1 问题的提出
《义务教育数学课程标准(2011年版)》中明确指出:在数学课程中，应当注重发展学生的推理能力．“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中．推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．”[1]推理一般包括合情推理和演绎推理．在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论;演绎推理用于证明结论．两种推理功能不同，相辅相成．
现行课程提倡的“探究学习”前半段主要是合情推理，后半段主要是演绎推理，二者紧密联系．在第一、第二学段，课程标准中并没有对培养学生的演绎推理能力做出要求，说明小学阶段主要培养的是合情推理能力．那么经过小学阶段的学习，学生的合情推理现状如何?进入初中后，在探究性学习中，对于不同的学习内容，学生会以怎样的思维去进行合情推理?推理过程中会遇到哪些障碍?
2 研究方法和研究对象
2.1 研究对象
研究在山西省晋中市一所城区学校中进行．选取七年级两个自然教学班作为被试对象．测试时间为学生升学进入学校第一天，测试时间为40分钟．这些学生即将步入中学学习，测试这些学生的合情推理状况，特别是在观察、猜想、类比、归纳等过程中的思维状况，以及合情推理中可能遇到的问题．
2.2 研究测试工具
研究采用测试卷的形式，共8题．测试过程中要求学生将解题过程写在测试卷上，以揭示学生的解题思路，便于笔者整理分析．从内容上，问卷分为数与代数(1-3题)、图形与几何(4-5题)、统计与概率(6-7题)、综合应用(8题)四个部分;从方法上，问卷分为归纳推理、类比推理两类．
利用SPSS软件计算测试卷的α系数为0.737，各维度的α系数在0.532-0.684之间，均大于0.4．表明内部一致性系数较高，试卷信度较好．
对每个维度的测试与测试总分之间进行相关性分析．发现每个维度的测试之间不存在显著相关，而每个维度的测试与总测试得分之间均存在显著的正相关，且相关系数在0.637-0.819之间，说明测试卷具有良好的结构效度．
2.3 分析方法
测试结束后，为保证评分公正、客观，由笔者一人对所有测试卷进行评分．每题2分，满分为16分．水平的划分参考前人的有关研究[2,3,4]确定如下:达到水平三(有合情推理的意识、过程和结果)得2分，达到水平二(有合情推理的意识、过程，但无合理的结果)得1分，达到水平一(无合情推理意识、过程、结果)得0分．评分结束后针对典型答案对学生进行访谈．
3 测试结果
对测试结果从2个方面进行分析:(1)初一新生合情推理的总体状况;(2)初一新生合情推理各维度的具体状况．
3.1 初一新生合情推理的总体状况
样本全体统计量描述见表1.
表1 样本全体统计量描述
根据表1，标准差为2.97，说明整个样本分数比较稳定．平均分为9.73，满分为16分，按60%及格，平均分比及格分仅高出0.13分，10分以上(包括10分)的人数，共计62人，占总人数的64.58%，说明大部分学生达到了《标准》的要求，但是均分不高，说明合情推理能力仍有待提高．
3.2 初一新生合情推理各维度的具体状况
具体得分率见表2.
表2 得分率
从总得分率表可以看出，学生更擅长进行图形与几何方面的合情推理，得分率为0.75，在综合应用方面表现差一些，得分率仅0.33.
