摘 要： 逆向工程中存在数学建模精度和效率低的问题。为获得构建更为精准数学模型的解决方法, 现以某涡轮叶片为研究对象, 基于MATLAB对其轮廓方程采集不同精度和数量的数据点, 并用三种不同软件 (MATLAB、Origin、1stOpt) 分别对采集到的数据点进行线性拟合。结果表明, 对不同精度和数量的数据点, 三种软件的拟合精度和效率各不相同。在逆向工程建模中, 根据采集数据点选择适当软件能够提高建模精度和效率。
关键词： 逆向工程; 数学建模; 涡轮叶片; 线性拟合;
Abstract： There are problems with mathematical modeling accuracy and low efficiency in reverse engineering. In order to obtain a solution for constructing a more accurate mathematical model, a turbine blade is used as the research object, and MATLAB collects data points of different accuracy and number based on its contour equation, and uses three different software (MATLAB, Origin, 1stOpt) to collect the data respectively. The data points are linearly fitted. The results show that the fitting accuracy and efficiency of the three software are different for different precision and number of data points. In reverse engineering modeling, selecting the appropriate software based on collected data points can improve modeling accuracy and efficiency.
Keyword： reverse engineering; mathematical modeling; turbine blade; linear fitting;
构建实体的数学模型对其相关研究具有重要意义, 精准的数学模型是实体相关研究的理论依据。较复杂的物体模型, 需要间接建立其数学方程表达式, 使用工具采集得到表面数据点, 根据采集点拟合求得数学模型。通过已有零件对其进行逆向建模、再设计的方法被称为逆向工程, 在实际工程中具有重要意义[1,2,3]。
数学建模是用数学的符号和语言, 通过抽象、简化建立一种数学模型, 能近似刻划并解决实际问题的一种数学工具。数学建模的应用在一般的工程技术领域中发挥着很关键的作用, 例如机械行业中的零件模型, 复杂的传动机构等。
涡轮叶片是航空航天重点研究对象之一, 如何建立其精准模型一直备受关注。叶片表面属于复杂曲面, 整体模型建立较为困难, 对未知型号涡轮叶片的研究, 逆向工程技术显得尤为重要, 其中如何建立精准数学模型则是关键步骤。本文对某涡轮叶片轮廓线采集得到的数据点, 选用三种不同数学软件对其进行线性拟合, 分析优化出逆向建模最精准的求解方法。
1 、涡轮叶片逆向建模
机械研究中常用到的数学软件有MATLAB、Mathematica、Maple等[4,5]。随着计算机的发展, 数学软件的功能逐渐多元化, 涵盖了数学运算、数学规划、统计运算、绘制数学图形等功能。在各类工作中电脑软件的使用, 大大提升了工作效率和生产质量。
逆向工程中, 对于数学模型的构建, 无法得知使用方法最后拟合结果的精度。现通过资料中给出的已知方程, 进行数据点采集, 然后对数据点进行拟合求解, 对最终求解得到的方程与原始方程进行对比分析, 得到建模过程中较精确的求解方法。
如图1所示, 涡轮叶片的叶型线由叶盆、叶背、前缘和后缘等四部分组成[6]。传统的涡轮叶片的建模方法是基于三截面建模方法, 通过控制叶片上、中、下三条叶型线, 加上一条引导线生成三维模型[7]。根据相关资料得到涡轮叶片拟合后的轮廓方程[8], 建立三维模型如图2所示。
现对叶片横截面叶栅的叶背与叶盆方程进行拟合比较, 其前缘与后缘为标准圆弧, 无需拟合。叶背与叶盆已知方程如表1所示[8]。
表1 拟合方程系数
根据经验可知, 选取数据点的数量和有效位数都会影响到方程拟合的结果。在研究过程中, 对每条曲线采集26和101组数据点, 两组数据点分别取至小数点后3位和后7位, 共得到四组数据以供拟合比较。其技术路线如图3所示。
