式中：T1、T2分别为直齿圆柱齿轮和端曲面齿轮的转矩；i12为齿轮副复合运动的传动比；α为齿轮副压力角。
2.2压力角计算
对于端曲面齿轮副复合运动，其啮合过程中的压力角与标准渐开线齿轮副不同。渐开线上任意一点法向压力的方向线与该点速度方向之间的夹角为该点的 压 力角。对 于端曲面 齿 轮复合运动，其压力角即为圆柱齿轮的切向力F→n与端曲面齿轮的啮合点的速度v→2之间的夹角。如图6所示，复合运动端曲面齿轮副的压力角α等于圆柱齿轮的齿形角α0加上切向速度vt与合速度v2之间的夹角β。
图6中ω1、ω2分别为圆柱齿轮和端曲面齿轮的转速；Fa、Ft、Fn分别为该齿轮副中端曲面齿轮所受的轴向力、切向力和法向力；v→t、v→a、v→2为端曲面齿轮节曲线上一点的切向速度、轴向速度和合速度；β为切向速度v→t与合速度v→2之间的夹角；α为复合运动端曲面齿轮副的压力角：
α=α0+β（10）式中：
β=arctan（v→a/v→t）；α0为直齿圆柱齿轮压力角，本文取20°。
当齿轮副压力角增大时，齿轮副传递相同的扭矩需要的作用力也越大，甚至可能出现自锁现象，通常要求齿轮副压力角最大不能大于65°，因此有必要对该复 合运动齿轮副的压力角进行分析。刀具压力角为20°，从动轮负载T2=10N·m,分别取直齿圆柱齿轮的齿数为Z1= 12,13,14,15,其他参数采用1.2节中参数时，其压力角变化情况和圆柱齿轮的转矩如图7所示。可以看出，复合运动端曲面齿轮副的压力角成周期性变化，但圆柱齿轮齿数对压力角的影响并不明显，其最大值为36°，最小值为20°，处于合理的范围内。
主动轮的转矩变化影响到齿轮副的啮合力，进而影响对主动轮轴承的设计和校核。由于端曲面齿轮转速并不恒定，其角加速度的变化对啮合力的影响不可忽视。分别取主动轮转速n1=5、10r/s,其他参数相同的情况下，主动轮转矩变化如图7所示。可以看出，当主动轮转速增加时，圆柱齿轮转矩的波动范围更大，其最小值更小，最大值也更大，这一定程度上决定了复合运动端曲面齿轮副只能用于中低速的场合。而其周期性地改变与转速的增加是等比例的，因而其随转角变化的周期性并不受转速的影响。
圆柱齿轮的切向力与圆柱齿轮转矩是等比例关系，而圆柱齿轮径向力还与压力角的变化相关。从图8可以看出，受压力角变化的影响，圆柱齿轮径向力的变化规律不同于切向力，而且其受转速变化的影响相对较小。
3试验验证及对比
针对这一新型齿轮传动副，搭建了用于验证其规律的试验平台。由铝型材作为支座，其余零件除标准件外由树脂材料经工业级3D打印设备加工，加工出的齿轮实物见图9.
