摘 要： 有限群表示论是有限群论中最为核心和本质的内容, 也是研究有限群结构的最强有力的工具之一。文章探寻有限群表示论诞生的原因, 深入分析其思想起源和创立过程, 进而展现有限群表示论的历史脉络和思路历程。同时, 本文为代数学史的研究提供了一个新视角, 通过有限群表示论的历史进程来纵观代数学的发展历史。
关键词： 数学史; 群表示论; 特征标; 群行列式; 模表示;
Abstract： The representation theory of finite groups is the core and essence of the finite group theory. It is also one of the most powerful tools for studying the structure of finite groups. This paper explores the reasons behind the establishment of the representation theory of finite groups, and offers an in-depth analysis of the origin and creation of its thought process. It also shows the historical context and the process of thought. At the same time, this paper provides a new perspective on the research of the history of algebra, that is, we can value the whole history of algebra by studying the history of the representation theory of finite groups.
Keyword： History of mathematics; Group representation theory; Group character; Group determinant; Modular representation;
引言
表示理论在数学中拥有极高的地位, 正如数学家盖尔范德 (Izrail Moiseevich Gelfand, 1913-2009) 所说, 所有的数学都是某种表示理论。[1]20世纪数学的主流是结构数学, 有限群表示论是有限群论的核心内容, 也是研究有限群结构的基本工具, 通过将有限群表示为线性空间上的线性变换来研究有限群的结构就是有限群表示论的主要目的。有限群表示论是在代数和数论的研究中产生的, 后来发展成为数论、代数、几何和分析中的重要工具。所以研究有限群表示论的前史及创立进程不仅可以揭示有限群表示论的历史脉络, 还可以描绘19世纪及20世纪代数学的发展面貌, 进而阐明有限群表示论的思想方法在近代数学和其他学科中的重要影响。
数学史的研究任务不仅是描绘数学事件的历史场景, 还要追寻其发展动因和思想源泉。国内对19世纪代数学历史的研究文献中极少涉及群表示论的历史, 而国外的相关研究文献也多集中在群表示论的创立过程, 缺乏前史部分和创立动机的深究。[2,3,4,5]有鉴于此, 本文在深入研读原始文献和研究文献的基础上, 以“思想史”为基本宗旨, 结合当时数学发展的特点, 剖析相关数学家的思想和方法, 揭示他们之间的思想传承关系, 进而呈现出有限群表示论演变过程中的清晰思想脉络和重要历史进程。
一、有限群表示论的思想起源
有限群表示论在19世纪末创立, 其思想来源于代数和数论中的相关问题, 它的产生主要受到有限群结构理论, 阿贝尔群特征标, 以及与之相联系的群行列式分解等问题的激发。
1.“表示”的思想来源
19世纪代数学正经历着由古典到近代的转变, 各种数学结构的出现与应用是这一时期代数学发展的主要特征。如何研究代数结构?一种方法是直接研究这个代数结构, 以期去了解其内部构造和性质。另一种更有效的方法就是让一个复杂的代数结构“作用”在另一个相对简单的结构上, 通过研究这个较为简单的结构去理解这个代数结构本身的性质, 这就是表示论的原始思想。 ([1], p.1)
研究抽象群的结构, 可以建立群之间的同态映射, 同态映射可以保持群的结构, 通过了解像的结构就有可能了解群的结构。群论是从伽罗瓦 (E?variste Galois, 1811-1832) 研究高次方程的根的置换开始的, 在研究过程中他给出了同构这个重要概念, 并认为同构是两个群的元素之间的一一对应关系。若尔当 (Camille Jordan, 1838-1922) 在1870年发表的着作《置换和代数方程专论》中提出了置换群之间的同态和同构的概念, 除此之外, 他还探索用线性变换来表示置换, 称之为群的解析表示, 这即是今天的线性表示。 ([5], pp.323-326)
