受到旅游资源禀赋、区域经济发展背景、区位条件和旅游发展战略等多重因素的影响，旅游业的不均衡发展和旅游经济规模在区域之间的分配不均已经成为一种常态。旅游业的经济绩效是区域旅游业资源优势、市场开发能力、产业发展潜力和支持能力的综合反映，通过分析和研究区域旅游经济的规模等级结构，探索其动态演变规律，不仅有助于揭示旅游业和旅游经济区域差异现象的形成机制，而且可以为优化旅游经济空间格局和开展跨区域旅游合作与竞争提供理论参考。
目前，关于旅游规模等级结构的研究主要有： 朱竑，吴旗韬运用首位分布和位序 - 规模分布理论研究了中国省级层次和主要旅游城市的旅游规模分布规律； 靳诚，徐菁等在分析长三角城市旅游规模差异的基础上，探讨了其规模分布机制； 杨国良，张捷等借助齐夫定律，证明了国内旅游流和入境旅游流的流量位序 - 规模分布特征与形成机制； 戈冬梅，吴玉鸣运用区域经济发展差异的相关指标分析了江西旅游规模差异，并借用位序 - 规模分布理论揭示了引起差异的原因； 乌铁红，张捷等运用入境旅游经济区位熵测算了中国入境旅游经济发展水平的空间格局演变特征； 吕利军，王嘉学等运用位序 -规模法则模型分析了云南省旅游系统的规模等级结构； 周彩屏，戈冬梅研究了浙江省的国内旅游和入境旅游的规模差异及位序规模分布； 邓晨晖，吴晋峰等运用区域规模差异的相关指标和城市地理学的首位分布理论研究了西部省市区入境和国内旅游规模差异与分布规律； 陈刚强，李映辉运用 GIS 空间分析技术探讨了近年来中国区域旅游规模的空间结构及变化趋势； 陈刚强，许学强运用基尼系数和主成分回归分析等分析方法，探讨了中国入境旅游规模空间分布和内部结构变化的规律及影响因素； 刘军胜，马耀峰运用标准差、变异系数等指标和方法分析了河南省入境旅游规模差异与位序规模分布； 段七零，胡章鸿等借用齐夫法则和差异度模型对比分析了江苏省国内旅游收入和国际旅游收入规模结构； 宜国富应用城市体系规模等级结构理论，探讨了中国入境旅游规模结构的省级差异及其影响因素； 蒋作明，宋保平等借用位序规模分布理论研究了黄山市国际旅游市场规模分布特征； 曾鹏，罗艳在分析中国十大城市群旅游规模差异及分布特征的基础上，发现十大城市群的旅游规模基本符合位序规模分布[16].总体而言，旅游规模等级结构的研究已经受到学者们的广泛关注，但是已有研究在研究方法上多局限于城市位序 -规模法则、标准差、变异系数、基尼系数等方面，所得到的结论主要倾向于对旅游规模等级体系整体结构的演变规律的解释，但是与旅游规模的整体空间结构相比，对城市个体旅游规模演变特征的研究也具有同样重要的意义； 在研究对象上既有对全国范围内旅游规模等级体系的研究，又有对省域旅游规模等级体系的研究，但是明显对中部省区的关注。
山西省地处中部地区，拥有丰富的旅游资源，但是旅游业发展水平却相对较低，近年来随着中部崛起战略的实施及产业转型政策的推动，山西旅游业迅速发展，导致其旅游经济等级规模结构发生了深刻的变化。因此，文中以山西省 11 个地级市为基本研究单元，选取 2002 -2011年为连续的时间序列，综合运用等级钟理论、马尔科夫转移概率矩阵，位序 - 规模法则和差异度模型等研究方法，对山西省各地级市旅游经济的位序演变和规模类型转移，以及山西省旅游经济等级规模结构的演变特征进行深入分析和探讨，以期为优化旅游经济空间格局和开展跨区域旅游合作与竞争提供理论参考，并为研究旅游经济等级规模结构提供一个典型借鉴。
1 材料与研究方法
1. 1 数据来源
为了保证数据的可比性和连续性，文中以 2000 -2011 年山西省 11 个地级市的旅游外汇收入和国内旅游收入为基础数据，对山西省旅游经济的位序、规模类型及等级规模结构的演变特征进行分析。此外，为了避免把整体旅游经济分割为入境旅游和国内旅游两部分的研究模式，文中根据历年的年均汇率将旅游外汇收入折算为人民币，然后以旅游外汇收入与国内旅游收入之和（ 即旅游收入） 作为衡量其旅游经济规模的主要指标。所用数据全部来源于《中国旅游统计年鉴》、《山西统计年鉴》和《中国统计年鉴》。
1. 2 研究方法
1. 2. 1 等级钟理论