4 分析与启示
测试中发现了初一新生合情推理过程中的几个薄弱点，下面将结合学生的解答进行具体阐述．
4.1 类比“止于表面”
类比是根据一类对象的性质去推测另一类对象的性质，学生的薄弱点在于容易只做表层的类比．例如，题目1给出了整数乘法分配律的计算过程，并且学生已经学习过整数乘法分配律，然而仍有26%的学生未能正确写出计算过程，可见学生联系、类比的能力相对薄弱．作答正确的学生理解了例题中将202转化成与之相近的整百数，再使用乘法结合律进行运算的实质，得出“197×12=(200-3)×12=200×12-3×12”．学生错误的主要原因是只进行了形式类比，将197转化为“190+7”或“100+97”，或将12转化为“10+2”．由此可见，学生具有基本的类比能力，但总体上类比能力不高，未能达到实质类比水平．
再如，题目5给出了三角形面积的推导过程，要求学生类比画出推导梯形面积的拼接过程，然后求出梯形的面积，有90%的学生能正确写出梯形面积的求解过程，但是仅有58%的学生能够通过类比求三角形面积的拼接过程，正确画出梯形的拼接过程．这说明部分学生会求梯形的面积，却不会推导求梯形面积的过程，可见在平时的教学中，对学生进行类比推理的培养依然不够重视．
因此，教师授课时应注重培养学生的推理能力，鼓励学生参与教学活动，从讲给学生听，做给学生看，到鼓励学生想，鼓励学生做．不仅要“知其然”，还要“知其所以然”．
4.2 归纳“怯于无限”
在涉及到无限的问题时，正确率明显降低，例如，第2题为(1)1+2+3+4+5+…+8+9+10,(2)1+2+3+4+5+…+n.(2)可以类比(1)的方法，而(2)小题正确率仅为25%，显然学生未能通过观察与归纳，依据有限个数字的运算找到这道题的简便算法．值得注意的是有10%的学生在第(2)问中给出的答案是15+…+n，解答过程如图2，还有的学生给出的答案是n，通过与学生交流，发现有学生在遇到n的习题时会感到胆怯，还有学生认为n可以表示任意“非常大”的数，因此把n作为答案是不会出错的．说明这些学生未能理解省略号与n的意义．
因此，教师应注重和加强教材中那些与“无限”有关的数学概念、数学命题及关系式的教学，充分挖掘教材中的“无限”知识的因素，引导学生通过积极地思考探索、领会体悟，帮助学生形成正确的“无限”观念．
4.3 思考滞于范例不足
题目3与题目2题类似，是学生通过观察前一步的解答规律，自己总结归纳完成后面的练习题，特别之处在于，第3题给出了具体的推导过程，因此尽管3(3)小题稍有难度，但学生可以观察题目说明中的推导过程，有80%的同学正确写出等式的左侧;而2(2)题没有给出推导过程，仅有25%的同学得到正确结果．题目中的推理过程可以帮助学生观察和归纳总结．
由此试想，如果给出更多具体示例，会有更多的同学模仿示例给出正确解答，可见充足的范例可以方便学生观察和归纳．这也给教师的教学带来了一些启示，教学中要关注学生的思考过程，丰富示例，鼓励学生善于观察、敢于猜想，在学生学习过程中多加引导．
4.4 数学表达能力欠缺
在面对一些要求写出过程的题时，学生答题情况不够乐观，这表明学生推理的思路、逻辑不够清晰，这也反映出学生缺乏说理的训练，欠缺用数学语言解释推理结果的能力．
例如，题目4(2)，要求学生用数学语言表达自己合情推理的过程．学生不仅要找到数量上的规律，还要用字母来表示这种规律．分析试卷发现学生写的推理过程完整度不高，甚至有54%的同学没有写具体过程．对于初一新生来说，当遇到解答题或应用题时，他们推理的过程相对欠缺，有一部分学生只写出最后的结果，没有写出合情推理的过程，这从侧面反映出学生在平时的学习中对于过程的学习重视度不够
现行课程不仅关注学生对知识的理解，掌握和应用，还要求学生会从数学的角度，运用数学的知识对一些问题进行说理，这启示教师在教学中要求学生用准确、精炼、清晰、完整的语言表述观察过程、操作过程、算理和解题思路以及获取知识的思维过程．数学语言的培养是教学工作中的一项任务，教学中应该重视对学生数学说理能力的培养．
4.5 难以提取有效知识经验
