数学课程中蕴涵的数学思想体现在小学数学教材中主要包含有:对应思想、符号思想、化归思想、类比思想、数形结合思想,极限思想和集合思想等。对于这些数学思想教材或通过某一知识集中渗透一种思想,或在同一知识的呈现中渗透多种数学思想。
义务教育《数学课程标准》(2011版)指出:“数学课程内容不仅包括数学的结果,也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。教师要发挥主导作用,引导学生独立思考、主动探索、合作交流,使学生理解和掌握基本的数学知识技能,体会和运用数学思想与方法获得基本的数学活动经验。”在小学数学教学中,教师有计划、有意识地渗透一些数学思想方法,有利于学生领悟数学的真谛,懂得数学的价值,学会数学地思考和解决问题;有利于提升学生的数学素养。笔者以为,在小学数学教学的全过程中教师应时时注意对数学思想方法的提炼,并通过以下途径进行有效渗透。
一、在教学准备的过程中挖掘和提炼数学思想方法
(一)在钻研教材时挖掘数学思想方法
小学数学教材体系有两条基本线索:一条是明线, 既数学知识,另一条是暗线,既数学思想方法。
数学教学中无论是概念的引入、应用,还是数学问题的设计、解答,或是复习、整理已学过的知识,都体现着数学思想方法的渗透和应用。因此,教师要认真分析和研究教材,归纳和揭示其蕴含在数学知识中的数学思想方法。如在“角的分类”中,要挖掘分类的思想方法;在“平行四边形、梯形面积的计算”中,要挖掘转化、化归的思想方法。
(二)在教学目标中体现数学思想方法
数学思想方法的渗透,教师要有意识地从教学目标的确定、教学过程的实施、教学效果的落实等方面来体现。在备课时就必须注意数学思想方法的梳理,并在教学目标中体现出来。例如在备“除数是小数的除法”一课时,就要突出化归的思想方法,让学生明确如何把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法;在备“比的基本性质”一课时,就要抓住类比的思想方法,明确比的基本性质与分数的基本性质、商不变的性质的联系和区别。
(三)在学生课前预习的过程中加以指导
课前预习是学生学习数学知识的必要环节,有利于学生充分利用已有的知识、经验,在自主学习、探究中初步了解知识的形成脉络、结构;了解知识中蕴含的算理、算法;理清编者的意图。在学生预习时只要稍加指导就可以将一些数学思想方法潜移默化的渗透给学生。如,苏教版数学四年级《找规律》。在课前预习时,教师提出明确的预习要求:仔细看书中的主题图,叙述出你从图中知道的信息,弄清数量是多少?你能发现哪些数量之间有关系?你能从中找到规律吗?学生在教师的提示指导下完成了以上的课前预习作业,思考了相关的问题。在课堂新授时只要教师稍加点拨,大部分学生都会理解。教师将探索规律有意识的渗透到教学之前,在教学中就可以充分为学生进行思维的深层次引领。
二、在课堂教学的全过程中渗透数学思想方法
(一)在教学情境的创设中渗透数学思想方法
小学数学源于生活,服务于生活。在教学情境的创设过程中,教师有意识地把生活原型提炼为数学问题,既体现数学的本质又使学生在解决数学问题的过程中理解了生活。如,在“角的度量”一课的教学情境创设时,教师出示了坡度不同的三组滑梯:①坡度较缓,②坡度适中,③坡度较陡。问学生“:你会选择哪组滑梯?这样选与什么有关系?”学生经过交流明白与坡度有关,坡度就是斜面与地面的夹角。
这时教师将实物图符号化为∠,∟,学生经历了由实物到图形到符号的转化过程,将生活情景化归到有关角的大小的认识,很自然的向学生渗透了对应思想和化归的数学思想。
(二)在新知的学习探究过程中渗透数学思想方法
1. 在概念的提炼和形成过程中渗透数学思想方法
小学数学教材中的概念,因受学生年龄、认知水平等因素的制约,大多采用描述性的方法,这样使得学生对概念的理解抽象难懂。因此,教师要借助一定的感性材料让学生在实践中从数学思想方法的高度来认识概念和掌握概念。例如:教学“圆的认识”一课,教师将学生带到操场上,分组、纵向战成一列,在每组最前排学生的前面放一个圆环,进行原地立定投环比赛。随着学生投环的进行,后面的学生就会认为这样比赛不公平。