为了分析城市位序等级的时变规律与机制，英国学者 Batty 提出了等级钟理论。文中借用等级钟理论来研究城市旅游经济位序的演变趋势，方法如下： 首先以若干位序等间隔的同心圆为等级钟面，由位序为0（ 最高位序等级） 的圆心开始，向外依次等间隔递减位序等级，直至设定的最低位序（ 最外层同心圆） ; 同时依据研究期的时间跨度将钟面均匀划分为若干等面积的扇面，再依据城市旅游经济的位序在每个时间点所对应的位序等级在等级钟面上绘制出其位序等级的时间变化曲线，得到城市旅游经济位序等级钟。
然后通过以下公式计算出各城市旅游经济位序变动的平均等级距离，即如果某城市 i 的旅游经济在 t -1时刻的位序为 ri（ t -1） ,在 t 时刻的位序为 ri（ t） ,则定义该城市在该时间段内的等级距离为[17 -19]:
di（ t） = |ri（ t） - ri（ t -1） | （ 1）
那么，该时间段内全部城市（ N） 旅游经济的平均等级距离为：
d（ t） =∑Ni = 1| ri（ t） - ri（ t -1） | /N（2）
依据平均等级距离可以在等级钟面上绘制出平均等级距离钟。根据等级钟和等级距离钟能够直观地分析城市旅游经济位序的演变趋势。
1. 2. 2 马尔科夫转移概率矩阵
为了描述和比较城市旅游经济规模的差异及演变趋势，文中采用马尔科夫转移概率矩阵对城市在不同旅游经济规模类型间的转移特征进行分析。原理如下： 第一步，运用 spss 软件的欧氏距离聚类法对各地级市的旅游收入进行 Q 型聚类，分别将各城市在各年份的旅游经济规模从大到小依次划分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种类型。第二步，构建 2002 - 2011 年各地级市在不同旅游经济规模类型间的转移概率矩阵，得到一个 4 ×4 的马尔科夫转移概率矩阵，矩阵中的对角线元素表示旅游经济规模类型没有发生变化的概率，非对角线元素表示城市在不同旅游经济规模类型间发生转移的概率。第三步，通过计算城市在不同类型间的转移频数和转移概率来研究其旅游经济规模的演变趋势。
1. 2. 3 位序 - 规模法则
位序 - 规模法则最早由奥尔巴克于 1913 年在研究欧洲和美国的城市人口分布时提出，随后罗特卡、辛格和齐夫等学者对模型进行了改进，其中罗特卡提出的模型得到了广泛应用。位序 - 规模法则主要被用来研究区域内城市体系的规模分布，但它同样也能够很好地反映区域内城市旅游经济规模的分布情况。因此，文中应用罗特卡模型来研究山西省旅游经济等级规模结构的演化趋势，其公式为：
P = K·R- q（ 3）式中： P 为某城市的旅游经济规模，R 为该城市旅游经济的位序，K 为首位城市的理想旅游经济规模，q 为常数。q 值的变化反映了旅游经济空间分布形态的变化，q 值越小，旅游经济分布越均衡。q 小于 1时，表示旅游经济分布较为均衡； q 等于 1 时，表示旅游经济分布呈帕累托模式，是自然状态下的最优分布； q 大于 1 时，表示旅游经济分布比较集中，首位度较高； q→0 时，区域内所有城市的旅游经济规模一样大； q→∞时，区域内只有一个城市有旅游经济。
1. 2. 4 差异度模型
用信息熵可以表征旅游经济规模结构的差异，为了便于对比不同区域旅游经济规模结构的差异，文中引入刘继生、陈彦光提出的表征城镇体系结构的差异度概念[20].旅游经济规模结构的信息熵可以表示为： I = - ∑ni = 1PilnPi（ 4）式中： I 为信息熵，n 为地区数，Pi为第 i 个区域的旅游经济规模在旅游经济规模总量中所占的比重。
容易得出，Imax= lnn,因此，均衡度可以表示为： J = I / Imax= -∑ni = 1PilnPilnn（ 5）一般而言，旅游经济规模类型越多，信息熵和均衡度就越大，旅游经济规模结构的差异性就越小。因此，可以将差异度表示为： C =1 - J （ 6）可见，C 是一个介于 0 -1 之间的数值，C 值越大，表示旅游经济规模结构差异性越大； C 值越小，表示旅游经济规模结构的差异性越小。
2 山西省旅游经济等级规模结构演变实证研究
2. 1 城市旅游经济位序的演变
