格是一种特殊的偏序集，经过特殊化以后可以得到分配格，再特殊化以后可以得到布尔代数，是序结构的主体部分。在许多数学对象中，所考虑的元素之间具有某种顺序。例如，一组实数间的大小顺序，一组命题间的蕴涵顺序等。这种顺序一般不是全序，即不是任意两个元素之间都能排列顺序，而是在部分元素之间的一种顺序即偏序（ 或半序） .偏序集和格就是研究顺序的性质及作用而产生的概念和理论。具体地说，格是其非空有限子集都有一个上确界（ 叫并） 和一个下确界（ 叫交） 的偏序集合，它的公理增减之后可得到全序集及偏序集[1]
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在 19 世纪的后几十年，德国数学家戴德金（ R.
Dedekind,1831-1916 ） 和 施 履 德 （ E. Schr?der,1841-1902） 分别从数论和逻辑代数两个方向得出格的概念。但是其他数学家并未认识到它的重要性，就连范德瓦尔登（ B. L. Van der Waerden,1903-1996） 1930-1931 年出版的两卷本《近世代数学》亦没有格论的内容[2]
.直至 20 世纪 30 年代，在美国数学家伯克霍夫（ G. Birkhoff,1911-1996） 和挪威数学家奥尔（ O. Ore,1899-1968） 的共同努力下，格论才焕发生机，发展成为一门独立的数学学科，在抽象代数、射影几何、点集论、拓扑学、泛函分析、逻辑和概率论等诸多领域产生广泛应用。本文通过对格概念的产生和发展进行研究，分析其历史演化过程，以期人们对格论的早期历史有更多的了解。
一 格论思想的起源---对偶群
第一个提出格概念思想的是戴德金。戴德金是高斯（ C. F. Gauss,1777-1855） 的关门弟子，1850年，跟随高斯研究最小二乘法和高等测量学。他仅用 4 个学期，便在 1852 年完成关于欧拉积分的博士论文。孤傲的高斯不无赞赏地写道： “戴德金先生的论文是关于积分学的一项研究，不仅对相关领域有充分知识，而且有独创性，可预见他未来一定会做出成就。作为批准考试的试验论文，我对它完全满意。”另外，戴德金还选修数论、物理和天文学等课程。
1854 年，戴德金开始在哥廷根大学担任讲师，讲授概率论和几何学。1855 年，高斯去世，狄利克雷（ P. G. L. Dirichlet,1805-1859） 继任高斯在哥廷根大学的教授席位。戴德金开始听狄利克雷的数论、势论、定积分和偏微分方程课程，经常与狄利克雷进行富有创建性的讨论，由此开拓了学术视野。
同时，他还听分析大师黎曼 （ G. F. B. Riemann,1826-1866） 的阿贝尔函数和椭圆函数论课程。戴德金同时与狄利克雷和黎曼保持良好的关系，并编辑整理了他们二人的全集[3].1917 年，戴德金的纪念会在哥廷根大学召开，兰道（ E. G. H. Landau,1877-1938） 对其评价道： “戴德金不仅是一位伟大的数学家，而且是有史以来数学史上真正杰出的人物。他是其所处伟大时代的最后一位英雄，高斯的关门弟子。40 多年来，他已成为经典作家，不仅我们，而且我们的老师乃至老师的老师都从他的工作中受到启发。”
戴德金几乎没有学生，但对数学家们影响深远。
他是近代抽象数学的先驱，提出了抽象数学的许多基本概念，对研究抽象结构有明确理解，当今的许多概念和定理以其名字命名。戴德金亦是格论的创始人，给出了对偶群概念。他秉承狄利克雷的概念方法，首先在其理想理论的 1894 年版本中有了对偶群的思想，1897 年正式提出对偶群的概念，1900 年把对偶群作为独立的研究对象，蕴涵了他的格论思想演变过程，也表现了他数学观念的进步。下面我们具体地进行讨论。
（ 一） 对偶群概念的萌芽
格论的思想起源于对偶群，而对偶群的思想则源于戴德金理想理论的 1894 年版本，即狄利克雷数论讲义第 4 版的附录 11（ Supplement XI to Vorlesun-gen über Zahlentheorie von P. G. L. Dirichlet（ 4th ed. ） ） .
