伟大的数学家笛卡儿说:"一切问题都可以转化为数学问题,一切数学问题都可以转化为代数问题,而一切代数问题又都可以转化为方程.因此,一旦解决了方程问题,一切问题将迎刃而解."笛卡儿的这句话已经清楚地告诉我们方程是多么的重要,所以从七年级甚至小学我们就应该重视方程的教学.
所谓方程,就是"含有未知数的等式".而所谓列方程解应用题的思想方法,就是在一道数学实际应用题中运用方程的思想来寻求答案.对于七年级学生来说,一道应用题如何入手才是最重要的,用方程的方法解答无疑是学生较易接受的方式.方程是一种逆向思维的解题方法,它改变了小学一般解决逆思维题目用算术方法解答而学生很难理解的困惑,符合学生的认知规律和知识基础,易于学生运用知识的正迁移,并结合思维方法正确解决此类实际问题,学生学得轻松、有效,很好地提高了课堂教学效率.
列方程有这样一个定义:列方程是为了求未知数,在未知数和已知数之间建立的一种等式关系.这就揭示了应用方程解决实际问题的三种好处:第一,它揭示了方程这一数学思想方法的目标,即为了求未知数.第二,陈述了"已知数"的存在.列方程解应用题需要充分利用已知数和未知数之间的关系.第三,方程的本质是"关系",而且是一个等式关系.所以,列方程解应用题归根结底就是要在实际问题中确定等量关系.
一般来说,列方程解应用题要完成两个转化过程:首先,通过分析把实际问题中的数量关系转化为数学问题,也就是列方程;其次,通过解方程,将未知数转化为已知,也就是方程变形.这时,根据等量关系列方程就成为了列方程解应用题的关键.而等量关系往往是隐含在题目中的,一般情况下,题目里是不会明显呈现的,并且确定等量关系也没有固定方法可循,如果考虑的角度不同,所取得的等量关系也不会相同.这正是学生在学习列方程解应用题时总是找不到恰当的等量关系的根本原因.
那么,如何加强列方程解应用题的训练,帮助学生实现从算术思维到代数思维的转变呢?
一、列方程解应用题的一般方法
1.解决设求的困难.用算术方法解答应用题,一般都是在弄清题意后,直接分析题目数量间的关系,确定先算什么,后算什么,然后进行列式计算解答.而列方程解应用题,在弄清题意后,首先要找未知数并用字母表示,这是两种方法的不同之处.一般而言,七年级学生还不懂得如何设未知数列方程解应用题,这正是列方程解应用题的第一步,同时也是学生学习的难点.列方程解应用题时,由于长期用算术方法解题,学生己形成了固定的思维模式,总习惯把应用题的所求问题作为思维追求的目标,往往不会将未知数与已知数置于同等地位来考虑数量间的相等关系,从而给列方程解题思维的形成造成障碍.
2.处理确定等量关系的困难.七年级学生一旦学会了列方程解应用题的设未知数以后,最大的困难便是如何确定等量关系,这是列方程解应用题的又一难点.只要等量关系找了出来,方程也就迎刃而解了.但等量关系往往隐含在题意之中,而且确定等量关系并没有固定的方法,加之考虑的角度不同所确定的等量关系也就不同,因此七年级学生往往找不到等量关系,这就造成了列方程解应用题的困难.
二、列方程解应用题的基本步骤
训练方法有了,还需要一定的基本训练过程和一般步骤.具体如下:
1.读题审题.在解题时,教师应要求学生通读一遍应用题的全部文字叙述,弄清楚题目中叙述的是什么类型的应用题,并理清这类应用题中的数量关系,了解已知项和未知项都是什么.例如,是行程问题,就要理清路程、时间、速度之间的关系;是销售问题,就要理清进价、标价、售价、利润、利润率之间的关系.同时,教师还要帮助学生弄清楚那些项目已知,那些项目未知.
2.把未知项中的其中一项设成未知数X或Y.特别要注意未知数一旦设出,学生就要把这个未知数看成已知数,并用设出的未知数X或Y来表示其他未知量.一般来讲,设未知数的方法是问什么设什么,只有当直接设有困难时,再采用间接设未知数法.
3.用不同的式子(含未知数或不含未知数)表示相同的量或相等的量,然后用等号把两个式子连接起来.
4.列出含未知数的等式即方程.
5.解方程求出未知数的值.待求出未知数的值后,教师要指导学生看它是不是原题目的所设所问,不是,就要带入相关式子求出所问.
6.答.怎么问怎么答,一般要简明扼要,不一定要把所问的话全抄写一遍.
总之,列方程解应用题对七年级学生来说并不陌生,但也不是很熟练:不陌生是因为他们在小学时已经接触过列方程解应用题之类的知识;不熟练是因为在小学阶段列方程解应用题的学习中没有形成系统性、总结性的练习.因此,在列方程解应用题的过程中会遇到很多障碍及困难,这就需要学生平时多积累、多观察、多思考.因为列方程解应用题来源于日常生活,利用一些生活中的实例可以帮助学生建立学习的信心和耐心.在此基础上,只要学生列方程的思维方向正确、方法掌握、步骤熟练,就可以消除对列方程解应用题的心理障碍,从而把列方程解应用题的解题能力提高到一个新水平,为下一阶段的应用题和函数的学习打下坚实的基础.