运用公式（ 1） 和（ 2） 计算出所有城市的平均等级距离，并绘制出 2002 -2011 年山西省各地级市旅游经济位序的等级钟和平均等级距离钟（ 图 1） .从等级钟图来看，太原、晋城和朔州的位序没有任何变动，呈同心环式排列。大同、阳泉和吕梁的位序变动较小，其中大同自 2003 年上升 1 位之后没有再变动； 阳泉和吕梁到 2011 年位序发生互换，之前则没有变动。长治、晋中、运城的位序波动幅度较大，其中长治和晋中波动上升，而运城则波动下降。忻州、临汾的位序变动最大，但均没有表现出明显的升降趋势。从平均距离等级钟来看，2003 -2005 年，城市平均等级距离逐渐增大，这主要是由忻州、临汾、长治的位序波动所致； 2005 -2011 年，除 2008 年和 2010 年平均等级距离较小之外，其余年份的平均等级距离保持一致。可见，中等旅游收入城市的位序变动是山西省城市旅游经济位序变动的主要原因。
2. 2 城市旅游经济规模的演变
根据上述关于马尔科夫转移概率矩阵的叙述，通过对山西省各地级市旅游收入的聚类分析和统计汇总得到表 1.表 1 第二列（ n） 表示各年份处于Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ类型的城市数量之和，第三至七列表示分别表示从初始类型转移为对应类型的总频数，最后四列分别表示从初始类型转移为对应类型的概率。可见： 1） 对角线上的频数值和概率值较高，说明各类旅游经济规模的城市在下一年保持相同类型的可能性较大； 尤其是Ⅰ型城市的转移频数和转移概率全部集中在对角线上，说明旅游经济规模最大的城市保持了绝对稳定，在研究期限内没有发生类型转移。2） 城市在不同旅游经济规模类型间的转移以向邻近类型转移为主，不存在跨级转移。如： Ⅱ型城市仅发生了向Ⅲ型城市的转移，而没有发生向Ⅳ型城市的转移。3） 城市在不同旅游经济规模类型间的转移以向高层次类型转移为主，其结果是城市的旅游经济规模类型缓慢地向高层次发展，如： Ⅲ型城市向Ⅱ型城市转移的频数和概率大于向Ⅳ型城市的转移。4） 转移概率的集中程度依次为： Ⅰ > Ⅱ > Ⅳ >Ⅲ,说明旅游收入较低的城市的类型转移是城市旅游经济规模类型变动的主要原因。
2. 3 城市旅游经济等级规模结构的演变
通过等级钟理论和马尔科夫转移概率矩阵分析，仅研究了城市个体旅游经济的位序和规模类型的变动趋势，为了进一步研究城市旅游经济规模结构的整体演变趋势，文中将点列（ R,P）的数据标绘在双对数坐标图上（ 图 2） ,观察其拟合效果； 并通过罗特卡的模型，运用 Eviews6. 0 软件对2002 - 2011 年山西省各地级市的旅游经济的位序和规模进行双对数回归分析（ 表 2） .
可见，2002 -2011 年期间的每年都存在两个无标度区； 说明山西省旅游经济规模分布遵循位序 -规模法则，但由于不同标度区反映了不同的旅游经济规模分布特征，其旅游经济规模结构具有双分形特征，山西省旅游经济规模等级系统中存在两个次级子系统。此外，无标度区的范围基本保持稳定，即子系统一（ 即标度区一） 包括旅游经济位序在第2 -7 位的城市，子系统二（ 即标度区二） 包括旅游经济位序在第8 -11 位的城市。
q 值的大小反映了旅游经济规模的分布形态。2002 - 2011 年，标度区一的 q 值保持在 1. 0 以下，并且呈波动减小的变化趋势，逐渐由 2002 年的 0. 81 减小至 2011 年的 0. 09,说明其内部各城市的旅游经济规模分布较为均衡，而且随着时间的推移其均衡程度逐渐提升。标度区二的 q 值保持在 1. 5 以上，说明其内部各城市的旅游经济规模分布较为集中； 其 q 值在研究期内呈倒 U 型变动趋势，2002 -2004 年 q 值逐年增大，2004 年 q 值达到 4. 51,说明旅游经济规模的分布越来越集中，到 2004 年其集中程度达到顶峰； 2005- 2011 年 q 值逐年减小，说明旅游经济规模分布的集中程度逐渐减小。
由于山西省的旅游经济规模结构中存在无效标度区和标度区分段的现象，导致位序规模法则无法完整地反映其结构状况。因此为了反映山西省旅游经济规模结构总体均衡程度的演变趋势及每个标度区内部旅游经济规模结构的演变趋势，运用公式（ 4） 、（ 5） 和（ 6） 分别计算出2002 -2011 年山西省旅游经济规模结构总体以及各标度区内部的信息熵、均衡度和差异度（ 图3 和图4） .
可见，在研究期内各年山西省旅游经济规模结构总体（ 图 3） 的均衡度均大于 0. 88,差异度均小于 0.