他在介绍模代数时，重点描述了一些理想所满足的恒等式的特点，如模恒等式：（ A + B + C） （ BC + CA + AB） = （ B + C） （ C +A） （ A + B） ……（ τ）这个恒等式表明，若D是M的一个因子，则对任意的模 A,有M + （ A - D） = （ M + A） - D……（ σ）在证明这个恒等式的过程中，体现了对偶群的思想。一方面，从M?（ M + A） 以及（ A - D） ?D,容易得出M + （ A - D） < （ M + A） - D.但是另一方面，却不能从模的抽象运算性质直接得到 M + （ A - D）> （ M + A） - D.因此，他只好通过在每一个模中取一个特殊元素来证明第二个包含。由于戴德金一贯重视概念方法，所以他并不满足选择特殊元素的方法，而是努力寻找一般性的概念来证明第二个包含，自然产生了对偶的概念[4].但是此时，他只是清楚在某些情形下，模的交集与并集是对偶的，还没有找到对偶的基础。这是戴德金朦胧的对偶群思想，为其对偶群的正式产生埋下伏笔。
（ 二） 对偶群概念的正式产生
科学发现需要热情和执着的品质，正如牛顿所说： “心里时常装着思考的问题，等待着那灵光一闪的时刻。”戴德金经过3 年的积累和深思，在1897 年的文章“其所有子群都是正规子群的群”（ überGruppen,deren s?mtliche Teiler Normalteiler sind） 中第一次明确给出对偶群的定义和基本性质。
如果已知由 3 个或 4 个数组成的集合，那么可以得出它们的最大公约数和最小公倍数，然后继续把这些数分解，通过各种运算重新组合因子得到新的数，把这些新的数进一步组成集合并分析其性质，从而引入对偶群的概念。
已知一个元集合，取其所有组合的全体构成的集合，且对集合上的元素定义并集（ 记为“+ ”） 和交集（ 记为“- ”） 两种运算。戴德金用一张表列出运算的性质并记为 定理 A:α + β = β + α （ 1‘）α - β = β - α （ 1″）（ α + β） + γ = α + （ β + γ） （ 2’）（ α - β） - γ = α - （ β - γ） （ 2″）α + （ α - β） = α （ 3‘）α - （ α + β） = α （ 3″）定理 A 表明，交和并两种运算的性质具有对偶性。显然，只要交换一组性质中一条性质的运算符号，就能得到另一条性质。由定理 A 可直接推出，交与并两种运算是幂等的：α + α = α （ 4’）α - α = α （ 4″）他还论述了另外两组性质：（ α - β） + （ α + γ） = α - （ β + γ） （ 5‘）（ α + β） - （ α + γ） = α + （ β - γ） （ 5″）（ α - β） + （ α - γ） = α - （ β + （ α - γ） ）（ 6’）（ α + β） - （ α + γ） = α + （ β - （ α + γ） ）（ 6″）一般地，只有在自然数系统中，才能直接由定理A 得到这几组性质。因此，戴德金提出模的基本性质在逻辑上是独立的。虽然性质（ 5‘） /（ 5″） 不能由定理直接推出，但是（ 5’） 可以由定理 A 和性质（ 5″） 得到。反之，已知定理A以及（ 5‘） ,也能证明（ 5″） 成立。
定理 A 和性质（ 6’） /（ 6″） 的关系亦是如此。
因此，戴德金把对偶群定义为带有“+”和“-”两种运算且满足定理 A 的集合。
从以上分析可以看出，戴德金之所以能够取得这些结果绝非偶然，而是源于对数系，尤其是对模的长期大量研究的结果。这里的对偶群只具有辅助性作用。施履德在 1890 年曾得到过部分结果[5].
除了上面的对偶群定义形式，戴德金还给出其另一种定义形式。他在对偶群中定义了序，但是在这里只是把序作为一种速记方法，没有探讨对偶群的一般性质。他在包含有模的对偶群 A 中，引入两个记号 a > a1或 a1< a.如果把它们转化到其他对偶群中，虽然与通常的记号 > ,< 相冲突，但是不会影响一般理论的探讨[6].
