摘 要： 广义相对论关于天体轨道的预言依赖于所选取的坐标系。对不同坐标系下围绕银心运动的星体轨道的差异进行了研究,并讨论这些差异对于确定银河系中心黑洞参数的影响。
关键词 : 谐和坐标系; Boyer-Lindquist坐标系; Kerr黑洞;轨道;
Abstract： The theoretical predictions of general relativity on the celestial orbits are coordinate dependent.This paper studies the differences of the orbits of the stars rotating around the massive black hole at the galactic center,and discusses their effects on determining the parameters of the black hole.
Keyword： the harmonic coordinates; the Boyer-Lindquist coordinates; Kerr black hole; orbit;
0、 引 言
黑洞是广义相对论理论预言的一种天体。长期的天文观测显示,银河系中心非常可能存在有一个超大质量的黑洞(supermassive black hole,MBH),其质量高达106太阳质量以上[1,2,3]。目前,对于这个可能的黑洞的性质还不是很了解,比如是否带有自旋,具体定量的质量等等。最近,F.Zhang等人提出了一种确定银心黑洞性质的方法,即通过求解严格的测地线方程,计算围绕银心旋转运动的星体的轨道及其发出的光线的引力偏折,同时结合马尔科夫链和蒙特卡罗方法来拟合黑洞的具体参数[4,5]。他们采用Boyer-Lindquist(B-L)坐标系下的克尔(Kerr)黑洞度规来进行研究,当黑洞没有自旋时,该坐标系下的克尔度规就退化为标准坐标系下的施瓦西(Schwarzschild)黑洞度规。
由于广义相对论是一个协变的引力理论,这意味着爱因斯坦场方程和测地线等基本方程在任何坐标系下的张量形式都是一样的。但在研究具体的问题时,需要选取特定的坐标系,而理论计算得到的光线传播轨迹及其时间延迟、天体的轨道等等则依赖于坐标系的选取[6,7,8]。
本文将研究不同坐标系下围绕银心运动的星体轨道的差异,并讨论这些差异对于确定黑洞参数的影响。
1 、克尔黑洞度规
在B-L坐标系下,克尔黑洞的时空度规可以表示为[9]:
其中
这里M和J为黑洞的质量和角动量,a为黑洞自旋参量。
在谐和坐标下,克尔黑洞的时空度规可以表示为[10,11]
其中x?=(x,y,z),R满足关系式
任意时空背景的试验粒子的测地线方程为:
其中,Γμνλ代表仿射联络,由度规确定。
2、 不同坐标系下的天体轨道
本文研究围绕银心黑洞运动的星体轨道。天体轨道的轨道参数取自文献[4],参见表1所示。注意到表中的数据如半长轴和偏心率等等对应的都是牛顿理论的结果,用于确定星体的初始位置和速度。黑洞质量M取为4×106,自旋参数a取为0.99。为了简单起见,本文不考虑星体发出的光线在黑洞引力场中的偏折效应。
采用自适应变步长的7(8)阶Runge-Kutta方法分别求解B-L坐标系和谐和坐标系下的测地线方程,以获得星体围绕银心黑洞的运动轨道,具体结果参见图1所示,其中R.A.表示赤经,Dec表示赤纬。
表1中aorb,eorb,Ι,Ω′,Υ′,Τ0分别为半长轴、偏心率、轨道倾角、升交点赤经、近日点幅角和平近点角,半长轴的单位为黑洞的质量,i和ε是B-L坐标系(或谐和坐标系)到观测者坐标系的转换角。
表1 天体轨道参数[4]4]
图1 B-L坐标系和谐和坐标系下的星体轨道在远处观测者天空平面上的投影以及黑洞有无自旋情况下星体的轨道差异的投影
Fig.1 The projections of the star orbits with a=0.99 and the orbital difference between a=0.99 and a=0 on the distant observer’s sky plane in the B-L coordinates and the harmonic coordinates
3、 结 论
从上面的数值模拟结果可以看出,理论预言的星体轨道依赖于坐标系,而且银心黑洞自旋对星体轨道的效应大小也与坐标系的选取相关。当星体轨道的半长轴越小或偏心率越大,不同坐标系之间的差异也越大。事实上,给定星体相同的初始坐标位置和速度,不同坐标系下星体的轨道能量和角动量是不相同的。这意味着如果用天体轨道的观测数据来拟合理论模型,必须预先确定这些观测数据对应的是哪一个坐标系,拟合的结果只适用于该坐标系。
参考文献
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