谐振腔是激光器系统的一个最基本的元件，决定了光束的质量。激光器产生的光束的聚焦特性和传输特性与激光谐振腔的光场模式密切相关。因此，激光谐振腔光场模式的计算对激光器的设计有着重要的意义，而腔镜倾斜与面型误差是直接影响激光谐振腔系统性能的两个重要因素，文献［１］计算了腔镜变形对平凹稳腔激光振荡模式的影响，张增宝等人研究了腔镜失调与面型误差对氧碘化学激光器折叠虚共焦非稳腔光场的影响。近年，高斯反射镜及其倾斜对谐振腔的影响也被广泛研究。但上述工作主要是针对驻波腔激光器进行的研究。环形激光器主要应用在高精度的角度测量中，高精度的应用决定了其对光束质量的高要求。袁杰等人利用光学矩阵的方法研究了角度和轴向移动扰动引起的环形腔光线的位置和角度误差，但该方法利用的是几何光学理论，无法计算与物理光学有关的参量。因此，为提高光束质量和改进调腔方法，本文利用物理光学软件研究腔镜倾斜对平面环形腔振荡模式的影响。
１ Ｆｏｘ－Ｌｉ迭代法
谐振腔的分析计算方法主要有传输线理论分析法、场理论分析法、迭代法、微扰法、时域有限差分法以及有限元法等。Ｆｏｘ－Ｌｉ迭代法虽然比较繁琐，但却具有普遍的适用性，它可以用来模拟激光在谐振腔中的渡越过程，原则上能够计算任何几何形状的开腔中的自再现模。ＧＬＡＤ软件的建模思想就是应用Ｆｏｘ－Ｌｉ迭代法。它使用复数的振幅来描述波前，并对光束的整个传输路径做衍射模型，可以处理光学系统设计中无法忽略的衍射效应。
将菲涅耳－基尔霍夫衍射积分公式应用于平面环形谐振腔，表达式为
式中：
Ｕ１（ｘ１，ｙ１）为镜Ｓ１上的场分布；Ｕ２（ｘ，ｙ）为Ｕ１（ｘ１，ｙ１）经腔内一次渡越在镜Ｓ２上生成的场；ρ为镜面上点 （ｘ１，ｙ１）到点 （ｘ，ｙ）的距离；θ为ρ与点 （ｘ１，ｙ１）法线的夹角；ｋ为波数。
建立如图１所示坐标系，在第ｉ次循环中，镜片Ｍ１的光场为Ｕｉ（ｘ１，ｙ１，ｚ１），由式（１）可得镜片Ｍ２的光场Ｕｉ（ｘ２，ｙ２，ｚ２）、镜片Ｍ３的光场Ｕｉ（ｘ３，ｙ３，ｚ３）及镜片Ｍ４的光场Ｕｉ（ｘ４，ｙ４，ｚ４）分别为
第ｉ＋１次循环中，镜片Ｍ１的光场Ｕｉ＋１（ｘ１，ｙ１，ｚ１）为
用式（２）～（５）进行多次循环，当满足
时，光波在腔内实现自再现，Ｕｉ（ｘ１，ｙ１，ｚ１），Ｕｉ（ｘ２，ｙ２，ｚ２），Ｕｉ（ｘ３，ｙ３，ｚ３），Ｕｉ（ｘ４，ｙ４，ｚ４）分别为自再现模在镜Ｍ１，Ｍ２，Ｍ３，Ｍ４处的光场分布。以上各式中ρ１为镜Ｍ１上点 （ｘ１，ｙ１，ｚ１）到镜Ｍ２上点 （ｘ２，ｙ２，ｚ２）的距离，θ１为ρ１与镜Ｍ１上点 （ｘ１，ｙ１，ｚ１）处法线的夹角，ρ２为镜Ｍ２上点 （ｘ２，ｙ２，ｚ２）到镜Ｍ３上点 （ｘ３，ｙ３，ｚ３）的距离，θ２为ρ２与镜Ｍ２上点 （ｘ２，ｙ２，ｚ２）处法线的夹角，ρ３为镜Ｍ３上点 （ｘ３，ｙ３，ｚ３）到镜Ｍ４上点 （ｘ４，ｙ４，ｚ４）的距离，θ３为ρ３与镜Ｍ３上点 （ｘ３，ｙ３，ｚ３）处法线的夹角，ρ４为镜Ｍ４上点 （ｘ４，ｙ４，ｚ４）到镜Ｍ１上点 （ｘ１，ｙ１，ｚ１）的距离，θ４为ρ４与镜Ｍ４上点 （ｘ４，ｙ４，ｚ４）处法线的夹角，γ为复常数。
２结果与分析
设置谐振腔参数：Ｍ１和Ｍ２为平面镜，Ｍ３和Ｍ４为球面镜，曲率半径为８ｍ。各镜面半径均为５ｍｍ，各边腔长８．４ｃｍ，小孔光阑半径０．７ｍｍ，波长６３２．８ｎｍ。用ＧＬＡＤ软件对上述谐振腔进行建模，初始光场设置为平面波。对于顺时针光，理想情况下小孔光阑左表面的光强分布如图２所示。
ＧＬＡＤ软件是将偏差通过命令直接加在光束波振面上，所以下文所给偏差均指镜面偏差对光束波振面的影响偏差大小。一般来说，镜面各点偏差是光束波振面对应点偏差的０．５倍。