凯莱 (Arthur Cayley, 1821-1895) 在19世纪下半叶群论的发展中做出了许多重要贡献, 在推广置换群的概念时, 他开始考虑如何构造所有的n阶群。他意识到这个问题可转化为构造所有的n阶置换群, 对此他说道:
“尽管上述理论具有一般性, 但是置换群是个特例。然而寻找所有n阶群这个一般的问题等价于一个不太一般的问题:寻找所有的阶数同样为n的群, 并且这些群由n个元素的置换构成。”[6]
这就是凯莱定理的内容, 该定理表明每一个有限抽象群可以由一个置换群来表示。虽然“表示”的思想已经在这些群结构的探索中开始萌芽, 但是还缺少一般的方法来阐述其中所隐含的理论。
2. 阿贝尔群特征标概念的提出
19世纪的数论取得了重大进展, 研究手段得到创新, 理论体系也更加系统化。特征标起初只是数论中的一个概念, 并且与这个数学分支的一些深刻结果相联系, 后来的发展中, 这个概念可以在有限抽象阿贝尔群中清楚地表达。
有限群表示论的重要创始人弗罗贝尼乌斯 (Ferdinand Georg Frobenius, 1849-1917) 在提及群特征标概念时说道:
“高斯在《算术研究》的§230中提到二次型的特征标是指由一个型表示的数与能整除这个型的判别式的奇素数之间的关系, 并且他用两个记号来指明这个关系。狄利克雷利用勒让德符号来替代这些记号, 这些将会是交换群特征标的应用的最古老的例子。高斯的特征标只是在描述关系, 而狄利克雷的特征标只是数, 并在此之下特征标可以进行计算。”[7]
为了更好地理解阿贝尔群特征标概念的产生过程, 我们对其进行进一步的阐述。“特征标”这个术语最早出现在《算术研究》中, 在书中高斯 (Johann Carl Friedrich Gauss, 1777-1855) 用算术的观点来讨论二元二次型, 他主要研究的是二次型构成的等价类。因为同一等价类中的二次型表示相同的整数, 所以通过研究可以发现, 高斯所认为的特征标实际上是等价类所具有的性质。利用勒让德符号, 狄利克雷 (Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805-1859) 将高斯的特征标进行了更简洁地表达, 他认为特征标可以看作是定义在型的等价类构成的群上的数值函数。狄利克雷的工作增加了特征标理论的计算实用性, 同时也是特征标概念一般化的第一步。[8]
戴德金 (Julius Wilhelm Richard Dedekind, 1831-1916) 编辑出版了狄利克雷的《数论讲义》, 在第三版中他首次给出了特征标的一般概念, 并将阿贝尔群上的特征标定义为这个群上的非零复值函数。这一定义在狄利克雷的数论工作中起着十分重要的作用, 尤其是利用狄利克雷L-函数对算数级数中一定存在无穷多个素数的经典证明, 至今还没有初等方法证明狄利克雷算术级数定理的一般性结果。[9]然而, 在当时的情境中数学家们似乎没有动机去考虑非阿贝尔群的特征标, 直到群行列式分解问题的出现。
3. 群行列式的分解问题
戴德金在数学的研究中倾向于抽象性, 追求表面上看起来不相关的事物中所蕴含的一般准则, 这使得他在考虑有理数域的有限正规扩张问题时, 类比数域的判别式建立了群行列式, 而在对群行列式进行计算时他发现阿贝尔群的群行列式总是能够分解成线性因子的乘积, 其系数为这个群的特征标, 非阿贝尔群的情况则有不同。
虽然戴德金的计算过程存在于他的手稿中, 但我们可以从他在1896年3月25日给弗罗贝尼乌斯写的信中看到他对这个问题的思考, 对此他说道:
“如果是一个阿贝尔群, 群行列式可以分解为线性因子的乘积……但是, 如果是一个非阿贝尔群, 就我反复核对的结果来看, 除了线性因子外还有更高次因子, 它们在普通情况下是不可分解的, 但是如果我们不利用通常的数而利用超复数作为系数的话, 它们就可以进一步分解, 这符合群的法则。”[10]
为了进一步说明戴德金的想法, 我们结合他计算的几个非阿贝尔群的例子来对其做专门的解释。对于3次对称群, 他发现除了两个线性因子外还有一个不可约二次的平方因子。同样, 对于8阶四元数群的群行列式分解也出现了不可约因子, 但他发现若将复数域扩展到适当的超复系便可将群行列式完全分解成以四元数为系数的线性因子的乘积。 ([8], pp.448-451)
研究这些例子可以看出, 戴德金对非阿贝尔群的群行列式分解问题已经取得了部分成果, 虽然这些零星的研究使他得不出任何确定的结论, 但是却对群行列式结构的研究做出了重要贡献。戴德金的上述发现和结果并没有发表, 直到1896年他把这些内容写信咨询弗罗贝尼乌斯, 然而就是这样一个看似简单的问题, 它的解决却改变了群论的历史进程。
二、弗罗贝尼乌斯开创有限群表示论
弗罗贝尼乌斯的研究领域十分广泛, 他在行列式、矩阵以及代数结构等方面都有突出贡献, 初看群行列式的分解问题似乎只是19世纪数学中的群论和行列式理论的典型产物, 但在收到戴德金来信之前, 弗罗贝尼乌斯并没有听说过群行列式, 那么他是如何来解决这个问题?又如何导致了有限群表示论的诞生?
