摘 要： 在科技飞速发展的现如今, 多普勒效应已被广泛应用于物理学, 医学, 天文学等各大领域当中。我们可以通过它解释我们身边发生的不少现象, 从而重新认识多普勒效应在这些领域中的应用。本文将以高中生的视角根据列车通过路口的实际情况建立合适的物理模型, 从声学角度出发, 在理论上重点分析列车发出声音的频率在不同条件下因多普勒效应产生的变化, 并简单介绍多普勒效应在其他领域的应用。
关键词： 多普勒效应; 物理建模; 接收频率;
1、 引言
在日常生活中, 我们发现:当列车通过路口时, 我们听到的声音音调会有所变化。这便是多普勒效应造成的现象。多普勒效应是为纪念奥地利科学家多普勒 (Christian Johann Doppler) 而以其名字命名的, 他于1842年首次提出这一理论。这是一种当波源与观察者存在相对运动时, 观察者接收到的波的频率会发生变化的现象, 该现象被称为多普勒效应[1]。不仅在如声波的机械波中会出现这样的现象, 在光这类电磁波中也会发生多普勒效应 (光谱中的红移与蓝移) [1]。多普勒效应的应用十分广泛, 不仅在经典物理中, 其在交通、医学、天文学等各个领域更是发挥了显着作用。因此, 对多普勒效应的原理及应用的分析探究是具有重要意义的。在此基础之上, 本文还将通过建立列车通过时的实际情况建立物理模型帮助大家切实感受多普勒效应, 并对其在现代的具体应用作简单介绍。
2、 多普勒效应的原理
多普勒认为, 当波源与观察者存在相对运动时, 观察者接收到的波的频率和波长会发生变化[2]。在波源频率保持不变的情况下, 波源相对观测者远离时, 观测者接收的频率变低, 波长变长;而波源相对观测者靠近时, 观测者接收的频率变高, 波长变短。
假设波源的频率为f0, 波长为λ, 周期为T, 波在介质中传播的速度为v, 观测者接收到的波频率为f。以下将通过三种情况讨论分析多普勒效应的作用效果:
2.1、 观测者相对于参考系静止, 波源作相对运动
图1 仅波源作相对运动示意图
假设观测者静止, 波源以速度vA相对于观测者运动 (假设vA方向与观测者成夹角α, 如图1) , 则观测者接收到波的频率为:
式 (1) 说明, 当波源相对于观测者运动方向成锐角时, cosα>0, 观测者接收到波的频率比波源原本的频率大;当波源相对于观测者运动方向成顿角时, cosα<0, 观测者接收到波的频率比波源原本的频率小;当波源相对于观测者运动方向成直角时, cosα=0, 观测者接收到波的频率与波源原本的频率相等。
2.2、 波源相对于参考系静止, 观测者作相对运动
图2 仅观测者作相对运动示意图
假设波源静止, 观测者以速度vВ相对于波源运动 (假设vВ方向与波源成夹角β, 如图2) , 则观测者接收到波的频率为[[3]]
式 (2) 说明, 当观测者相对于波源运动方向成锐角时, cosβ>0, 观测者接收到波的频率比波源原本的频率大;当观测者相当于波源运动方向成钝角时, cosβ<0, 观测者接收到波的频率比波源原本的频率小;当观测者相对于波源运动方向成直角时, cosβ=0, 观测者接收到波的频率与波源原本的频率相等。
2.3、 波源与观测者同时作相对运动
图3 波源与观测者同时作相对运动示意图
假设波源以速度vA、观测者以速度vВ同时相对于参考系运动时 (若vA和vВ相对于x轴有夹角, 则分别设为α与β, 如图3) , 观测者接收到波的频率为[[3]]:
式 (3) 是普遍意义下机械波的多普勒效应的表达式, 说明波源与观测者相向运动时, 观测者接收到波的频率比波源原本的频率大;波源与观测者相离运动时, 观测者接收到波的频率比波源原本的频率小。
综合以上多普勒原理的分析, 我们不难知道, 波源与观测者二者作相向运动时, 观测者接收到波的频率大于波源原本的频率;二者作相离运动时, 观测者接收到波的频率小于波源原本的频率;特别地, 当二者不存在相对运动时, 观测者接收到波的频率不发生变化。
进一步分析可知, 二者在相向运动时, 观测者接收到的波是被“压缩”的波, 波长变短, 接收频率升高;而二者在相离运动时, 观测者接收到的波是被“拉伸”的波, 波长变长, 接收频率降低。
多普勒效应存在于任意波动过程之中, 其在我们的日常生活中无处不在。下面本文将对生活中最常见的例子———列车运行过程进行分析, 并以此为例具体阐述多普勒效应在生活中的应用。
3、 多普勒效应在列车运行中的应用
图4 列车运动示意图
如图4所示, 我们可以根据实际情况抽象出平面直角坐标系中的理想化物理模型。将观测者与列车视为质点, 假设v为列车的运行速度, θ为列车与观测者的连线与列车速度v的方向 (即坐标平面中x轴正方向) 的夹角, r为二者连线的长度。
假设观测者静止, 下面分别讨论在列车运行速度不变、列车与观测者垂直距离改变的情况下, 观测者接收到的声音频率随时间的变化规律;以及在列车与观测者垂直距离不变、列车运行速度改变的情况下, 观测者接收到的声音频率随列车水平距离的变化规律。
3.1、 列车速度不变、垂直距离改变时, 接收频率随时间的变化
通过查阅相关资料, 我们得知声速c约为330m/s, 而列车发出的声音频率f0可以大致取2000Hz。
在此基础上, 我们将列车速度v设为30m/s, 观测者与列车的初始水平距离x0设为-150m, 通过改变观测者距离列车轨道的垂直距离来探究观测者接收到的声音频率的变化。