本文只考虑镜面Ｍ３偏差的影响，同时只考虑顺时针光束。对于逆时针光，在偏差不大的情况下，Ｍ３镜面偏差对其影响与对顺时针光束影响基本相同。镜面倾斜分为绕ｘ轴倾斜和绕ｙ轴倾斜，正方向符合右手定则，倾斜大小由镜面偏离理想位置的角度大小定义。
图３给出镜Ｍ３绕ｘ轴倾斜０．２ｍｒａｄ时，小孔光阑左表面的光场强度分布。倾斜为－０．２ｍｒａｄ情况下的光场强度分布与倾斜为０．２ｍｒａｄ情况下的光场强度分布关于ｙ＝０平面对称。与图２对比可以看出镜Ｍ３绕ｘ轴倾斜时，光强峰值点在ｙ轴方向上向镜面边沿偏移，光场偏离理想高斯基模。图４和图５分别定量给出光强峰值点和谐振腔损耗随倾斜的变化。从图４和图５中可以看出随着镜Ｍ３绕ｘ轴倾斜增加，光强峰值点在ｙ轴方向上向镜面边沿偏移增加，腔损耗增大。
图６给出镜Ｍ３绕ｙ轴倾斜０．２ｍｒａｄ时，小孔光阑左表面的光场强度分布。倾斜为－０．２ｍｒａｄ情况下的光场强度分布与倾斜为０．２ｍｒａｄ情况下的光场强度分布关于ｘ＝０平面对称。光强峰值点和谐振腔损耗随倾斜大小的变化分别如图７和图８所示。从图中可以看出随着镜Ｍ３绕ｙ轴倾斜增加，光强峰值点在ｘ轴方向上向镜面边沿偏移增加，腔损耗增大。
对比两组倾斜偏差仿真结果可知，在相同倾斜偏差下，镜Ｍ３绕ｘ轴倾斜偏差对光场的影响要比绕ｙ轴倾斜偏差对光场的影响大。由于在环形激光器中一圈的增益系数小于０．０３，因此倾斜大小要控制在０．１ｍｒａｄ之内，即镜面倾斜要在１０″以内。
３结论
本文用ＧＬＡＤ软件对平面环形腔进行建模，仿真计算了镜面倾斜条件下的光场分布、光场峰值点偏移及谐振腔损耗。结果表明：在相同倾斜偏差下，镜Ｍ３绕ｘ轴倾斜偏差对光场的影响要比绕ｙ轴倾斜偏差对光场的影响大；随着镜面倾斜的增加，光场峰值点向镜面边沿偏移增加，光束质量变差，腔损耗增大；为了获得较理想的基模高斯光场，镜面倾斜要控制在１０″以内。
参考文献：
［１］ 库耕，程祖海，朱松林，等．腔镜变形对平凹稳腔激光振荡模式影响的数值研究［Ｊ］．强激光与粒子束，１９９７，９（３）：４４７－４５０．（Ｋｕ Ｇｅｎｇ，Ｃｈｅｎｇ Ｚｕｈａｉ，Ｚｈｕ Ｓｏｎｇｌｉｎ，ｅｔ ａｌ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｔｈｅ ｍｉｒｒｏｒ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｙ ｍｏｄｅ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｔａｂｌｅ ｒｅｓｏｎａｔｏｒ．Ｈｉｇｈ Ｐｏｗｅｒ Ｌａｓｅｒ ａｎｄ Ｐａｒｔｉｃｌｅ Ｂｅａｍｓ，１９９７，９（３）：４４７－４５０）
［２］ 张增宝，金玉奇，桑凤亭，等．腔镜失调与面型误差对光束质量影响的研究［Ｊ］．强激光与粒子束，２００５，１７（４）：４９１－４９４．（Ｚｈａｎｇ Ｚｅｎｇｂａｏ，Ｊｉｎ Ｙｕｑｉ，Ｓａｎｇ Ｆｅｎｇｔｉｎｇ，ｅｔ ａｌ．Ｂｅａｍ ｑｕａｌｉｔｙ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎ ｏｎ ｍｉｓａｌｉｇｎｍｅｎｔ ａｎｄ ｓｕｒｆａｃｅ－ｓｈａｐｅ ｅｒｒｏｒ ｏｆ ｃａｖｉｔｙ ｍｉｒｒｏｒ．Ｈｉｇｈ Ｐｏｗｅｒ Ｌａｓｅｒ ａｎｄＰａｒｔｉｃｌｅ Ｂｅａｍｓ，２００５，１７（４）：４９１－４９４）
［３］ 彭玉峰，李阔湖，陈靖，等．高斯反射镜及其倾斜对平凹腔激光场分布的影响［Ｊ］．强激光与粒子束，２００６，１８（３）：