因为距离圆环越远,投环就越困难。这时教师抛出问题:怎样站投环才公平呢?学生经过争论、交流后认为站成圆圈,把园环放在圆圈的正中央,每人离圆环的距离相等,这样才公平。此时教师及时指出这就是我们今天要学习的“圆的认识”,圆环就相当于是圆心,每人到圆环的距离就相当于半径……教师借助具体、形象的感性材料,让学生在经历了圆心、半径等概念的形成的过程中向学生渗透了对立统一的思想和归纳的思想,加深了学生对概念的理解。
2. 在算理、算法的揭示中渗透数学思想方法
在计算教学中,表面上看,计算技能的培养为解决问题提供一种工具,其本身的思维训练功能并不明显。事实上,只要我们的教师善于揭示计算教学中蕴含的数学思想方法,认真地把握、巧妙地设计,计算技能的教学同样能促进学生的思维。如,在教学“混合运算”一课:教师出示苹果图(其中4盘苹果,每盘3个,还有2个单独的苹果)
课例中,教师借助方块模型,帮助学生构建起直观的混合运算的数学模型,充分应用了数形结合的思想。学生借助“形”感悟混合运算的结构,在填数建模的过程中初步发展了模型思想。
3. 在规律探索的过程中渗透数学思想方法
在数学教学中,数学规律是最基本的知识形式。
数学规律的揭示需要具体的数学知识,但更多的是依靠数学思想方法。因此,在数学问题的探究发现过程中,要精心挖掘数学的思想方法。
如,在教学苏教版四年级“找规律”一课时,首先呈现:在一条20米长的路的一侧,每2米种一棵树,能种几棵?面对这一挑战性的问题,学生纷纷猜测:到底有几棵?此时,教师出示图1(如下图1)先引导学生理解“每2米”就是植树的“间隔”。再让学生动手画一画、用实物摆一摆、议一议,在经历了动手操作后,将学生的结果归纳为如图2(如下图2)的3种情况。让学生在观察后概括出:两端都种,可以种6棵;一端种一端不种,可以种5棵;两端都不种可以种4棵。紧接着让学生进一步讨论:除了“每2米”种一棵,还可以怎样种?学生在上面探究思路和过程的启发下,很快得出每4米、5米、10米、1米、20米种一棵的结果。此时,教师因势利导,进一步引导学生观察、归纳、总结出植树问题的规律。通过这样的探究活动,向学生渗透了探索归纳、数型结合、数学建模的思想方法,使学生感受到数学思想方法在规律探索中的重要作用。
4.在数学活动的操作实践中渗透数学思想方法
数学知识发生、形成、发展的过程也是思想方法产生、应用的过程。在此过程中,向学生提供丰富的、典型的、正确的直观背景材料。通过实际操作,再现数学形成的过程,渗透数学思想,使学生在掌握数学知识技能的同时,真正领略数学思想方法。
如“,平行四边形的面积”一课,在探究平行四边形的面积时,先放手让学生小组合作。在交流中学生发现都是把平行四边形变成了长方形。“为什么要把平行四边形变成长方形呢?”在教师的追问下引导学生说出将平行四边形面积变为长方形的面积,将新知识变成旧知识。教师及时小结“这种把新知识转化成旧知识的方法叫做转化。”转化方法的引入水到渠成。接着组织学生讨论:平行四边形和转化后的长方形有什么关系?在计算长方形面积的基础上怎样计算平行四边形的面积?引导学生折一折、画一画、移一移、拼一拼、说一说等活动。学生通过思考、操作、探究、交流等活动,经历了知识的形成过程,领悟到了“转化”这一研究数学的思想和方法。
通过操作,既培养了学生获取知识、观察和操作能力,又帮助学生理解了转化的数学思想,构建数学思想方法模型。
5. 在问题解决的过程中渗透数学思想方法
由于数学思想方法具有高度的抽象性,教师在教学中要有意识地把抽象的数学思想方法一点一滴地渐渐融入具体的、实在的问题解决过程中,使学生逐步积累对这些数学思想方法的初步的直觉认识。
比如在教学苏教版二年级《求比一个数多几的数》一课,“男生有5人,女生有8人,女生比男生多多少人?”时,在师生操作、交流中引导学生通过将男生与女生排队的方法(用实物图)、用△、○等图形来代替男、女,从图中一眼看出女生比男生多3人,到学生用算式计算:求8比5多几?引导学生经历从实物直观→图形直观→符号(式子)数学化的过程中初步感受了数形结合、一一对应的思想方法。
