引 言
早在 1876 年，历史学派经济学家索罗德·罗杰斯便指出，亚当·斯密推出结论的过程与他的追随者或注释者们得到同样结论的过程是不同的。如果说亚当·斯密自视为哲学家，把经济学看作社会与人类发展的广泛研究项目中的一个章节，那么他绝大多数的继承者则自视为科学家，致力于将经济学从道德哲学与政治哲学中解救出来，并打造成为“价值无涉”的客观科学。在这一过程中，数学方法因其高度的抽象性、精确性和逻辑一致性，成为经济学家塑造经济学科学性的有力武器。采用数学方式对经济思想加以形式化，在叙述上会消减歧义，整洁清晰，在逻辑上则严谨内恰，给经济研究带来种种便利，更重要的是，数学在经济学中的广泛应用使经济学更彻底地在理论建构中贯彻了科学哲学对方法论的要求。
经济学数学化不仅意味着数学工具的使用，更意味着数学的思维范式、论证形式和表达方式对传统经济学的整合与重构。它如同一把双刃剑，一方面奠定了经济学“社会科学皇后”的地位，创造出丰厚的研究成果，另一方面将经济学推向了抽象化、公理化、形式化，引发了持续的担忧和争议。对于经济学数学化的争论，本质上是经济学方法论之争。本文基于方法论的视角，回顾了经济学数学化的发展历程，介绍不同阶段的方法论背景、研究成果、代表人物，并指出经济学数学化遭遇的反思和挑战。
一、经济学数学化的开端
18 世纪威廉·配第的《政治算术》和弗朗斯瓦·魁奈的《经济表》是早期数学应用于经济学的代表。配第在经济学的研究方法上深受英国经验主义哲学创始人培根、霍布斯的影响，将经验主义的认识论引入了经济学研究，力图以事实、感觉和经验为依据，主张用“数字和事实”研究经济问题，并努力“用数学、重量和尺度的词汇表达自己想说的问题”。魁奈则试图通过理性演绎和数学运算去发现人类社会的“自然秩序”。经验主义是文艺复兴后自然科学的产物，强调哲学应当以实证自然科学为基础，重视经验观察，主要运用历史归纳和抽象演绎的方法，对以英国经济学家为主的古典经济学产生广泛影响。但是这一时期大部分政治经济学家依然倾向于用语言来表达思想，即使在研究中采用数学方法，应用也十分简单。尤其在 18 世纪中期，政府和国王们对统计数据、财政收入进行保密，经济学家无法得到可信的原始统计数据，经济学数量方法的发展亦近乎停滞。
一般认为，奥古斯丁·古诺真正将数学方法系统运用于经济学，其 1838 年出版的《财富理论的数学原理的研究》是经济学数学化的开端。在该书中，古诺运用了大量数学方法分析经济问题，他使用微积分计算函数关系，并用函数形式表达经济变量之间的依存关系。在该书序言中，古诺反复强调在财富理论上运用数学的必要性及重要性。古诺认为，“数学的用处并非单纯是计算出数值结果，它还可以用来发现不能用数字表达的量之间的关系，以及不能用代数表达式来说明其形式的函数之间的关系。”
此外，古诺认为“那些在使用常规语言的作者笔下，表达得不确定而又晦涩难懂的分析”可以“用自己熟悉的符号加以确定化”。这表明古诺不仅对数学方法的应用非常娴熟，对于数学方法的优势也有明确认识。杜能的《孤立国》与戈森的《交换规律的发展和人类行为准则》也是大量应用数学方法尤其是边际方法的典型代表，二者也十分注重和倡导数学方法在经济学中的使用。这一阶段，数学主要作为研究工具和表达形式进入经济学的研究，仍为传统研究方法的补充，古诺在数理经济学上的许多贡献也是“边际革命”后才得到应有的重视。
二、经济学数学化的发展