总之，戴德金在这篇文章中首先明确给出了一般的对偶群的两种定义，使得模糊的对偶群思想有了清晰的概念。但是按照数学概念的产生、发展和演化规律，距离格概念的成熟还很远，此时的对偶群仍然不是独立的研究对象，还只是研究模运算的一种有用的辅助工具。
（ 三） 对偶群成为独立研究对象
同样是时隔 3 年，即 1900 年，戴德金在对偶群的研究方面上了一个新的台阶。他秉承一贯重视概念和缜密严谨的学术作风，再次发表文章“三个模生成的对偶群（ über die von drei Moduln erzeugte Du-algruppe） ”讨论对偶群的概念。不再把对偶群作为模运算的工具，而是将其作为由模生成且满足模公理的独立研究对象。
这篇论文开篇明义，介绍对偶群和相应的序的抽象形式及其相关性质。然后，从由 3 个模生成的28 个元素组成的对偶群为起点进行研究，规定了运算，深入研究模公理的性质，考察模公理与链公理之间的关系。对偶群中的一个长链是指，已知对偶群的元素序列 a1,a2,…an +1,使得这个序列中的每一个元素都是前一个元素的因子，另外，对每一个 i（ 1≤ i ≤ n） ,不存在元素 b 使得 ai< b < ai +1.若两个链的极端元素相同，则称为等价链。链公理表明，对偶群中任两个等价链的长度相同。
已知一个对偶群，其模公理成立当且仅当对偶群和它的全部子群满足链公理。一个集合在对偶群中可能是链，而当它作为对偶群的正规子群的元素时就有可能不是链。戴德金给出的证明基本上与30 年后奥尔在关于抽象代数的格论基础中给出的证明相差无几。文章结尾依旧以 28 个元素的模为例，讨论对偶群的一些更加抽象的性质。总之，这篇文章主要研究实例，即 28 个元素的对偶群，而对不同公理之间的逻辑关系没有太多关注[7].
通过研究戴德金关于格论的这 3 篇论文，我们发现格概念在戴德金的文章中经历了酝酿、产生和发展的过程，从最初的模糊意义到有明确的定义，再到成为独立的研究对象，在思维层次上不断提升，与戴德金擅于思考、擅于分析概念有关系，也与结构数学酝酿和产生的时代背景有密切联系。
另外需要说明的是，虽然从 20 世纪来看戴德金的对偶群思想十分平常，但是在当时极为不符合常理，因此没有得到应有的认可，也没有产生大的影响。究其原因，主要有两个。外在原因： 戴德金没有嫡传弟子，退休后又在一个与数学隔离的环境中工作，不太可能找到一个易于接受他的这项工作的人；内在原因： 戴德金后来的文章日益抽象化使得同时代数学家对他缺乏了解。甚至像韦伯（ H. Weber,1842-1913） 和 弗 罗 宾 尼 乌 斯 （ F. G. Frobenius,1849-1917） 这样在代数方面深受戴德金影响的数学家似乎也忽视了戴德金的格，甚至对此敬而远之。
虽然与此同时，施履德从逻辑代数出发独立地阐述和研究了格，但同样被束之高阁。后来的代数教科书，包括范德瓦尔登的《近世代数学》都没有任何有关格的内容。经过约 30 年的沉寂，直到 20 世纪 30 年代，格论才因伯克霍夫和奥尔的工作重新得以迅速发展，成为一门独立的数学学科，其结果应用在其他许多领域当中。因此，科学发现有时也需要等待，等待合适的时机和合适的人来进行挖掘和发展。
二 格论思想的发展者---奥尔
奥尔出生在挪威的克里斯蒂，父亲是一位讲师。