6. 在数学知识的拓展延伸中渗透数学思想方法
数学知识的拓展和延伸是学生对所学知识理解和运用的价值体现。数学教学中教师往往在学习了新知后及时地出现一些比较开放、容易激发学生兴趣爱好,调动学生积极参与思考的练习,既检验了学生对知识的掌握情况,又开发了学生的思维,同时也渗透了数学的思想方法。如,在教学了万以内数的认识之后,教师出示了这样一个游戏活动:两个同学一组做猜数游戏,一名同学说数,另一名同学猜。通过游戏活动,学生在体会数的大小以及这个数与其它数之间的关系的同时,还将学习一种解决问题的策略,其中包含着朴素的二分法和逐步逼近的数学思想。
(三)在练习的巩固、反馈中渗透数学思想方法
在数学教学中,数学习题的解答过程,也是数学思想方法的获得过程和应用过程。学生做练习,不仅能巩固和深化已经掌握的数学知识以及数学思想方法,而且能从中归纳和提炼出“新”的数学思想方法。如,在一年级学生学完20以内加法后,可以完成这样的练习。如图:在图中描出横排和竖排上两个数相加等于10的格子,再分别描出相加等于6,9的格子,你能发现什么规律?
通过这样的练习能帮助学生熟练地进行20以内的加法,渗透数形结合的数学思想。并且数值与图形结合有利于为学生以后学习坐标系、图像等知识打下基础。
(四)在知识的归纳总结与反思中提升数学思想方法
数学教学中对某种数学思想方法进行概括和强化,不仅可以使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质和内在的规律,而且可使学生逐步体会数学思想方法的精神实质。
如,一位教师在教学“平行四边形的面积”一课时,是这样引导学生进行总结与反思的:“这节课同学们通过动手操作、合作交流的方式,自己概括出了平行四边形的面积计算公式,并且运用平行四边形的面积计算公式解决了相关的问题,那么你们通过这节课的学习有哪些收获呢?”学生在小组合作讨论的基础上,总结道“:通过这节课的学习,我们不但掌握了平行四边形面积计算公式———平行四边形的面积等于底乘高,还学会了运用公式解决相关的实际问题,掌握了转化的数学思想方法……”这样的总结与反思,不仅帮助学生进一步明确了应掌握的知识与技能,还在数学思想方法上给与学生以启迪,这就大大拓展了学生的思维空间。
三、在学生的课后生活中渗透数学思想方法
(一)在课外作业、练习中渗透
精心设计作业也是渗透数学思想方法的一条途径。设计一些蕴含数学思想方法的题目,采取有效的练习方式,既巩固了知识技能,又有机地渗透了数学思想方法,一举两得。如,学习了“平均数”后,教师出示:不会游泳的小明身高1.70米,他到平均水深1.40米的池塘中游泳,会不会淹死?为什么?再如,学习了“多边形的面积”计算后,教师布置这样的练习:请你用文字解释“晓红家厨房的面积是64平方米”这一答案的可疑之处。在作业讲评中,教师要启发学生思考:你是怎么想的?其中运用了什么思想方法? 引导学生概括出其中的思想方法:类比思想、数学建模思想、极限的思想、数形结合的思想。
(二)在学生的生活体验中渗透思想方法
数学思想方法的学习过程,首先是从模仿开始的。学生按照例题示范的程序与格式解答与例题相同类型、结构的习题,实际上是数学思想方法的机械运用。此时,并不能肯定学生领会的所用的数学思想方法,只有当学生将它用于现实生活的情境,会解决与它有关现实问题时,才能肯定学生对数学本质、数学规律有深刻的认识。
例如:学完“体积和容积”的有关知识后,教师可布置这样的练习:请你设计一个方案,测出土豆的体积,写出你的探究结果、方法及体会。这样的问题学生很感兴趣,多数学生利用数形结合、符号化、归纳、推理等数学思想方法,探究出其中的规律。这种生活体验既增强了学生的学习能力,又提高了其数学素养。
总之,数学思想方法的渗透体现在数学教育的全过程。教师要根据明确的教学目标,针对不同的数学内容,灵活设计教学方案,积极引领学生在主动探究数学知识的过程中亲身经历,感悟、理解和掌握数学思想方法,从而进一步提升学生的数学素养。
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