫数学学派创始人之一）开创的泛函分析，以及俄国学派在拓扑方面的重要进展，于是萌发了打破“函数论王国”束缚而对数学领域进行改造的念头。魏尔也在法国南希（Nancy）和美国芝加哥（Chicago）工作过。还有让·迪多内，1930年他正在准备博士学位论文，有一次他到柏林，看到荷兰数学家范德瓦尔登（Waerden）的名着《近世代数学》，一方面他为范德瓦尔登的代数学高超成就所倾倒，另一方面他也敏锐地认为，范德瓦尔登只精通代数，而零乱地毫无层次地把拓扑、积分、空间等等材料摆放着。于是就有“也象范德瓦尔登那样把整个数学写成一套经过整理的专书”的想法。他将这个想法拿到了布尔巴基数学讨论班。逐步建立起来的结构主义数学，以及在这个过程中产生的数学研究成果，也是通过交流与合作，通过科学传播，在全世界展开影响的。下面，本文主要就对中国现代数学发展的影响，谈谈一些看法。
人们一般是这么认为，认为布尔巴基重视结构而不崇尚技巧。我们的研究认为，实际上，布尔巴基的辉煌数学成就，是与他们卓越的数学技巧和数学手段分不开的。布尔巴基数学讨论班的内容丰富多彩，有许多是与数学技巧和数学手段有关的。正如詹姆斯·布朗（James Brown）所说：“为了了解事情的来龙去脉，我们需要使用各种各样的技巧和手段 基于这些科学方法是关于自然最可靠的信息资源的信念。
继续使用这些方法、精选和提炼这些方法，是合情合理的。”（[12], p.10）高明的数学技巧和手段的采用，来自于正确的思想方法。比如，曾经有一个重大的数学问题：“在一个线性变换下找出多项式的不变式问题。”解决这个问题困扰着许多数学家，甚至是一些着名的数学家，人们通常是通过计算来解决这个问题的，通过计算，某些特殊情况的多项式被人们找出来了，然而对一般问题的解决，困难却很大，因为计算量太大了，远远超出人们的运算的能力，在当时的条件下无法解决这个问题。希尔伯特则采用了另外一种手段：他先把要解决的问题分成两步，就是分成有没有存在这个问题——“存在不存在着有限基本不变式”这是第一步；第二步是具体去找出这些不变式。他把这两步区别开来并分两步走，两步要一齐走太难了。他先走第一步，就是先不去进行大量的具体计算，而是先用抽象的推理的办法证明了存在着有限个基本不变式，然后才给出具体找它的方法，从而解决了这个难题。年轻的布尔巴基敏锐地觉察到希尔伯特这个途径的重要意义，高屋建瓴，从数学哲学的角度上对希尔伯特数学方法进行吸取和提升，形成自己数学操作的风格。他们将“算”和“证”巧妙地结合起来，并将“算”和“证”的交替使用拓展成一种较为普遍的数学手段。它成为了现代纯粹数学中解决数学问题十分通行的办法。在数学研究中，有计算和证明这两种不同的手段和风格。所谓的“算”，是把研究对象数量化，其操作一般是遵循一定的规则，并按照一定的程序，比较机械地得出某种数学结果；所谓的“证”，是要以某些命题作为前提，根据定义和已有的定理，遵循逻辑推理的规则，经过操作，实现概念与关系之间的转换而得出某种数学结果。“算”和“证”又是相辅相成、互相联系的，它们在一定条件下也是可以转化的。擅长计算是中国传统数学的重要特点。这个特点恰恰是数学问题的机械化的内在机制。我国数学家吴文俊说：“中国的古代数学基本上是一种机械化的数学。”（[13], p.42）这条思路所开辟的前景是十分广阔的。吴文俊教授深有感叹地说：
“我们是在中国古代数学的启发下提出问题并想出解决问题办法来的。”（[13], p.42）在撰写此文的过程中，笔者专门拜访了中国着名数学家吴文俊教授。吴文俊教授说，中国古代数学的启发很深，国外数学家的影响也很大，布尔巴基的数学思想和方法，对我们的工作意义就很大。
在布尔巴基数学哲学中，数学思想和数学方法也是“数学建筑学”（布尔巴基学派用语）的基础。拿对待“群”来说，在“群”的学问中，布尔巴基学派吸取了大量有效的数学方法和数学技巧，并加以很好地发挥。我们的研究认为，布尔巴基看到，群结构不是仅仅适用于代数的运算，而且可以应用于不相同的成分，他们就抓住了这种特性，按照类似的抽象原理去展开对种种结构的研究。“布尔巴基学派的方法就是用组成同型性（isomorphismes）的办法，去抽绎出最普遍的结构，使它们不同门类的数学成分，不问这些成分来自哪个领域，完全根本不管它们自身的特殊性质，都服从于这些最普遍的结构（[7], p.16）在布尔巴基的数学哲学中，这样的思想和方法得到充分的体现。（本文在写作过程中，得到了吴文俊院士和厦门大学哲学系郭金彬教授的悉心指导，特此致谢。）
［参 考 文 献］
[1][法]让·迪多内：布尔巴基的数学哲学[J]，科学与哲学，1984（5）。
[2] Thomas, T., New Directions in the Philosophy of Mothemotics: An Anthology[M], Princeton: Priceton University Press, 1998.作者姓在前，名在后。例如：。Crick, F. H. C.
[3][法]昂利·彭加勒：科学与假设[M]，北京：商务印书馆，2006。
[4] Stnmpf, S. E., James, F., Socrcurs to Sartre and Beyond: A History of Philosophy[M], McGraw-Hill Humanities, 2003.
[5][法]昂利·彭加勒：科学与方法[M]，北京：商务印书馆，2006。
[6][法]让·迪多内：论数学的进展[A]，中国科学院自然科学史研究所数学史组、中国科学院数学研究所数学史组：数学史译文集[C]，上海：上海科学技术出版社，1981。
[7][瑞士]皮亚杰：结构主义[M]，北京：商务印书馆，1984。
[8][德]大卫·希尔伯特：数学问题——在1900年巴黎国际数学家代表会上的讲演[A]，中国科学院自然科学史研究所数学史组、中国科学院数学研究所数学史组：数学史译文集[C]，上海：上海科学技术出版社，1981。
[9][法]L·迪多内：纯粹数学的当前趋势[A]，中国科学院自然科学史研究所数学史组、中国科学院数学研究所数学史组：数学史译文集[C]，上海：上海科学技术出版社，1981。
[10][法]A. 魏伊：数学的未来[J]，科学与哲学，1984（5）。
[11][美]艾丽斯·卡拉普赖斯编，范岱年译：新爱因斯坦语录（下）[M]，上海：上海科技教育出版社，2008。
[12] James, R. B., Who Rules in Science? An Opiruonated Guide to the Wars[M], Harvard University Press, 2001.
[13] 吴文俊：机械化证明[J]，百科知识，1980（3）。