３８５－３８８．（Ｐｅｎｇ Ｙｕｆｅｎｇ，Ｌｉ Ｋｕｏｈｕ，Ｃｈｅｎ Ｊｉｎｇ，ｅｔ ａｌ．Ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ Ｇａｕｓｓｉａｎ ｒｅｆｌｅｃｔｉｖｉｔｙ ｍｉｒｒｏｒ ａｎｄ ｉｔｓ ｔｉｌｔ ｏｎ ｔｈｅ ｌａｓｅｒ ｆｉｅｌｄ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｐｌａｎｏ－ｎｃａｖｅ ｒｅｓｏｎａｔｏｒ．ＨｉｇｈＰｏｗｅｒ Ｌａｓｅｒ ａｎｄ Ｐａｒｔｉｃｌｅ Ｂｅａｍｓ，２００６，１８（３）：３８５－３８８）
［４］ 范泛，杨克成，张波，等．高斯镜平凸非稳腔本征模场的有限元数值计算［Ｊ］．激光技术，２００７，３１（２）：１９２－１９５．（Ｆａｎ Ｆａｎ，Ｙａｎｇ Ｋｅｃｈｅｎｇ，Ｚｈａｎｇ Ｂｏ，ｅｔ ａｌ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｄｅ－ｆｉｅｌｄｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｐｈｅｒｉｃａｌ ｐｌａｎｏ－ｃｏｎｖｅｘ ｕｎｓｔａｂｌｅ ｒｅｓｏｎａｔｏｒ ｗｉｔｈ Ｇａｕｓｓｉａｎ ｒｅｆｌｅｃｔｉｖｉｔｙ ｍｉｒｒｏｒ ｂｙｍｅａｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ．Ｌａｓｅｒ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００７，３１（２）：１９２－１９５）
［５］Ｙｕａｎ Ｊｉｅ，Ｌｏｎｇ Ｘｉｎｇｗｕ，Ｃｈｅｎ Ｍｅｉｘｉｏｎｇ．Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｒａｙ ｍａｔｒｉｘ ｆｏｒ ｓｐｈｅｒｉｃａｌ ｍｉｒｒｏｒ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｉｎ ｓｑｕａｒｅ ｒｉｎｇ ｒｅｓｏｎａｔｏｒｓａｎｄ ｍｏｎｏｌｉｔｈｉｃ ｔｒｉａｘｉａｌ ｒｉｎｇ ｒｅｓｏｎａｔｏｒｓ［Ｊ］．Ｏｐｔｉｃｓ Ｅｘｐｒｅｓｓ，２０１１，１９（７）：６７６２－６７７６．
［６］Ｙｕａｎ Ｊｉｅ，Ｃｈｅｎ Ｍｅｉｘｉｏｎｇ，Ｌｏｎｇ Ｘｉｎｇｗｕ，ｅｔ ａｌ．Ｂｅａｍ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ３Ｄｏｐｔｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｉｎ ｎｏｎ－ｐｌａｎａｒ ｒｉｎｇｒｅｓｏｎａｔｏｒｓ［Ｊ］．Ｏｐｔｉｃｓ Ｅｘｐｒｅｓｓ，２０１２，２０（１７）：１９５６３－１９５７９．
［７］ 于得利，桑凤亭，金玉奇，等．氧碘化学激光输出光斑漂移和变形研究［Ｊ］．强激光与粒子束，２００１，１３（２）：１５１－１５４．（Ｙｕ Ｄｅｌｉ，ＳａｎｇＦｅｎｇｔｉｎｇ，Ｊｉｎ Ｙｕｑｉ，ｅｔ ａｌ．Ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｔｈｅ ｄｒｉｆｔ ａｎｄ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｆｏｒ ＣＯＩＬ ｏｕｔｐｕｔ ｂｅａｍ ｓｐｏｔ．Ｈｉｇｈ Ｐｏｗｅｒ Ｌａｓｅｒ ａｎｄ Ｐａｒｔｉｃｌｅ Ｂｅａｍｓ，２００１，１３（２）：１５１－１５４）