1. 一般群特征标概念的定义
对于戴德金关于群行列式分解问题的求助, 弗罗贝尼乌斯意识到他必须创造新的特征标理论, 并且用这个新理论去解决非阿贝尔群的群行列式因式分解问题。在1896年他发表了着名的《可交换矩阵》、《群的特征标》和《群行列式的素因子》三篇文章, 建立了有限群特征标理论的基础。
第一篇文章《可交换矩阵》是弗罗贝尼乌斯定义一般群特征标概念之前的基础性工作。在第二篇文章《群的特征标》中, 他开始尝试定义新的特征标, 弗罗贝尼乌斯认为群的特征标可以看作是这个群上的复值函数, 并且在同一共轭类的元素上的函数值相等, ([7], pp.14-15) 换句话说就是这个群上的类函数。在定义这些特征标之后, 弗罗贝尼乌斯给出了 (不可约) 特征标之间的第一和第二正交关系, 并将所有不相等的特征标在每个共轭类代表元素上的函数值排成一个矩阵, 今天称之为特征标表, 特征标表蕴含了群结构的大量信息。
同时, 这篇文章有趣的地方在于弗罗贝尼乌斯提出直接从群论出发改善这个新的群特征标理论, 而不再使用群行列式, 因为直接从群的结构出发去考虑特征标可以使戴德金特征标的一般化更为直接。正如他在给戴德金的回信中说道:
“我在考虑改善我到目前为止得到的所有结果, 我做的第一件事情是重新考虑行列式的重要性, 这个不可思议的想法来源于:我已经尝试直接从群论出发去得到这些结果……” ([8], p.477)
诚然, 解决群行列式的分解问题还是要颇费周折的, 因为要描述那些不可约因子, 还要确定它们的幂次。所以在第三篇文章《群行列式的素因子》中, 弗罗贝尼乌斯主要解决戴德金提出的群行列式的分解问题, 他文章的开始部分便指明了群行列式的不同的不可约因子的个数等于群中共轭类的数目, 不可约因子的次数等于它的幂次, 并将后者称为“群行列式理论的基本定理”。 ([7], p.39) 弗罗贝尼乌斯的证明方法虽复杂难懂, 但却为其后面群表示论的工作奠定了基础。
2. 有限群表示理论的建立
弗罗贝尼乌斯意识到1896年的三篇文章开创了新的数学领域, 而群行列式分解的结果则给他提供了强有力的工具。在1897-1907年间, 弗罗贝尼乌斯发表了二十多篇论文, 从各个方面拓展了群特征标理论和群表示论, 并且将这些结果应用到有限群论上。
在19世纪下半叶, 弗罗贝尼乌斯在矩阵领域做出了重要贡献, 所以此时矩阵成为他的有力工具。考虑借助具体的矩阵来研究抽象的群, 弗罗贝尼乌斯将这一想法付诸实施, 在《论有限群线性变换》中他引入了“矩阵表示”的概念, 定义表示是从抽象群到可逆矩阵群的同态。此外, 他还引进了完全可约表示和不可约表示的概念, 利用不可约表示, 弗罗贝尼乌斯定义特征标是不可约表示的迹函数, [11]其重大意义在于发展了特征标的计算性质。
在相继的文章《群与其子群特征标之间的关系》和《群特征标的合成》中, 弗罗贝尼乌斯实现了特征标的基本计算和应用。正如他在文章开头说道:
“在我的工作《群的特征标》中, 我已经对有限群的特征标给出了一般的计算方法, 并且通过一系列例子阐明了它的实际应用。但是由于它对复杂的群的应用还是存在大量的困难, 所以我通过线性代换去寻求群特征标和本原表示, 并且我已经找到了两个完全不同的方法, 这在特殊情况下可以实现这些目标且比一般方法更简单。” ([7], p.104)
这两个计算方法具有重要的历史意义, 第一个方法“特征标的合成”激发弗罗贝尼乌斯建立了我们现在所称的诱导特征标和诱导表示, 第二个方法是在子群的不可约特征标已知的情况下, 利用群的不可约特征标与子群的不可约特征标之间的关系, 可以确定一个更大的群的不可约特征标。在之后的文章中, 弗罗贝尼乌斯还研究了对称群和交错群的特征标理论。