题目8是一道综合运用合情推理解决问题的题目，题目呈现的是生活中的问题，需要学生将其转化为几何或代数问题，难点在于如何用符号表示一般性的规律．在解决这一问题的过程中，要求学生具有扎实的知识结构、清晰的思维以及较好的推理能力．本题的正确率仅有21%，由此可见，多数学生难以深层次的理解信息和问题之间的关系，并提取有效知识经验解决问题，学生的综合运用知识技能归纳推理的能力有待提高．
有21%的学生能够达到水平三，有54%的学生仅能够通过枚举法得出第一问的答案，能正确解答的学生对这道题有不同的解题思路，例如有的学生识别出此题要转化为线段的问题，还有的学生发现题目可以转化为多边形连线的问题，在探索过程中采用计数线段、计数三角形等策略．学生主要存在的问题是无法提取与运用有效的知识经验值．
4.6 统计推断能力有待提高
由于统计学研究的是随机的、非确定性的现象，是通过适量的数据进行判断，可以看作是通过个别来推断一般，因此，统计推断本质上是一种归纳推理．可以说，统计学是最典型的使用归纳推理的学科[5]．题目7是一个袋中装有两球，小李从中摸出一个，是黄色的，连续又摸几次，摸出来的都是黄色，要求学生推测袋子里的两个球的颜色．考查学生根据结果作出简单的判断、预测以及交流的能力．数据表明仅有少数的学生认为可能还有其它情况．超过一半的学生认为袋中都是黄球．这说明学生的统计推断能力有待提高．
正如史宁中教授指出传统的数学教学缺少两样东西:“通过条件预测结果的能力”，以及“依据结论探究成因的能力”．缺少这两个能力，就无法完成一次真正的创造过程，也不利于创新型人才的成长．教学过程中应注意在具体情境中，引导学生通过实例感受简单的随机现象，感受随机现象结果发生的可能性是有大小的，培养依据条件预测结果的能力．
4.7 思维方向单一
例如，题目6要求学生根据十天的用水数据推测一个月的用水状况．大部分学生能估算出一个月用多少吨水，然而翻阅测试卷发现几乎所有学生给出的答案都是51吨，解题过程为前十天用水量之和乘以3．只有两位学生写了不同答案，为“三十几吨”或四十几吨”．这与笔者的预期大相径庭．笔者的本意是考察学生的说理能力，预期结果为不同学生给出的答案并不相同，只要学生能够有意识地运用统计的核心思想，即通过样本推断总体即可．此外，在解答过程中，不需要执拗于答案的统一与否，只要学生给出的结论与思考过程相匹配即可．然而实际测试中出现高度统一的解法，试想如果题目中呈现的是前7天的数据，学生是否又会统一地认为应该用前7天用水量之和乘以4?
从思维的指向性看，吉尔福特提出了发散思维与收敛思维的概念．发散思维是沿着各种不同的方向去思考问题．本试题的答题情况也启发教育工作者们在教学过程中注意融入开放性问题，引导学生从不同角度思考问题，提高学生的发散思维能力．
5 小结
虽然这项测试的范围比较小，不能反映更大范围内学生的数学能力，但这项测试在一定程度上可以反映初中学生在合情推理过程中可能遇到的问题，此项研究是基于积极思考、自主探究是学生学习数学的重要方式，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、推理、验证等活动过程，而在教学中，教师要想发挥主导作用，组织学生经历与体验探究过程，首先需要了解学生在思考时会遇到哪些障碍，学生自主探究学习时所需的哪些能力需要提高．正如此研究中学生在题目7中所反映的结果一样，如果学生只会机械性地模仿老师教的解题方法，那么，我们将难以培养出所期望的创造性人才．了解学生的思维特点、面对不同问题的困惑所在，方能更好地引导学生．
参考文献
[1]中华人民共和国教育部．全日制义务教育数学课程标准[S]．北京:北京师范大学出版社，2011:6-7.
[2]董林伟，喻平．基于学业水平质量监测的初中生数学核心素养发展状况调查[J]．数学教育学报，2017,26(01):7-13.
[3]程靖，孙婷，鲍建生．我国八年级学生数学推理论证能力的调查研究[J]．课程·教材·教法，2016,36(04):17-22.
[4]彭文强．高中生合情推理能力评价及测试研究[D]．四川师范大学，2017.
[5]王瑾，史宁中，史亮，孔凡哲．中小学数学中的归纳推理:教育价值、教材设计与教学实施——数学教育热点问题系列访谈之六[J]．课程·教材·教法，2011,31(02):58-63.
