摘要：离散数学在大学生眼中是相对较难的一门课, 学生学习兴趣总是不容易提起来, 本文根据本人较长时间的教学经验, 提出了形象比喻法、类比法、联想法、多样法等几种方法能引起学生学习兴趣的方法。
关键词：离散数学; 学习兴趣; 教学方法;
离散数学是计算机科学与技术专业的核心基础课[1], 在计算机科学与技术专业课程体系中起到重要的基础理论支撑作用。[2]但是, 根据本人多年的教学经验表明, 由于该门课的开设比较靠前, 与一些公共数学课程同步开设, 如高等数学、线性代数等, 学生往往没有意识到该门课程的重要性, 而误将离散数学看成是一般的数学课程, 不能将离散数学课程与计算机专业知识结合起来[3]。另一方面, 离散数学课程概念繁多、理论性较强、抽象程度较高, 造成学生学习兴趣不高、教学效果不好, 学生都害怕学习甚至抗拒学习该课程。下面简要介绍几种吸引学习兴趣的离散数学教学方法。
一形象比喻法
离散数学教材大部分写的都是定义定理特别多, 但是相关对应的例题习题特别少, 如果空洞的把定义定理讲解一遍, 效果非常不好, 根据本人多年的经验, 采用比较形象的比喻法, 既可以调节气氛又可以让同学快速学习的目的。比如在讲解映射这一节的时候如下进行讲解[4]。映射概念:设A, B是两个集合, 是A到B的二元关系, 若对A中每个元素x, 有唯一的y∈B, 使得<x, y>∈, 则称为A到B的映射, 记为:σ:A→B。从这个定义看起来映射的定义字数很少, 非常简单, 但是有很多同学就是弄不明白, 或者是不是很好理解, 本人在上课的时候, 就形象的说明如下:所谓从A到B的映射就是A中的每个人都向B中的人射了一箭, 并且都射中了B中的一个人。既没有人偷懒不射, 也没有人一箭双雕。满射的定义:若σ是A到B的映射, 且对任意y∈B, 存在x∈A, 使得σ (x) =y, 则称σ是A到B上的映射, 简称满射。此时σ (A) =B。在讲解的时候, 本人把它比如成A, B两军打仗, B军全部被炮弹射中, 全军覆没, 无一幸存。单射的概念:设σ是A到B的映射, 若对x, y∈A, x≠y, 均有σ (x) ≠σ (y) , 则称σ为A到B的单射。在讲解的时候, 也是比喻成A, B两军打仗, 也就是从A军中任何一人枪里射出的子弹, 只能打中B中某一个人, 不存在一枪射中两人的情况。
二类比法
离散数学中有很多性质是类似的, 需要我们去发现, 然后给同学们指出并提醒同学们注意总结。集合论和逻辑是离散数学中重要的两块内容, 集合的运算规律和命题逻辑中运算规律十分相似。在表1中给出集合的运算规律和命题逻辑中的运算规律 (其中A, B, C代表任意的集合;P, Q, R代表任意的命题公式) 。同学们通过经常进行前后对比总结, 既可以更快的进行记忆学习, 也能更增加同学的学习兴趣。
三联想法
根据我们目前使用教材[5]在讲关系的性质的时候, 关系的性质和关系的运算中间隔了两节内容 (等价关系及关系与有向图的数据结构) , 所以前后内容很多学生连贯不起来, 并且在讲关系性质的时候 (虽然讲课时也通过了定理的逆否定理讲解) 很多同学对其中 (对称、反对称、非对称关系) 的某几个定义理解不是很透彻, 我们可以通过与关系的运算这一节内容进行综合讲解, 也就是在讲解关系运算的时候再回过头来进行讲解对称关系与反对称关系, 这样既可以达到回顾前面知识的目的, 又可以让同学们了解到对称、反对称、非对称关系的等价定理反过来帮助他们重新理解对称、反对称、非对称关系的定义。下面以反对称关系为例进行说明。教材4.4节反对称定义:若对任意x, y∈A, 由x Ry且y Rx, 可得出x=y, 则称R是反对称的;教材4.4节反对称判定定理:R是反对称的, 当且仅当R (40) R-1??。在讲解反对称关系定义的时候, 首先当x=y时, x Ry且y Rx, 根据定义可以知道是满足反对称定义的;?x, y∈A, 当x≠y时, 我是从反对称关系定义的逆否定理来讲解的:?x, y∈A, x≠y?或xR y或y Rx, 但是x Ry与y Rx不能同时成立。下面举例说明。