［８］ 许杰田，张猛，李杰，等．基于矢量有限元法的微波谐振腔高频特性研究［Ｊ］．电子技术，２０１０，２３（１０）：５９－６１．（Ｘｕ Ｊｉｅｔｉａｎ，Ｚｈａｎｇ Ｍｅｎｇ，Ｌｉ Ｊｉｅ，ｅｔ ａｌ．Ｈｉｇｈ－ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ｃａｖｉｔｙ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｖｅｃｔｏｒ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ．Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏ－ｇｙ，２０１０，２３（１０） ５９－６１）［９］ 李源，战可涛．激光谐振腔光场及远场分布的数值模拟系统［Ｊ］．北京化工大学学报：自然科学版，２０１２，３９（１）１０６－１１０．（Ｌｉ Ｙｕａｎ，ＺｈａｎＫｅｔａｏ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｔｉｃａｌ ｆｉｅｌｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｆａｒ ｆｉｅｌｄ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｌａｓｅｒ ｒｅｓｏｎａｔｏｒ．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＣｈｅｍｉｃａｌ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ：Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ，２０１２，３９（１）：１０６－１１０）
［１０］周炳琨，高以智，陈倜嵘，等．激光原理［Ｍ］．６版．北京：国防工业出版社，２００９：４１－５０．（Ｚｈｏｕ Ｂｉｎｇｋｕｎ，Ｇａｏ Ｙｉｚｈｉ，Ｃｈｅｎ Ｔｉｒｏｎｇ，ｅｔ ａｌ．Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ ｏｆ ｌａｓｅｒｓ．６ｔｈ ｅｄ．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｄｅｆｅｎｓｅ Ｉｎｄｕｓｔｒｙ Ｐｒｅｓｓ，２００９：４１－５０）
［１１］汪之国，龙兴武，王飞，等．激光陀螺本征模偏振态与磁敏感特性的理论研究［Ｊ］．物理学报，２０１３，６２：０５４２０５．（Ｗａｎｇ Ｚｈｉｇｕｏ，ＬｏｎｇＸｉｎｇｗｕ，Ｗａｎｇ Ｆｅｉ，ｅｔ ａｌ．Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆｐｏｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｅｉｇｅｎｓｔａｔｅ ａｎｄ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ ｉｎ ａ ｒｉｎｇ ｌａｓｅｒ ｇｙｒｏ．Ａｃｔａ Ｐｈｙｓｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ，２０１３，６２：０５４２０５）