他对数学的兴趣浓厚，1918 年中学毕业，进入克里斯蒂大学学习数学，1922 年毕业。在克里斯蒂大学，奥尔的研究受到斯科伦（ T. A. Skolem,1887-1963） 的影响。他曾在多个大学游学，作为国际教育委员会的资深会员访问过德国哥廷根大学、巴黎的索邦大学。1924 年，其论文“代数数域理论”提交给克里斯蒂大学。1925 年克里斯蒂重新命名为奥斯陆，这时奥尔已在此做助理教授。在哥廷根大学学习时，受到诺特（ E. Noether,1882-1935） 的影响，发现其方法使代数学焕发生机。奥尔亦是瑞典斯德哥尔摩的米塔格 - 莱弗勒研究所的研究员。1926年，美国耶鲁大学的皮尔庞特（ J. Pierpont） 访问欧洲，试图为耶鲁大学招聘顶级数学家。奥尔获得耶鲁大学数学助理教授的邀请。1927 年，他离开奥斯陆去耶鲁大学上任。在耶鲁大学，他很快获得升职，1928 年成为副教授，1929 年成为全职教授。1930年 8 月 25 日结婚，育有两个孩子。
1931 年，奥尔获得耶鲁大学斯特灵教授职位，直到 1968 年退休为止，共在职 37 年。他担任一些行政工作，比如，1936 年至 1945 年，曾任系主任。
他经常访问欧洲，几乎每个夏天都会返回奥斯陆。
1954 年，他在意大利作为古根海姆研究员从事历史研究。
第二次世界大战期间，奥尔为挪威人民服务，在“美国救济挪威”和“自由挪威”组织中发挥了重要作用。挪威认识到了他的突出贡献，1947 年，挪威国王授予他圣奥拉夫骑士荣誉。
奥尔早期从事代数数域工作，对由素数生成的理想的素理想分解问题感兴趣。在 1928 年多伦多的国际数学家大会上，他以此为题作过报告，之后从事非交换环论的研究，证明了着名的非交换整环到除环的嵌入定理。他研究斜域上的多项式环，进一步尝试把因子分解推广到非交换环上。1930 年，3卷本的《戴德金全集》出版，就是奥尔和诺特共同编辑的。之后，奥尔开始和伯克霍夫一起研究格论，使得格论在 20 世纪 30 年代获得长足发展。
奥尔是美国艺术与科学研究院院士、奥斯陆科学院院士。他也是计量经济学会的创始人。他热爱绘画和雕塑、收集古地图，能说几种语言。
奥尔的工作以环论、伽罗瓦联络和图论为主。
培养了两个着名的博士。一个是霍普（ Grace Hop-per,1902-1996） ,最终成为美国的海军少将和计算科学家，对第一代计算机的发明有重要贡献。另一个是马歇尔·霍尔（ Marshall Hall,Jr. ） ,美国数学家，在群论和组合数学领域贡献卓越。
奥尔早期对格论的研究使得他开始了等价、伽罗瓦联络以及图论的研究，直到去世一直从事图论工作。奥尔对数学史很感兴趣，写了卡尔达诺（ G.Cardano,1501-1976） 和阿贝尔（ N. H. Abel,1802-1829） 的传记。[8]
三 奥尔对格论的贡献
格论经过戴德金等人的发掘，又经几十年的沉淀之后，奥尔和伯克霍夫对格论进行了重要的研究工作，取得很大的进展，使得早期的格论逐步定型和完善。
伯克霍夫主要受到范德瓦尔登的《近世代数学》、戴德金的格以及其他人在群的分解工作的影响，关注格的概念本身，先后发表 3 篇格论方面的论文。第一篇几乎被埋没，他认为格论与群论具有相似的作用，群论是把对称现象抽象化，而格论是更广泛地研究阶。第二篇文章提出格论和理想论的关系。第三篇讨论给出泛代数学的格论基础的可能性，得到一个定理，将任一确定的代数系统的所有子系统的格和关于它可以定义的等价关系的格联系起来，证明了在它们之间可以定义一一映射[9].与伯克霍夫相比，奥尔对于格论能否成为代数基础更感兴趣。1935 年，他在耶鲁大学正式提出这个问题。他相信，通过忽略代数系统里的元素以及研究任意确定系统的某些子系统的格性质，很有可能得出对所有代数系统成立的一般定理。