19 世纪 70 年代，杰文斯、门格尔和里昂·瓦尔拉斯三人发起的边际革命对经济学数学化起了关键作用，以杰文斯、瓦尔拉斯为首的数理学派是当时经济学数学化的代表。他们将经典物理学作为理想经济学的范本，认为经济学的研究对象就是数量及数量关系，经济问题的复杂性只涉及机械意义上的数量关系，因此经济学是一门与物理学相似的数学科学。同时，杰文斯指出: “经济理论……表现形式类似于物理学中的静态机制，而交易法则类似于力学原理中的均衡法则。价值与财富的性质可以通过考察点滴的快乐与痛苦来加以说明，正如物理学中的静态理论是基于对点滴能量平衡的考察所得出的一样。”
在其 1871 年出版的著作《政治经济学理论》中，杰文斯通过四个命题，强调了数学在经济学中的重要地位: (a)经济学的本性是数学的; (b) 变量无法精确测量并不妨碍经济学的数学性; (c) 经济学所用方法主要是微积分; (d) 数学方法是使经济学进步的必要条件。瓦尔拉斯则基于边际效用理论，在1874 出版的《纯粹经济学要义》一书中，使用了微积分和大量的联立方程，建构出一套经济学的分析方法，提出了一般经济均衡理论。对瓦尔拉斯而言，数学方法是研究经济理论的唯一合乎逻辑和科学的方法，只有使用数学才能对经济理论加以确切的论证和说明。
边际革命中，经济学家对自然科学所运用的推理演绎方法的推崇和效法，开辟了经济学运用数学的全新路径。从应用范围到使用程度，从产生贡献到思想熏染，数学方法均作为一种有力的力量冲击着传统经济学。这一阶段，数学方法，主要是微积分在经济学大量应用，导数、拉格朗日函数方法与经济学的边际理论、最优化问题实现完美地契合，成为推动经济学发展的有力工具。边际分析阶段，经济学数学化研究取得的成就主要集中在微观领域，可概括为三个方面: 形成和发展了一套完整的微观经济活动者行为理论; 提出了一般经济均衡问题，建立了一般经济均衡的理论框架; 创立了当今的消费者理论、生产者理论、垄断竞争理论及一般经济均衡理论的数学基础。
但当时主流学派，无论是英国的新古典学派还是德国的历史学派，并不认可数学方法在经济学中的广泛应用。在《经济学原理》中，马歇尔仅把数学的定量材料作为附录和脚注，以免数学损害他的经济学。他认为“纯数学在经济问题中的主要用处似乎是在于帮助一个人将他的思想的一部分迅速地、简练地并精确地记录下来以供他自己使用”，而不是必要成为经济分析的主要方法。马歇尔坚持方法论多元主义，认为经济学需要多种方法、多种语言，有的问题适用于历史—制度方法，有的则适合抽象分析，经济学不能过分依赖数学，甚至主张“将数学付之一炬”。
德国的历史学派则认为不存在“放之四海而皆准”的普遍法则，任何经济制度的合理性都是相对的，依不同的国家及不同的发展阶段而定，经济学的任务并不是提供绝对的真理，而是提供相对合理的解释。因此，历史学派认为历史的方法才是适当的方法，经济学应该从观察和类比出发，在大量观察的基础上对现象做出适当的概括，而不是从某些绝对的前提假设出发，进行脱离实际的演绎。
德国历史学派代表施穆勒与奥地利学派代表门格尔展开了激烈的辩论。施穆勒对门格尔倡导的抽象演绎方法进行了批评，认为抽象演绎法作为一种初级的权宜的方法，不能适应实际生活中无穷的、多种多样的变化。抽象演绎法建立在对反复出现的经济现象主要因素抽象的基础上，利用概念和假设性前提，运用演绎方法，寻找出各因素之间的关系和因果关系。数学方法是抽象演绎方法的有力工具，历史学派对抽象演绎方法的反对决定了其对数学方法的态度。施穆勒指出数学方法对于政治经济学问题是不胜任的，数学—物理科学不可能为经济学提供范式。
尽管经济学的数学化在边际革命后快速发展，但仍遭遇了广泛的争议和质疑，未成为一种公认的普遍的现象，其代表的抽象演绎的分析方法也未占据主流统治地位。如劳森指出: “在物理学疆界之外运用数学方法，当然也就是将数学方法运用于社会科学，实际上，在 20 世纪初的 10年，扩大对这一运用支持的目标被广泛地(虽然从不是普遍地) 认为是不可能的。”