将观测者距离列车垂直距离y1=20m, y2=40m, y3=60m代入公式:
其中f为观测者接收到的声音频率。
借助MATLAB数学软件可以绘制出接收频率随时间变化的图像如图5。
图5 接收频率随时间变化的图像
从图5我们可以看出, 在不同的垂直距离下, 接收频率随时间均呈递增趋势, 特别在4~6s的时间段内不同位置的观测者接收到的声音频率都有明显的突增。而当观测者距离列车的垂直距离减少时, 曲线在4~6s内的突变率明显增加。且三条曲线在时间5s处存在唯一交点 (5s, 2000Hz) , 通过匀速直线运动公式x=vt可知, 在时间5s时列车恰好到达坐标原点, 即与观测者直线距离最小处, 这是由于在列车通过原点O时, 列车与观测者连线与列车运行方向的夹角θ=0, 根据多普勒效应公式可知, 观测者接收到的声音频率f就等于f0=2000Hz。
3.2、 垂直距离不变、列车速度改变时, 接收频率随列车水平距离的变化
同样假设观测者与列车之间的初始水平距离x0为-150m, 固定观测者与列车轨道的垂直距离y0为20m。通过改变列车速度v来探究观测者接收到声音频率随列车水平距离的变化。
将列车的速度v1=20m/s, v2=30m/s, v3=40m/s分别代入公式 (4) , 借助MATLAB可以绘制出接收频率随列车水平距离变化的图像如图6。
从图6我们看出, 在不同的列车运行速度下, 观测者的接收频率均随着列车水平距离的增加而增大, 其中, 在[-25m, 25m]范围内均存在明显突增。而列车速度增加时, 图像的突增率也随之增大。在区间[-∞, -50m]和[50m, +∞]的区域中, 接收频率没有明显变化。而三条曲线也同样交于点 (0m, 2000Hz) , 这说明在列车到达原点O时, 观测者接收到的声音频率f就等于f0=2000Hz。
图6 接收频率随列车水平距离变化的图像
3.3、 总结与反思
上述分析过程是基于理想化的物理模型, 在现实生活中还需考虑车型、路面情况、风速、观测者自身等众多因素对于声音频率带来的影响, 而本文只考虑了几个特殊的情况。但是根据本文所建立的模型, 我们已经可以得到列车音调变化的大致趋势。
通过上述基于多普勒效应的列车运行情况分析, 我们可以推论, 车辆快速从我们面前经过的瞬间, 我们听到的音调变化确实是因为多普勒效应引起的, 且列车轨道与我们的距离越近靠的越近、车速越快, 其音调变化越明显。除了列车运行问题之外, 生活中还有很多现象背后蕴藏着多普勒原理。例如在观看F1方程式比赛的时候, 看台上站得越近的观众听到的音调变化越大, 这就是多普勒效应引起的。
4、 多普勒效应在其他领域的应用
4.1、 多普勒效应在天文学领域的应用
在天文学方面, 早在20世纪初, 科学家爱德文·哈勃 (Edwin Hubble) 就运用多普勒效应得出宇宙正在膨胀。他发现如果恒星远离我们, 它发出的光就会在光谱上向红端移动 (红移) ;而如果恒星向我们靠近, 它发出的光就会在光谱上向蓝端移动 (蓝移) , 以此得出重要结论:星系看起来都在远离我们而去, 且距离越远, 远离的速度越高。在此之后红移蓝移被大量运用于天体相对于我们的运动速度的计算之中。该理论作为宇宙大爆炸理论基础被现在的大量科学家所推崇[1]。
4.2 、多普勒效应在医学领域的应用
在医学方面, 多普勒效应也被应用于彩超当中。黑白B超捕捉探头与反射物之间的相对运动造成的超声频率的变化, 并通过编码使其成像变成彩色。彩超既具有二维超声结构图像的优点, 又能提供血流动力学的丰富信息, 并能够得到高清晰度的图像。除此之外, 多普勒效应还被应用于类风湿关节炎诊断[5], 新生儿先天性心脏病筛查[6]等医学诊断之中, 其应用受到了广泛的重视和欢迎, 在临床医学中被誉为“非创伤性血管造影”[3], 大大降低了患者的痛苦。
4.3、 多普勒效应在生活中的应用
在生活中, 汽车的测速技术也使用到了多普勒原理。测速仪向行驶中的车辆发射固定频率的超声波, 接收者根据反射频率的变化就可以确定车速的具体数值[4]。
5、 总结
综合以上分析研究, 我们发现, 多普勒原理的适用范围十分广泛, 不论是声波等机械波还是光波等电磁波, 均存在多普勒效应。因此, 多普勒效应在科学研究和日常生活中均具有极其重要的意义。本文通过分析其中的几个经典实例来展现出它无穷的魅力, 希望以此推动我国科普教育事业的发展。
参考文献
[1]高博源.多普勒效应的理论推导和实际应用[J].当代化工研究, 2017 (09) :113~114.
[2]徐一调.多普勒效应的测速应用原理[J].信息记录材料, 2017, 18 (1) :73.
[3]叶丽娜.多普勒效应及其应用[J].甘肃广播电视大学学报, 2012, 22 (3) :50~52.
[4] 国春贺.多普勒效应及其应用研究[D].湖南邵阳:邵阳学院理学与信息科学系, 2012:1~5.
[5]李摇盼, 唐汉元, 周摇恒, 等.高频多普勒超声在早期类风湿关节炎病人手部小关节炎诊断中的应用[A].蚌埠医学院学报, 2018 (09) :1119~1203.
[6]杨方.心脏彩色多普勒超声在新生儿先天性心脏病筛查中的临床应用[J].实用医技杂志, 2018, 25 (9) :955~956.