设A={1, 2, 3, 4}, R={ (1, 2) , (1, 3) , (3, 1) , (1, 1) , (3, 3) , (3, 2) , (1, 4) , (4, 2) , (3, 4) }, 试判断R是否具有反对称性。我在讲解该题时候, 把R中元素从第一个开始选一直到最后, 即 (1, 2) ∈R, 且 (, 2) 1?R, 所以没问题; (1, 3) ∈R但 (3, 1) ∈R, 所以这就不满足反对称关系的逆否命题, 判断到这里就可以知道R不是反对称关系。同时我们可以通过反对称关系的判定定理:R是反对称的当且仅当R∩R–1?△来验证一下。因为R={ (1, 2) , (1, 3) , (3, 1) , (1, 1) , (3, 3) , (3, 2) , (1, 4) , (4, 2) , (3, 4) }, 所以R-1={ (2, 1) , (3, 1) , (1, 3) , (1, 1) , (3, 3) , (2, 3) , (4, 1) , (2, 4) , (4, 3) }, 也就有R∩R–1={ (3, 1) , (1, 3) , (1, 1) , (3, 3) }, 而△={ (1, 1) , (2, 2) , (3, 3) , (4, 4) }, 很明显R∩R-1?△不成立, 同样可以验证R不是反对称的。
表1 集合中运算的性质与命题逻辑中运算的性质对比
四多样法给出定理或习题的证明
离散定理很多, 每次课都有几个定理需要讲解, 如果一个一个的定理都按照书上的内容进行证明, 同学们会认为还不如我自己看书呢, 书上都有, 还不如我自己看书学习呢, 但是如果我们教师能通过多看相关的参考书或者是教师本人能想出多种方法证明同一个定理, 那么会大大提高同学的学习兴趣。
设A, B, C和D是集合, R是从A到B的一个关系, S是从B到C的一个关系, T是从C到D的一个关系, 那么To (SoR) = (ToS) oR。
方法一[5]。证明:关系R, S和T分别是由它们的布尔矩阵MR, MS和MT所决定的。合成矩阵是布尔矩阵的乘积, 即MSoR=MR⊙MS。因此MTo (SoR) =MSoR⊙MT= (MR⊙MS) ⊙MT, 类似地, M (ToS) oR=MR⊙ (MS⊙MT) , 因为布尔矩阵乘法是可结合的, 所以必然有 (MR⊙MS) ⊙MT=MR⊙ (MS⊙MT) , 因此MTo (SoR) =M (ToS) oR, 从而得到:To (SoR) = (ToS) oR。
这个是书上的证明方法, 该定理的证明是采用转化为关系矩阵的性质来解决的。下面给出另外一个, 直接根据关系的运算来证明。
方法二[6]。证明:任取 (x, w) ∈To (SoR) , 则存在z∈C, 使得 (x, z) ∈ (SoR) , (z, w) ∈T, 又由 (x, z) ∈ (SoR) 知, 存在y∈B, 使得 (x, y) ∈R, (y, z) ∈S再由 (y, z) ∈S且 (z, w) ∈T知, (y, w) ∈ToS。最后由 (x, y) ∈R, (y, w) ∈ToS, 推出 (x, w) ∈ (ToS) oR。于是有To (SoR) ? (ToS) oR。
同理可证, (ToS) oR?To (SoR) 。总之, 我们有:To (SoR) = (ToS) oR。
五结束语
想提高同学们的学习兴趣还有很多方法, 由于篇幅关系就不再一一列举, 并且每位老师有不同的方法, 本人只是列举以上几个方法, 希望对各位有个参考。
参考文献
[1]滕旭, 高敬华.数学思想方法介绍与教学实践[J].教育现代化, 2017, 4 (26) :136-137+142.
[2]王胜奎, 徐光辉, 王家军, 等.普通院校“信息与计算科学专业”课程体系优化研究[J].数学教育学报, 2009, 18 (05) :99-102.
[3]高师理科学刊2017年第37卷总目次[J].高师理科学刊, 2017 (12) :1-12.
[4]李本义.构建科学合理的通识教育课程体系[J].通识教育研究, 2015 (00) :46-57.
[5]Bernard Kolman等编.罗平译.离散数学结构[M].北京:高等教育出版社, 2017.
[6]刘任任.离散数学[M].湖南:中南大学出版社, 2005.