三、经济学数学化的成型
20 世纪 30 年代始，伴随着实证主义在经济学方法论中地位的提升，经济学数学化逐渐成型。坚持实证与规范的划分，使事实分析与价值判断相分离，以可检验性作为评判理论的标准。莱昂内尔·罗宾斯通过其著名的“目的—手段”型经济学将规范经济学驱除出了经济学的学科范围。
在他看来，经济学是一门研究作为目的和具有不同用途的稀缺手段之间关系的人类行为的科学，它只研究“是”和“不是”的问题，不研究“应当”和“不应当”的问题，“经济学在各种目的之间是中立的，经济学不能断定最终价值判断的正确性”。米尔顿·弗里德曼也指出实证经济学是一门“客观”科学，其“客观性”与任何一门自然科学的“客观性”完全相同。实证主义标准的确立对经济学的影响是深远的，实证方法特别是数理逻辑推演以及定量化进入经济学的程度，被认为是检验经济学“科学化”的重要量度，甚至是“唯一”的量度，数学在其中被赋予了决定性的角色。
在这种方法论背景下，数学方法在经济学研究中迅速发展和普及。凯恩斯将概率论中的不确定性引入经济分析中，依此建立起来的利息理论成为沟通经济学中实物理论和货币理论的桥梁。
约翰·希克斯和保罗·萨缪尔森以严格的数学工具将边际分析发挥到极致，萨缪尔森出版的《经济分析基础》对新古典经济学进行了系统、完整、基于数学的表达，实现了最大化原理与一般均衡原理的综合，被看作数理经济学史上以微积分为基础的边际主义时代终结的标志。萨缪尔森指出: “就像许多现代经济理论所表征的那样，对本质上很简单的数学概念做繁琐的文字说明，这不仅从促进科学的立场上看毫无裨益，而且所涉及的也只是一种特别无聊的精神操练。”
20 世纪 50 年代以后，集合论和线性模型替代微积分手段作为新的数学工具应用到经济领域，发展出更具广泛性和一般性的经济理论。阿罗在《社会选择与个人价值》中，运用集合论工具进行社会选择理论的公理化，严密地证明了著名的“不可能性定理”。在 1954 年发表的论文《竞争经济中均衡的存在性》中，阿罗和德布鲁对分散经济中多重市场均衡的存在给出了严格的数学意义上的证明。在《价值理论》中德布鲁则对一般均衡理论进行了简洁和优美的表达，其展现和倡导的公理化分析方法现已作为经济分析的标准形式被采用。经济学公理化是经济学数学化成型的重要表现，“确定研究目标、做出基本假设、构建数理模型、进行数学推导、得出结论、进行预测或提出政策建议”，成为绝大多数经济学家遵循的科研步骤。
德布鲁将公理化分析定义为“选择原始概念，形成有关假设，运用与对任何原始概念的主观解释毫无关系的数学推理工具，从那些假设中推出结论”。他指出经济理论公理化的优势在于，明确理论假设，便于判断理论的适用范围; 易于回答原始概念的新解释; 促进经济工作者之间的相互交流。
经济学公理化是在当时哲学界盛行的逻辑实证主义和数学领域盛行的布尔巴基主义的共同影响下形成的。逻辑实证主义是马赫主义的后裔，实证主义的第三代，是发展得最成熟、形态最完备、影响最大的一种科学主义流派。逻辑实证主义要求理论必须建立在基本概念和公理的基础上，通过演绎推导完成全部理论陈述，其对归纳逻辑进行一定程度的严密化处理，推动新兴的数学工具应用于经济学。布尔巴基主义作为极端的形式主义数学，试图摆脱来自现实世界的直观感受，以数学结构为基础用高度的逻辑化将数学统一起来。经济学公理系统的建立亦无须依赖现实基础，其内在相容性便可决定其有效性，劳森指出“公理方法一举除去了那些从事经济学学科数学化的学者们面对的迄今不可克服的制约”。