1935 年，奥尔在《数学年刊》上发表“抽象代数基础”（ On the Foundations of Abstract Algebra） ,介绍格论。他从其数学观念讲起，论述了在过去的几十年里，有许多代数定理同时出现在不同的代数学领域，希望找到一个一般性的概念，从它出发可以推出同时对所有的领域成立的等价定理。
奥尔在这篇文章中对格的定义、性质、关系、刻画和分类进行了研究，此时格不再只是独立的研究对象，已然渐成体系、形成理论。
奥尔给出了格的两个等价定义。第一个定义以一个确定的系统的元素之间的一种抽象序关系“”“的定义为基础，系统∑要求满足通常集合论的包含性质。并和交是用包含术语定义的抽象运算。
对于每对元素 A 与 B,存在一个元素 D = （ A,B） ,称为 A 与 B 的交，满足 D≤A,D≤B 且对于其他具有同样性质的元素 D1,均有 D1≤D; 存在一个元素 M =[A,B],称为 A 与 B 的并，满足 M≥A,M≥B且对于每个有同样性质的其他元素 M1,均有 M1≥M.现在，我们称带有两种运算且满足以上性质的系统叫作格。奥尔证明了这些抽象运算满足通常的并和交的性质。
奥尔从这两个定义出发，期望通过给出一个一般性的定理得到不同代数分支的相应定理，尤其是分解定理，从而找到一种新的抽象代数学方法的概念基础。
奥尔侧重研究群论里的正规子群和环论里的理想这样两个子系统，观察到的确可以用严格的格概念来表述这两个子系统的代数性质。因为它们的交和并正好符合戴德金的模公理，即附加公理，奥尔称之为戴德金公理，如果 C > A,则（ C,[A,B]） =[A,（ B,C） ] （ 1）因此，奥尔重点研究戴德金格，即满足戴德金公理的格。由此，就要首先运用格概念重新给出代数学的一些主要的、重复出现的概念的定义，例如陪集和同构。其中升链条件和降链条件具有举足轻重的地位，同时满足二者的格称之为阿基米德格。如果A > B 且 A 与 B 之间没有其他元素，则称 A 素于 B上。在格里的一列元素 A = A0> A1> … > An= B 称作长度为 n 的主链，如果它的每个分支素于下一个分支上。如果格∑满足戴德金公理（ 若 A、B、C 属于∑且不等式 A < C < [A,B]成立，则 C = [A,（ B,C） ]） ,那么就把格∑称为戴德金格。奥尔证明了这个公理与公理（ 1） 是等价的，与戴德金的原始表述相符。格还满足分配性： [A,（ B,C） ]= [（ A,B） ,（ A,C） ].当 A > B 时，奥尔定义商 A/B 是格里比 A 小比B 大的元素构成的集合。很明显，A / B 本身就是格。
已知任意两种结构，如果从一种结构到另外一种结构的映射保持并和交的运算，那么这两种结构称为同态。同构定义为一对一的同态。他证明了戴德金曾经给出的一个主定理： 若 A 和 B 是一种戴德金格里的元素，则格（ A,B） /A 和 A/（ A,B） 同构。更具体地说，若已知在（ A,B） 和 A 之间的一个主链（ A,B）< A1< … < An= A,则链 B < [B,A1]<[B,A2]< …<[B,An]=[B,A]是 B 和[B,A]之间的一个主链。
[A,B]> A > （ A,B） 和[A,B]> B > （ A,B） 是最基本的主链[10].