试验方案如图10所示，可调速的减速电机通过梅花联轴器连接主动轴，齿轮副啮合带动端曲面齿轮的旋转/直动运动，从动轴由箱式光轴轴承支撑，由弹簧提供从动轴往返的回复力。
最终搭建好 的 试 验 平 台 实 物 如 图11所 示。柱齿轮作为主动轮连接电机，端曲面齿轮作为从动轮，调速器用于控制电机转速，激光位移传感器LH-050通过内部的CMOS元件感应并测量输出轴的位移，控制器用于接受和处理测量数据，直流电源为控制器和传感器提供24V直流电源。
通过配套软件LK-Navigator 2控制并观察传感器的数据。调节电机的转速为10r/min,试验台平稳运行，测量输出端的位移。电机最高转速为100r/min,调节电机转速，依次增加20r/min,测量其输出轴轴向运动位移。
转速调节至100r/min时齿轮副依然可以平稳运转。电机转速为10~90r/min时，输出轴的最大位移分 别 为3.517、3.532、3.483、3.532、3.492mm,理 论 最 大 位 移 为3.58 mm,最 大 误 差 为0.097mm,误差为2.7%,在误差允许的范围内。复合运动轴向运动的位移测量值如图12所示，理论值与测量值的对比如图13所示，图中主动轮转速为30r/min.从图13可以看出，端曲面齿轮副的位移随着主动轮转角的变化周期性变化，测量曲线与理论曲线的变化趋势基本相同。但是因为有制造、安装误差的存在，试验值与理论值存在一定的偏差。
根据式（2）~（5），根据测量的位移规律以及已知的转速和齿轮副参数，反算出端曲面齿轮的转速，并与理论值对比，如图14所示。可以看出由试验得出的结果与理论值存在一定的偏差，但变化趋势基本相同。以上分析表明试验测得的数据是有效的，也验证了理论计算结果的正确性。
4结论
（1）采用仿真方法验证了端曲面齿轮副复合运动的规律；设计并搭建了端曲面齿轮复合运动验证试验平台，验证了其输出轴的复合运动规律，并与理论值对比，验证了其正确性。
（2）分析并计算了端曲面齿轮副复合运动的压力角变化规律以及齿轮副啮合力变化规律。齿轮副的压力角受齿轮副齿数的影响比较小，而齿轮副的啮合力受齿轮副转速的影响，决定了该齿轮副适用于中、低速的场合，为该齿轮系统的设计和校核奠定了基础。
参考文献：
[1]刘昌祺，牧野洋，曹西京。凸轮机构设计[M].北京：机械工业出版社，2005:294-300.
[2]魏引焕。实 现 预 定 轨 迹 的 凸 轮 连 杆 组 合 机 构 设 计[J].陕西科技大学学报：自然科学版，2012,30（4）：68-71.Wei Yin-huan.The design of cam-linkage combinedmechanisms design for the given locus[J].Journalof Shanxi University（Science & Technology），2012,30（4）：68-71.
[3]薛利峰。基于齿轮-连杆组合机构的曲轴复合车削刀架系统研 究[D].武 汉：武 汉 理 工 大 学 机 电 工 程 学院，2012.Xue Li-feng.Research of following turning systemof crankshaft based on the combined mechanisn ofrod-gear[D].Wuhan:School of Mechanical and E-lectronic Engineering,Wuhan University of Technol-ogy,2012.
[4]马良，石宁。齿轮-五杆组合机构运动学特征仿真分析[J].西 安 科 技 大 学 学 报，2013,35（6）：727-730,764.Ma Liang,Shi Ning.Gear-5-bar combination mecha-nism′s kinematics characteristic simulation[J].Jour-nal of Xi′an University of Science and Technology,2013,35（6）：727-730,764.
[5]Ottaviano E,Mundo D,Danieli G A,et al.Numeri-cal and experimental analysis of non-circular gearsand cam-follower systems as function generators[J].Mechanism and Machine Theory,2008,43（8）：996-1008.
[6]邹慧君，张青，王学武。组合机构的基本特征和设计方法[J].机械设计与研究，2006,22（1）：16-19.Zou Hui-jun,Zhang Qing,Wang Xue-wu.Basiccharacteristic and design method of the composite-mechanism [J]. Machine Design and Research,2006,22（1）：16-19.
[7]林超，张雷，张志华。一种新型非圆锥齿轮副的传动原理及 其 齿 面 求 解[J].机 械 工 程 学 报，2014,50（13）：66-72.Lin Chao,Zhang Lei,Zhang Zhi-hua.Transmissiontheory and tooth surface solution of a new type ofnon-circular bevel gears[J].Journal of MechanicalEngineering,2014,50（13）：66-72.
[8]Lin Chao,Liu Yi.Characteristic analysis and appli-cation of composite motion curve-face gear pair[J].Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sci-ences and Engineering,2016,38（6）：1797-1804.
[9]林超，龚海。复合传动变传动比面齿轮副[P].中国：2011104394780,2012-06-27.
[10]Lin Chao,Gong Hai,Ning Nie,et al.Geometry de-sign,3D modeling and kinematics analysis of or-thogonal fluctuating gear ratio face gear drive[J].Journal of Mechanical Engineering Science,2013,227（4）：779-793.