此外, 弗罗贝尼乌斯还坚持将这些理论应用到有限群的结构上的目标。例如, 利用特征标理论证明“弗罗贝尼乌斯群存在真正规子群”的方法仍然保持魅力, 直到今天还没有这个理论的纯粹群论的证明, 由此可以看出群表示论对研究群论所产生的巨大威力。
三、追随者们的贡献
弗罗贝尼乌斯的系列文章标志着一个新理论的开始, 这个新理论在之后的几十年朝着各个方向继续发展。除了弗罗贝乌斯本人对这个理论做出了重大贡献外, 还有许多新的观点、视角和方向来自于他的追随者们。
1. 伯恩塞得独立发展群表示论
当弗罗贝尼乌斯开始将注意力集中于抽象有限群论时, 伯恩塞得 (William Burnside, 1852-1927) 也开始研究这一领域, 在弗罗贝尼乌斯的群特征标理论和群行列式分解的文章出现时, 伯恩塞得已经看到这些内容和自己的研究之间的联系。
与弗罗贝尼乌斯不同的是, 伯恩塞得的方法在本质上很接近莫里 (Theodor Molien, 1861-1941) 的思想, 所以他打算利用李群和李代数的方法独立地得到弗罗贝尼乌斯的群特征标和群表示论早期文章中的主要结果, 在伯恩塞得的方法之下, 群行列式的因式分解不再占据群表示论的中心位置。正如他在1903年发表的文章中说道:
“弗罗贝尼乌斯发展这些理论的实际出发点是与置换矩阵相联系的代数理论。在接下来的讨论中, 我们使用的方法将很大程度上利用矩阵的性质。在我的文章中, 我已经对弗罗贝尼乌斯使用的方法进行了说明, 虽然我的方法和他的完全不同, 但却更为直接, 这些方法包括考虑连续群的性质。”[12]
1903-1905年是伯恩塞得极具创造力的时期, 这期间他发表的一系列文章为有限群表示论做了基础性的贡献。根据不可约表示和完全可约表示的概念, 他对有限群表示的分类进行了清楚地分析, 而他最为卓越的成就则是利用群特征标这个有力工具证明了“伯恩塞得定理”, 这是在分析有限群的结构以及与之相联系的有限单群分类问题上的关键一步。这些内容大都写在1911年发表的《有限阶群论》 (第二版) 中, 与第一版相比, 第二版中除了多出一些群论的新方法外, 还对有限群的表示理论给出了全面的说明, [13]这是世纪之交时杰出的群论着作。
2. 舒尔建立群表示论的新基础
弗罗贝尼乌斯和伯恩塞得的工作为有限群表示论建立了坚实的基础, 然而新学科的发展道路依然障碍重重。弗罗贝尼乌斯的学生舒尔 (Issai Schur, 1875-1941) 在群表示论的发展上迈出了重要一步, 他给这个理论引入了许多新的内容, 使更多的数学家开始关注这一分支。
在伯恩塞得之后, 舒尔以更直接和简单的方法引入弗罗贝尼乌斯的群特征标理论和群表示论。在1905年发表的《群特征标理论的新基础》中, 舒尔如此说道:
“接下来的工作包含对弗罗贝尼乌斯创立的群特征标理论更完全和基本的介绍。这个理论的描述近来已经由伯恩塞得给出, 但是伯恩塞得使用的方法远远偏离了这个主题。所以我考虑给弗罗贝尼乌斯的理论一个新的说明, 这一做法不是多余的, 而是给出了更为简单的方法。”[13]
舒尔的出发点是“舒尔引理”, 通过在这个定理上建立群特征标理论和群表示论, 他完善了弗罗贝尼乌斯有关群表示论的文章, 那些弗罗贝尼乌斯利用矩阵代数和群行列式得到的结果, 舒尔仅仅通过矩阵代数就可以得出。舒尔朝着两个方向发展了弗罗贝尼乌斯的理论, 首先是群表示论的算术性质, 即指标理论。代数数论在一些情况下已经被弗罗贝尼乌斯和伯恩塞得应用到有限群表示论, 而舒尔首次在代数数域中系统地研究表示理论。 ([13], p.157)
