计算正常水深和临界水深的新迭代方程

　　引言
　　
　　梯形段面的渠道具有占地少，施工简单，运行可靠等优点，在水利工程中运用非常广泛。因此，在水利工程实践中，经常会遇到梯形明渠正常水深和临界水深的计算问题。 而常采用试算法和图解法却计算步骤繁杂，精度欠佳，且不适合于计算机编程计算。在本文中，作者将提出一个用于正常水深和临界水深计算的迭代方程，它在水利工程中将是十分有用的。而最重要的是从纯代数的角度证明了该方程的收敛性，从而对与此迭代方程，赋予任意有工程实际意义的初始值都是有效的。这样，我们就可以简单、有效地计算这些水深。

　　一、临界水深迭代方程
　　
　　对于如图 1 所示的梯形明渠，临界水深是由如下方程得出的：【1】

　　其中： g -重力加速度；Q-渠道流量；b -渠道底宽；1m ,2m -渠道边坡。【图 1】


　　通过方程（1），我们可以得到：【2】

　　方程（2）是计算临界水深的迭代方程。方程的收敛性证明是极其重要的，否则将不会有人使用它来计算临界水深。

　　方程（2）要收敛就要求它对变量 h 的一阶导数小于 1,因此我们先求取方程（2）的一阶导数：【3】

　　注意到上式由方程（2）得到，所以我们可以代进方程（2）来简化它，而这正是证明其收敛性的关键，因此：【4】

　　由此我们可以得出，在 h 取有工程实际意义的任何值时，上述迭代方程是无条件收敛的。

　　二、正常水深迭代方程
　　均匀流的正常水深由以下方程计算：【30】

　　其中：i -渠道底坡；n -渠道糙率。

　　将方程（3）改写为：【40】

　　再对方程（4）求变量h 求一阶导数：【5】

　　最后简化为：【6】

　　所以，在 h 取有工程实际意义的任何值时，方程（4）也是无条件收敛的。

　　三、结论
　　
　　迭代计算法法用于复杂方程的计算是非常便利的，但它的收敛性证明却不是那么容易，这也是迭代法没能广泛用于水力计算的原因。要想成功地证明其收敛性就要求证明者真正理解其内在参数的本质联系以及良好的代数技能来简化方程。实际上，迭代法在水利工程计算中应用很多，在我国的一些水利期刊上也介绍过迭代法算收缩断面水深；小流域洪峰流量计算。而本文作者提出了用于正常水深和临界水深计算的迭代格式，并证明了它们是无条件收敛的，可以赋予任意有工程实际意义的初始值。我们可以利用这些迭代格式取代图解法和试算法进行水力计算，特别是应用于计算机编程。

　　参考文献
　　[1] 吴持恭。水力学[M].北京：高等教育出版社，1982（第二版）。
　　[2] 葛节忠，刘东康，刘金柱。明渠均匀流水深 h 和临界水深hk的迭代计算法[J].河海水利，2006（6）。