12,且年际之间虽有变动但幅度不大，说明山西省旅游经济规模结构基本保持原状，持续处于高水平的均衡分布状态； 差异度曲线的变化趋势为，2002 -2004 年，差异度缓慢地逐年增大，到 2004 年达到最高值（ 0. 1195） ,2005 - 2011 年，差异度又急剧地逐年减小，说明山西省旅游经济规模结构经历了先逐年变得集中，然后又逐年变得均衡的演变过程。标度区一和标度区二的差异度（ 图 4） 表现出了不同的变化趋势，标度区一呈波动减小的变化趋势，由 2002 年的 0. 0792 逐渐减小至 2011 年的 0. 0005,说明标度区一的旅游经济规模结构逐渐变得更加均衡； 标度区二的差异度整体略高于标度区一，其变化曲线也呈倒 U 型，2002 -2005 年，差异度逐年增大，到 2005 年达到最高值（ 0. 0876） ,2006 -2011 年，差异度又逐年减小，说明标度区二的旅游经济规模结构也经历了先逐年变得集中，然后又逐年变得均衡的演变过程。
3 讨论
由于中部崛起战略带来的战略机遇及山西省对产业转型问题的重视，2002 -2011 年山西省旅游业迅速发展，旅游收入年均递增速度达到 30. 0%,远远高于同期全国的平均增长速度 16. 8%,与此同时山西省旅游经济规模占全国的比重也由 2002 年的 2. 3% 上升到 2011 年的 6. 0%.但是各地级市旅游经济规模的增长速度却不太一致，增长最快的吕梁市（ 41. 2%） 达到增长最慢的忻州市（ 21. 6%） 的 1. 91 倍，这直接导致各地级市旅游经济的位序和规模发生了变动，进而引起全省旅游经济等级规模结构的变动。
从城市个体的旅游经济位序和规模类型的演变来看，旅游经济规模最大的太原市在旅游资源、经济水平、区位条件等方面占有很大优势，尽管旅游经济增长速度较慢，但却保持了领先地位； 旅游经济规模较小的吕梁、阳泉、朔州、晋城四市及时地抓住了经济发展和产业转型的机遇，推动了旅游经济规模的迅速增长，但是由于旅游产业基础薄弱，仍然无法改变其在全省旅游业中的落后地位； 而其余六市均属于中等旅游收入城市，旅游规模相差不大，受到经济发展、产业结构、发展战略、区位条件等因素的影响，其旅游经济的位序和规模处于波动变化之中。
从旅游经济等级规模结构的演变来看，山西省旅游经济规模呈具有双分形特征的位序 - 规模分布特征，而且与差异度变化趋势基本一致，说明通过位序 - 规模法则和差异度模型可以较为准确地反映区域旅游经济等级规模结构的演变特征。但是，标度区一内部各地级市的旅游规模分布较为均衡，而标度区二内部各地级市的旅游规模则相对集中，这说明吕梁、阳泉、朔州、晋城四市旅游经济规模仍然偏小，并影响了山西省旅游经济空间格局的优化与发展，因此山西省应该进一步加大对上述四市的产业转型及旅游开发力度，并采取合理的市场营销措施，以促使旅游业均衡发展，优化旅游经济的空间格局。
4 结论
通过对 2002 -2011 年山西省旅游经济等级规模结构的演变趋势的深入分析和研究，得出以下结论：
（ 1） 运用等级钟理论研究城市个体旅游经济位序的演变趋势，发现中等旅游收入城市的位序变动是山西省各地级市旅游经济位序变动的主要原因。
（ 2） 运用马尔科夫转移概率矩阵研究城市个体在不同旅游经济规模类型间的转移，发现山西省各地级市旅游经济的规模类型缓慢地向高层次发展，旅游经济规模较小的地级市的类型转移较为频繁。
（ 3） 运用位序 - 规模法则和差异度模型研究山西省旅游经济等级规模结构的演变趋势，发现山西省旅游经济规模分布基本遵循位序 - 规模法则，但具有双分形特征，标度区一的旅游经济规模结构较为均衡，标度区二则集中程度较高，并且标度区一和标度区二表现出不同的演变趋势； 从差异度来看，旅游经济规模结构总体持续处于高水平的均衡分布状态，但标度区一和标度区二的演变却又不太一致。
（ 4） 进一步加大旅游业发展相对滞后的吕梁、阳泉、朔州、晋城四市的产业转型及旅游开发力度，是今后山西省优化旅游经济空间格局的重点工作。
综合运用等级钟理论、马尔科夫转移概率矩阵、位序 - 规模法则和差异度模型来研究区域旅游经济等级规模结构特征，既可以揭示区域旅游经济等级规模整体结构的演变趋势，又不会掩盖城市个体旅游经济位序和规模类型的演变趋势。此外，选取旅游收入为衡量旅游经济规模的主要指标，可以避免把整体旅游经济人为分割为入境旅游和国内旅游两部分的研究模式。
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