中国学者杜两省总结道，功能主义哲学观促发了实践上的实用主义原则，科学主义发展观引领了理论上的自然主义思维。这种对理论构成的公理化要求指导着经济理论的形式化进程，二者共同促进了经济学数学化的成型。
如果说数理经济学的发展体现了逻辑实证主义在经济学理论构成方面的要求，计量经济学则体现了逻辑实证主义实证原则对经济学理论可检验性的要求。
逻辑实证主义实证原则是从理论外部来检验理论，要求对构成理论的前提假设和理论的推论结果进行经验检验，以是否与现实经验相符来判断理论的优劣及可接受性。由于经济学无法通过有控制的实验方法进行检验，只能利用历史资料和统计数据对理论涉及的有关变量进行相关回归分析，使得计量经济学引发许多争论。尽管如此，计量经济学仍然使经济学成为可检验的理论而大大增强了它的“科学性”。20 世纪 40 年代，现代计量经济学的基本理论形成，其主要特征为: (a)引进概率论思想作为经济计量模型研究的方法基础; (b) 选择随机动态联立线性方程组作为经济计量模型的一般形式; (c) 主攻上述特征框架内模型参数的识别、估计、检验和计算等技术性问题。计量经济学模型作为经验实证的方法，在经济学理论研究和实际经济分析中被广泛应用。
这一时期，经济学数学化的另一重大成果是博弈论在经济学的广泛应用。博弈论又称对策论，属应用数学的一个分支，是使用严谨的数学模型研究冲突对抗条件下最优决策问题的理论，现已成为经济学的标准分析工具之一。博弈论以经济个体决策和行为之间的相互作用和相互影响作为研究对象和主要出发点，不仅要求个体具有始终追求自身利益最大化的理性意识和理性能力的“自我”个体理性，还要求相关的参与者具有层次较高的“交互理性”。因此，博弈论也是建立在理性经济人的假设之上的，甚至对博弈参与者的理性有着更高更强的要求，并由此将经济学理性主义推向极致。1944 年，冯·诺依曼和摩根斯坦的巨著《博弈论与经济行为》将二人博弈推广到 N人博弈结构并将博弈论系统地应用于经济领域，奠定了这一学科的基础和理论体系。此后，博弈论遵循着从零和博弈到非零和博弈、从完全信息博弈到不完全信息博弈、从静态博弈到动态博弈的道路发展起来。
四、经济学数学化的挑战
“过去 40 年中，经济科学日益朝用数学表达经济内容和统计定量的方向发展”。据统计，诺贝尔经济学奖得主中 90% 以上是因为科学、深刻、恰当地应用了数学方法而获奖的，涉及的数学领域几乎全是现代数学，包括数理统计、随机过程、线性规划、微分方程、差分方程、最优规划、投入产出、控制论、不动点理论、拓扑论、泛涵分析、微分几何、组合数学、群论、博弈论、对策论等。
运用数学工具的论文占据了经济学杂志的主流，斯蒂格勒调查了诸如《美国经济评论》、《经济杂志》、《政治经济学杂志》、《经济学季刊》等权威刊物。斯蒂格勒指出: “20 世纪 20 年代前，90% 以上的文章用文字表述。20 世纪 90 年代初，90%以上的文章使用代数、积分或者是关于计量经济学内容。”
数学也成为经济学教学的重要内容，经济学系的研究生通常要接受微观、宏观数学建模和计量经济学建模方面的训练，他们将数学视为最重要的辅助学科。年轻的经济学家往往受到更好的数学训练，被要求更熟练地处理各种新的、不熟悉的数学形式，使得成为一名经济学家所需要掌握的数学水平越来越高，以至于经济学方法论学者米洛斯基写道: “在这种年代里，唯一能使学生从美国式的经济学研究生教学计划中退学的理由，是怀疑其缺乏对数学工具的熟练掌握。”