上述两个链是从另外一个链通过素变换的方式得到的。接着，奥尔阐述证明了一种针对戴德金格的若尔当 - 赫尔德定理的抽象形式，即若在戴德金格∑里存在一个 A 与 B 之间的有限主链，则 A 与 B之间的全部主链长度相同，且通过连续对换，可从一个主链得到另一个主链。可以定义任一格里的等价类，证明非阿基米德格（ 即有无穷个主链的格） 的若尔当 - 赫尔德定理。格和商格满足全部链条件。给定两个商 A/B 和 B/C,把它们的积定义为： A/C = A/B × B / C.现在，取两个有公分母的商 U = A / B 和 T= C / B,定义商 U‘为：U' = TUT- 1=[U,T]× T- 1=[A,C]/ C （ * ）我们把 U’称作”A 通过 C 的变换“.显然，这个概念和奥尔早期的非交换多项式的工作有着直接关系，于是，接下来主要努力将早期非交换多项式中的分解定理推广到格论当中。同时，他也运用仅靠并、交、包含和变换性质的格阐述了另外一些分解定理。
在公式（ * ） 里，若规定（ A,C） = B,则称 U‘是通过一个相似变换从 U 里得到的，且可以证明 U 和 U'同构。奥尔运用变换重新阐述了若尔当 - 赫尔德定理。若 A 和 B 为戴德金格，A 和 B 之间存在一个有限主链，则商 U = A/B 可以表示为素商的积 U = T1× … × Tr.奥尔运用格给出施赖埃尔（ O. Schreier,1901-1929） 定理一个一般性的合理表述形式。若A 与 B 之间不存在有限链，则这个定理就是若尔当- 赫尔德定理的一个推广。因为具有模律的格就是戴德金格，因此利用模律，可以对群和模的某些结构性定理如若尔当 - 赫尔德定理、克鲁尔 - 施密特定理等用格论的语言，作比较简明也比较一般的证明。
1938 年，在美国维吉尼亚州的一座小城首次召开了格论专题会议，标志格论正式成为一门独立的数学学科。1938 年也是美国数学会成立 50 周年，贝尔（ E. T. Bell,1883-1960） 应邀作大会报告，讨论美国代数学前 50 年的历史发展。贝尔认为，由于美国数学会的学术活动刚刚起步，所以美国的代数研究的重点是寻求一些概念，能证明一般的定理，其中奥尔的格概念正好就是其中最重要的概念之一。
四 结 语
从数学内容上来讲，格论与群论、环论的关系非常密切，相互作用明显。任意一个群的所有子群的集合、所有不变子群的一个集合、任意一个环的所有子环的集合以及所有理想子环的集合等都是格。特别地，在一个群的所有不变子群所组成的格以及在一个环的所有理想子环所组成的格当中，还满足模律，具有模律的格就是戴德金格，在一般格论中占有重要位置。因为群论与环论中的大部分定理陈述子群、不变子群和理想子环的分布情况，所以这些定理可以作为子群或者理想子环的格的定理重新叙述。
在某些情形下，类似定理对于一般的格也成立。这种方法，能够把群论、环论以及其他科目中的某些重要定理转移到格论中来。另一方面，利用格论的工具，可以反过来更方便地在群论和环论中寻求具体的格的性质。
从数学哲学观念上来讲，格论思想诞生和发展的历史就是 19、20 世纪主流数学哲学思想的外显。
其中戴德金的概念哲学思想起到了很重要的作用，使得格概念思想从模糊不清发展到成为独立的研究对象，从数发展到集合。奥尔进一步将格概念升华为具有结构性的概念，而且使格论发展成为一门独立的具有结构性的学科。这样，从数到集合，再从集合到结构，与 19、20 世纪的主流数学哲学观念相符合。
从格论的应用范围来讲，近年来随着格论的发展，其应用范围进一步扩展，深入到数学的各个分支，在代数学中对于一个群 G 与其子群格 L（ G） 之间关系的研究，在数理逻辑中关于”不可解度“的研究，都早已提上日程。另外在射影几何、点集论、拓扑学、泛函分析及概率论等许多领域亦逐步展开广泛的应用。
致谢： 衷心感谢中科院数学与系统科学院胡作玄先生所提出的宝贵建议！
【参 考 文 献】
[1]亚历山大洛夫，扎尔加列尔，维金斯基，等。 数学---它的内容、方法和意义： 第三卷[M]. 王 元，万哲先，刘绍学，等译。 北京： 科学出版社，2001:333 -334.
[2]胡作玄。 近代数学史[M]. 济南： 山东教育出版社，2006:13 - 14.
[3]王淑红，邓明立。 戴德金对理想论的贡献[J]. 自然辩证法通讯，2013,35（ 4） :58 -63.
[4]Dirichlet P G L. Vorlesungen über Zahlentheorie[M]. 4thed. Braunschweig: Vieweg,1894: 1 - 222.
