摘 要： 高等代数作为数学专业的基础课程, 为抽象代数的学习提供了支撑.由于抽象代数较难, 所以可以尝试从高等代数中探寻对抽象代数的理解, 本文尝试着从变换、等价、群、域、环、零因子以及环上的运算规律来阐释如何通过高等代数来学习抽象代数.
关键词： 高等代数; 抽象代数; 教学;
在代数学科中, 高等代数是数学专业课当中的一门较为基础的课程.学习抽象代数是建立在对高等数学的掌握基础上的.因此, 抽象代数是数学专业的必修课, 也是对高等数学中的数域、多项式等概念的高度概括和抽象.同时, 高等数学也为抽象代数的学习提供了很多实用的模型.
高等代数与抽象代数之间的关系较为紧密, 在数学专业的学生中, 很多学生难以理清它们之间的关系, 他们认为高等数学较为简单, 抽象数学较难.因此, 在抽象数学的学习中可以尝试使用高等数学中的模型和知识来理解抽象数学中的概念.
一、辨析两种“交换”概念
在高等数学中, 变换的概念一般可表述为:“一个集合A到A的映射称为A的一个变换”.对这个概念则可以通过举例的形式让学生轻易掌握.但是, 在教科书上没有相关的习题, 学生可以从网络上寻找相关习题进行练习.还需要将“变换”的概念同“线性变换”进行区分, 既能温故, 又能促进新知识的学习.
二、等价关系
等价关系, 属于集合上的概念, 即集合A与另外一个集合B相等, 它满足自反性、对称性以及传递性.这几种特性在教材中也给出了若干例子.在实际教学中, 则需要先将“关系”的概念理解清楚, 同时对“非等价关系”进行解释, 这样就等于从另一个角度对“等价关系”进行了讲解.在学习这一概念之前, 可以先复习高等代数中关于矩阵的“合同”和“相似”等相关概念.
三、群、环和域概念
在我们的教科书中, 作者对群的定义进行了表述, 分别给出了第一和第二定义, 并且说明了这两个定义之间的关系, 即一致性.学生在学习过程中可以先理解第一定义, 然后理解普通加法, 进一步研究为何普通乘法在非零集合中都符合第一定义的群概念.然后再导向第三定义.在第三定义中, 可以反问自己:Mn (R) 关于矩阵加法是群吗?通过自行翻查资料确定关于矩阵加法和乘法的相关性质以及定义, 尝试去理解相关概念.然后, 继续理解交换律可以在矩阵加法中运用.最后, 将相关例子进行梳理, 进行总结.
通过群的例子, 还可以进一步寻找已经学过的、类似地对环和域的概念进行理解.通过这种方法不仅可以使得学生重新对已学的知识进行复习, 还能促进学生对新知识的掌握, 使得学生感受到:群、环以及域的概念是对高等代数中的数域、多项式等的进一步概括以及抽象.通过这些方法使得学生明白抽象数学的非抽象性, 有助于学生对该学科的学习.
四、零因子
零因子对于数学专业的学生来说是第一次出现在教材上, 在高等数学中并没有相关的概念.教科书是先通过给出n这一整数模型的剩余类环Zn, 当n是合数的时候, 则一定存在着两个非零元的元素相乘, 其结果却是零元, 并且进一步阐释了零因子的概念, 区分了左零因子和右零因子两个因子, 只有当一个数同时是左零因子和右零因子时, 这个数就能称之为零因子了.这对学生来说仍然具有抽象性, 那么可以尝试着对Mn (R) 中两个非零的矩阵相乘的结果进行思考.如下例1:
例关于矩阵加法和矩阵乘法是环.设, 则AB=02×2.
通过这个例子阐释A是环S的左零因子, B则为右零因子.还可以让学生通过例1来找出矩阵C, 并且使得BC=02×2, 这样也就说明了一个环内的右零因子不一定就是左零因子.
五、环上的运算规律
在环上则有两种运算方式:一种方式称为加法, 另一种则称为乘法.这两种方式的运算则可以通过一定的分配律来进行联系.同时有些环内的运算规则较为复杂和烦琐, 在学习过程中可以使用列表的方式将环内的运算规律以及Mn (R) 上的矩阵运算规律加以比较, 从而发现环内的运算规律和Mn (R) 上的运算规律相符, 正确理解环内运算规律.
概言之, 高等数学作为数学专业的基础课程, 其知识点可以有效地对抽象代数进行支撑.事实上, 抽象代数正是建立在高等数学等一些基础数学知识之上的, 学生学习过程中可以充分采取熟悉的知识来理解和掌握新知识.
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