一、悖论的定义
关于芝诺悖论的讨论，以及其他所有关于悖论问题的讨论，都必须明确一个问题，就是悖论的定义问题。这就要求我们对于悖论的内涵和意义做出一个简要而准确的描述。但是，对于悖论的内涵问题却有着许多不同的争议。至今为止，全球的逻辑学家，哲学家，人工智能专家也没有达成一个共同的定义，但有一个大家都能够接受的模糊定义。那就是: 从明显合理的前提，经过明显合理的推导，推出了明显不合理的结论。
还有另外一个大家相对容易接受的说法，就是为相互矛盾的问题找到了同等有力的根据。张建军对一些流行的悖论定义进行了分析，指出这些定义当中所存在的问题以及不足之处，在此基础上给出了如下定义。
逻辑悖论指谓这样一种理论事实或状况，在某些公认正确的背景知识之下，可以合乎逻辑地建立两个矛盾语句相互推出的矛盾等价式。
这个定义首先对悖论的属概念进行了说明，明确悖论是一种理论事实或状况。理论事实不是客观世界中有的东西，而是人们信念系统之中现实存在的。在此基础之上，有三个必不可少的构成要素。首先，可以建立矛盾等价式是逻辑悖论的形式特征。令 L 为一个语句的缩写，经过经验事实或者已知的模式方法，从 L 中可得出“L 是真的，当且仅当，L 是假的”的结论，我们就把“L 是真的，当且仅当，L 是假的”这种形式称为矛盾等价式。用?———?表示当且仅当，矛盾等价式可以简单地记为p?———?p。逻辑悖论可以有不同的表述形式，但经过推理，都可以建立矛盾等价式。模糊定义中明显不合理的结论，显然就是矛盾，也就是我们这里所说的矛盾等价式。这里的矛盾与自相矛盾的逻辑矛盾不同，普通的逻辑矛盾，我们叫清理矛盾，但是悖论是清理自相矛盾的结果，这一点需要注意。其次，要有公认正确的背景知识。任何一个逻辑悖论，不可能是在没有任何背景知识的情况下直接推导而来，即便是最简单的悖论也要有背景知识的参与。再次，逻辑悖论的形成过程中必须要有严密无误的逻辑推导。如果在推导的过程中出现了错误，即使有矛盾等价式的形式特征，但这却不是真正的矛盾等价式，是经不住检验的，所以不能够把它称为悖论。虽然悖论的定义各不相同，表述方式也有差异，但是三要素是基本共识。限于本文所要做的工作，我们就把上述定义作为“严格悖论”的定义来讨论下面的问题。
二、芝诺悖论
芝诺悖论是芝诺在为其老师巴门尼德世界本原观进行辩护的过程中产生的。当然，芝诺本人并不认为这是悖论，因为这恰恰证明了他所要做的工作。这四个论证比较完整地被保留在亚里士多德的《物理学》之中:
第一个论证是“二分法”，肯定运动是不存在的。根据是“位移事物在到达目的地之前必须先抵达一半处”。然而要走完这一半的路程，又必须经过这一半的一半，如此递推，以至无穷，故运动不可能。
第二个论证是“阿克琉斯追不上乌龟”。赛跑的时候，跑得最快的永远追不上跑得最慢的。因为追者首先必须达到被追者的出发点，这样，跑得慢的总是领先一段路。
第三个论证是“飞矢不动”。如果任何事物，当它是在一个和自己大小相同的空间里时，它是静止的。如果位移的事物总是在’现在’里占有这样一个空间，那么飞着的箭是不动的。
第四个论证是“运动场”。三列物体 A、B、C，A 静止不动，B、C 以相等速度向相反方向运动，当它们走过一段同样的距离的时间中，B 越过 C 列中物体的数目，要比它越过 A 列中物体数目多一倍，但是 B、C 到 A 的时间相等，所以一倍时间等于一倍时间。
AAAA AAAABBBB→ BBBB←CCCC CCCC很多学者和教科书上都将这四个论证分别视为悖论，即有芝诺否证运动的“四个悖论”之说，也在此基础上探讨这个悖论的解决途径。基于上述对严格悖论的定义，我们重新分析一下芝诺悖论的结构。