再一个是射影表示。受克莱因 (Felix Christian Klein, 1849-1925) 及其学生关于有限射影变换群工作的启发, 舒尔引进了有限群的射影表示, 即从抽象有限群到射影一般线性群的同态, 同时解决了一个艰难的问题:确定了对称群和交错群的所有不可约的射影表示。 ([8], pp.538-540) 有限群的射影表示是表示理论和群论的有趣结合, 同时这其中包含的思想对一个新的代数分支即上同调群的产生具有重要意义。
3. 布饶尔引入模表示
群表示论的重大进展来自舒尔的学生布饶尔 (Richard Dagobert Brauer, 1901-1977) 关于模表示论的关键性工作, 他对弗罗贝尼乌斯和舒尔的工作进行了传承, 给有限群表示论带来了新的发展。
狄克逊 (Leonard Eugene Dickson, 1874-1954) 最早对模特征标理论和模表示论进行了探索, 他指出只要代数闭域的特征不能整除群的阶, 可以仿照复数域上的常表示建立代数闭域上的表示, 但是当域的特征整除群的阶时会有不同之处。在此之后, 布饶尔与他的学生内斯比特 (Cecil James Nesbitt, 1912-2001) 对这一领域继续研究, 并合作发表了三篇重要的文章, 介绍了模表示, 模特征标和p-块理论等内容。 ([13], pp.235-243)
在引入p-块理论之后, 块的理论及其在有限群结构上的应用成为布饶尔的研究中心。布饶尔系统地研究了有限群的块理论, 在1944至1946年间得到了着名的“布饶尔第一、第二主定理”, 并写进了三篇注记中, 在第一篇注记中他说道:
“我们不能了解到群特征标的所有重要性质, 特别地, 我们对群特征标和抽象群性质之间的联系的进一步结果更感兴趣, 这方面的任何结果归根到底还是与一般有限阶群的结构有关。”[14]
布饶尔对模表示论这一工作的热爱一直持续到他晚年, 在发展模表示论的同时还寻求其在有限群结构理论上的应用。 ([13], p.270) 此外, 值得一提的是, 诺特 (Amalie Emmy Noether, 1882-1935) 也对有限群表示论做出了一些工作。诺特虽然对有限群的结构理论贡献不多, 但是她建立了群表示论和结合代数之间的联系, 这一工作奠定了结合代数及其表示理论的基础, 同时也将有限群表示论上升到一般数学理论的高度。 ([4], p.293) 在这些追随者们的工作之后, 有限群表示论继续向前发展, 为现代数学的一些重要研究领域提供了新的思想和工具。
四、结语
有限群表示论起源于19世纪对有限群结构的研究, 群特征标这个核心概念产生于数论的工作中, 戴德金对群行列式分解问题的研究激发弗罗贝尼乌斯开创群特征标理论和群表示论, 伯恩塞得和舒尔的工作进一步完善了这一理论, 布饶尔模表示论的建立使其成为较为完整的理论体系。至此, 有限群表示论占据有限群论的核心地位, 在研究有限群的结构中产生了巨大的威力, 深刻影响了20世纪数学的发展面貌。自有限群表示论创立以来, 表示论作为研究代数的主要工具也随着代数学的发展而不断完善, 随之而产生的各种群表示、代数表示也建立起来, 并且表示论也成为其他数学分支的有力工具。可以说, 20世纪代数学的发展是以表示论的发展为基本内容的, 而代数学在其他数学领域中的许多应用也是以表示论为基本工具的。
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