1.1、 MATLAB求解方程
运用MATLAB对方程进行数据点采集 (y1代表叶背方程, y2代表叶盆方程, 本文只对y1进行研究分析) , 采集到小数点后3位的数据点共26组和小数点后7位的数据点共101组, 其部分数据点如表2所示。
表2 部分数据采集点
分别使用三种软件对26组数据点进行方程拟合, 求出多项式系数。在MATLAB软件中, 数据拟合功能包含多种函数方程, 例如多项式、三角函数、高斯函数和傅里叶函数等。本文涡轮叶片的研究只涉及多项式方程拟合。通过导入数据点, 选择多项式拟合功能, 分别进行4次、5次、6次方程拟合, 得到三组方程拟合图, 以及各自残差图 (如图4、5、6) , 然后比较拟合精度。通过判断, 五次方程的拟合最接近原始数据。
根据图4、5、6对比分析得到, 在使用MATLAB对数据进行拟合时, 五次方程的误差最小, 最接近原始数据。根据残差图能很清楚的判断出各区间的误差程度, 以及总的拟合误差。方便对误差较大的间距进行再次优化分析, 从而提高方程拟合精度。
1.2、 Origin求解方程
Origin通常只用于处理数据点的拟合, 其他功能较为普通。相同数据下, 软件处理结果如图7和8所示。从图中可以看出各项系数的拟合结果和误差。该软件的缺点在于图像处理功能较差, 拟合函数种类较少。其多用于化学实验中数据的处理上, 能满足普通方程的拟合处理。
1.3、 1stOpt求解方程
1stOpt界面简洁, 占用内存远比上两种软件小的多, 处理数据速度也相对较快。在使用过程中需要掌握简单的编程语言进行操作。该软件的优势在于, 本身自带的多种优化算法, 输入程序后, 只需简单控制迭代次数就能得出高精度拟合结果。其工作界面如图9所示。根据相关程序带入数据点, 最后求出拟合方程结果如图10所示。
软件输出界面给出迭代次数、运行时间、误差评判标准等结果。直观的数字表达更利于拟合结果的比较。软件的图像处理功能较差, 是其唯一不足之处。
根据三种软件的求解结果, 对比多项式系数的变化误差, 其中ε是求解值减原始值与原始值的比, 具体结果如表3所示。
根据表3中的数据可以得出, MATLAB与Origin的求解结果的有效位数要比1stOpt少, 1stOpt的拟合结果要好于Origin的拟合结果。由于数据点取值原因暂且无法判断MATLAB的拟合精准性。
2、 多数据处理结果分析
分别使用三种软件对101组数据进行上述相同方法处理, 求出各自分析结果。分别如图11、12、13所示。
对三种软件的求解结果进行分析对比, 求解ε值, 具体结果如表4所示。根据结果能够得出, 三种软件的输出结果系数相对26数据点时更精准, 误差相对更小, 与原始方程重合度更高。结果对比显示, MATLAB和Origin的输出结果的有效位数较少, 在要求较高的拟合中, 这两种软件不再适用。
表3 50组数据点求解结果的误差分析
表4 100组数据点求解结果的误差分析
3 、结语
涡轮叶片的逆向工程技术一直备受关注, 快速精准的建立数学模型是研究重点。在对涡轮叶片逆向建模的实验中, 通过对三种数学软件的使用可以得出, 在实验数据点较少且精度较低的情况下, 1stOpt的拟合优化结果要高于MATLAB和Origin的优化结果;当实验数据达到一定数量和精度后, 三种软件的拟合结果误差都很低。MATLAB和Origin的拟合精度会受软件自身约束, 拟合方程系数有效位数受限, 而1stOpt无该缺点, 可以达到十几位有效数字, 有足够的拟合优势, 且仍能保证拟合精度。Origin的拟合函数较少, 对简单方程的拟合, 其操作更方便。MAT-LAB的拟合函数较多, 操作起来较方便, 拟合图像也较清晰, 但拟合方程系数受限, 更高精度要求的拟合难以实现。因此, 在逆向工程中, 采集数据点的个数和有效位数越多, 根据实际要求使用适当软件能够提高数学建模精度。
参考文献
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[2]周小东, 成思源, 杨雪荣, 等.基于参数化逆向建模的仿真优化设计[J].组合机床与自动化加工技术, 2015 (11) :13-15.
[3]史云玲, 刘刚, 赵灿, 等.发电汽轮机叶片的高精度测量与逆向建模方法[J].黑龙江工业学院学报:综合版, 2016, 16 (2) :33-35.
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[8]赖喜德, 李广府, 张惟斌, 等.涡轮叶片逆向建模与特征参数提取[J].西南交通大学学报, 2013 (5) :915-920.