然而，随着经济学数学化的不断推进，现代主流经济学家对模型构建和实证检验的热衷以及对数学工具的过分依赖引起了许多经济学家的反思。一方面，数理经济学家把太多的精力运用在抽象理论的精炼上，忽视了论题经验基础的发展，如艾克纳所言，“这将读者从一套似乎有理而完全是任意的假说引到精确的但却是无关的理论结论”; 另一方面，计量经济学家偏重于数据统计方面，因缺乏理论的指导往往停留在个案或局部材料的经验层面。以米塞斯为代表的奥地利学派正因其具有过重的经验主义色彩，坚决反对实证主义而强调要进行因果性分析。莫里斯·阿莱则指出数学只能是一种工具，“只有数学方面的能力和技巧是不能成为一个好的物理学家或是经济学家的”。弗里德曼也强调数学的用途有限，而且还常常妨碍了分析: “我一次又一次阅读的那些基本上用数学写成的文章，其中心结论和推理可以很容易地用文字重新表述，而数学部分可以放到附录中去，这样文章便可以更容易为读者所理解。”
罗伯特·库特纳则直接批评: “经济学系正在培育出一代傻瓜学者，他们擅长于难懂的数学，但对实际经济生活却一无所知。”
这些反思在某种程度上是对 1970 年前后凯恩斯—新古典综合失败的一种反映，后者在 20 世纪 50 年代以来一直居于经济学的主导地位，而在方法论上的讨论方面越来越多地出现了奥地利学派、后凯恩斯主义者和制度主义者等非主流经济学家的声音。豪斯曼指出，绝不能指望经济规律是完美无缺的———经济规律描述的仅只是些在某些情况下起作用的规律，经济学家所做的多数工作能在我们把经济学视为一种不精确的和分离的学科时加以合理化。大卫·科兰德指出应将应用政策研究与实证研究区分开来，实证分支需要变得更加抽象和专业化，进一步发展、扩展和检验理论模型; 应用政策分支则需减少专业化以适应制度。可以看出，经济学家试图从方法论角度找到突破，来弥合规范理论和经济现实之间的鸿沟，以扭转二者日益背离的趋势。此外，在博弈论作为有力工具满足经济学家对形式主义模型沉溺的同时，作为思想的博弈论也对正统经济学提出了根基性的挑战。当博弈论的一些基本概念和方法，如子博弈精炼纳什均衡和逆推归纳法等，在应用中遇到严重困难无法做出有效预测时，人们会对博弈论和纳什均衡理论产生信任危机，博弈论学者们不得不重新思考博弈论的理性基础问题。在这一过程中，正统经济学的思维方式———确定性的经济社会观、理性经济人假设、个体主义原则受到了愈来愈强的冲击。
2000 年法国学生组织并领导了席卷欧美的经济学改革国际运动，此次运动的矛头直接指向了主流经济学的统治地位。法国经济系学生在请愿书中提出“反对无节制地使用数学”和“要求经济学方法的多元化”，经济系教授则提出了以下批评: (a) 课程表中排除了不是新古典的理论;(b) 经济学教学与经济现实不匹配; (c) 数学被当作目标而不是工具来使用; (d) 教学方法排除或禁止批判性的思考; (e) 需要一种适于分析对象复杂性的多元化方法。这场运动集中反应了学术界对经济学数学化的反思，日趋精美和复杂的模型对现实经济的解释能力遭到了质疑。这些批评和质疑不仅缘起于经济学研究和教学中数学方式的过度使用，更因为经济学作为一门开放性、复杂性的社会科学对多元化方法论的需要。
张五常指出经济学的实验室是真实的世界，不是由经济学者建造的，不能由研究的人操控，并且观察上存在困难。经济系统的各个部分之间的作用关系十分复杂，且受到人类主观能动的影响，因此有许多难以确定的因素存在于设计精良的模型之外。由于经济系统整体状态行为的多样性与动态复杂性，经济学不仅需要实证主义的科学方法论，同样需要制度学派和新制度经济学的方法论，需要历史主义的方法论，需要吸收和容纳更多非主流经济学的方法论。只有这样，才能使数学的应用服从于经济研究的需要，才能提高经济学对现实世界的解释分析能力，也只有这样，经济学的数学化才有意义。