第一个论证和第二个论证中，仔细分析，其前提条件不仅仅是芝诺所说的“运动存在”，还包括“时空无限可分”。为了更加直观，我们把“运动存在”记为 p，把“时空无限可分”记为q，把结论记为 r。也就是 p□q→r。
两个论证中 r 的荒谬以及推理过程的无误可推出对前提的否定，即瓙 ( p□q) ，也就是－p□－q。现实生活中的经验事实使我们相信，运动( p) 是真实存在的。所以对于承认运动存在的认知共同体而言，这两个论证就是对“时空无限可分”( q) 的归谬。可以得出“时空有最小不可分单位”这个结论。
第三个论证和第四个论证中，前提条件是“运动存在”和“时空有最小不可分单位”。同样，把“运动存在”记为 p，把“时空无限可分”记为 q，把结论记为 r。和前两个论证推理过程一样，归谬的是“时空有最小不可分单位”。可以得出“时空无限可分”这个结论。
综上，前两个论证可以由“时空无限可分”推出“时空有最小不可分单位”的结论，也就是 r→q。后两个论证可以由“时空有最小不可分单位”得出“时空无限可分”的结论，也就是 q→r。很显然，分开来看，都不满足可以建立矛盾等价式这个要素，就更谈不上所谓的悖论了。但如果把这四个论证放在一起，就可以得到“时空无限可分，当且仅当，时空有最小不可分单位”这个结论，也就是 p?———?q。这是一个货真价实的矛盾等价式。
从“运动存在”这一公认正确的背景知识出发，经过严密无误的推导，可以建立一个矛盾等价式。这恰好符合我们上面所说的逻辑悖论三要素。从这个意义上来说，把这四个论证当作四个独立的悖论是不符合定义的，是没有真正理解芝诺悖论的内在结构，这四个论证只是四个归谬法推理而已，只有把它们联系起来，才能构成真正意义上的悖论。美国学者侯世达说芝诺是悖论的发明者，显然，芝诺本人并不认同，因为他恰恰是要通过结论的荒谬给出运动不存在的结论。但从我们以上对着四个论证的分析来看，确实可以说芝诺悖论是第一个真正意义上的严格悖论。
三、先秦典籍中的半截子悖论
有学者曾经说过: “一部逻辑发展史就是一部逻辑悖论发展史”。近年来，中国逻辑史研究领域引起了大家的广泛关注，中国古代逻辑悖论方面的研究未必不是一个很好的视角。如果说芝诺悖论是第一个严格悖论，那么在中国典籍当中有没有出现过严格悖论? 这是我们需要思考的问题。
学者高祖光《略谈 ＜ 墨经 ＞ 关于悖论的论述》一文以及张文熊《吊诡———悖论》一文中指出中国古代先秦典籍中也出现了严格意义上的悖论，但是仔细分析一下就会发现，这些所谓的严格意义上的悖论只不过是一些半截子悖论而已。究其原因就是忽略了先秦典籍中量词的使用。这也给我们一点启示:
在研究文本以及分析语句时，要时刻保持量词敏感性。先秦是逻辑三大发源地之一，正是因为有了《墨经》，才使我们成为三大逻辑发源地之一。可以肯定的是，在《墨经》中确实产生了“以言为尽悖”、“非诽者”这样的半截子悖论，但是却没有产生严格意义上的悖论，这是需要我们思考的问题。在芝诺悖论产生之后，人们也许无法指出背后的原因，但仍没有弃置不顾，而是引发了不断深入的思考。而先秦典籍中的半截子悖论距离真正意义上的严格悖论仅一步之遥，却没有产生。这也许是由于两种思维差异的影响，也许是东西方文化不同带来的后果。
总之，先秦典籍中没有出现严格意义的悖论这一问题值得引起我们的关注，对其原因也可从不同角度进行更深层次的探索。
参考文献:
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