０引言
ＤＩＣＫＥＹ与ＦＵＬＬＥＲ提出了带有独立同分布且方差有限的误差项情形下的单位根检验，即着名的Ｄｉｃｋｅｙ－Ｆｕｌｌｅｒ检验．近３０年来，该检验被广泛地应用于计量经济学的非平稳性检验．然而，现实的计量经济模型中经常会遇到误差项不具有独立同分布这一特殊的属性．因此该检验被大量地推广以适应各种不同的情形，如相依的误差、异方差或重尾等．ＡＲＣＨ模型和ＧＡＲＣＨ模型被广泛地应用于刻画金融市场的波动性，其反映了金融市场中的相依性和重尾属性．本文将讨论由ＧＡＲＣＨ误差驱动的单位根过程的检验问题。
考虑如下带有广义自回归条件异方差（ＧＡＲＣＨ误差项）和常数趋势项的单位根过程：
这里的μｎ，?ｎ为２个未知参数，μｎ为随着ｎ变动的参数，?ｎ＝１，ｙ０ ＝０，ｐ和ｑ为已知的非负整数，ω＞０，对ｉ＝１，２，…，ｐ，αｉ≥０，对ｊ＝１，２，…，ｑ，βｊ≥０，且更新项｛ｚｔ｝是数学期望为０，方差为１的独立同分布随机变量序列．当μｎ＝０，且?ｎ＝１时，式（１）即是熟知的单位根模型．对于带有ＧＡＲＣＨ误差项的单位根模型，已经有许多学者对其进行了深入的研究，如文献［５］讨论了ＧＡＲＣＨ（１，１）误差下的单位根过程的最小二乘估计和极大似然估计；文献［６］讨论了同一模型的一步局部拟似然估计．这２篇文章中的估计量的渐近分布都是在Ｅｕ２ｔ＜ ∞与Ｅｚ４ｔ＜ ∞的条件下得到的．文献［７］在误差项与更新项都只有有 限 二 阶 矩 的 条 件 下 得 到 了 这 一 模 型 的Ｄｉｃｋｅｙ－Ｆｕｌｌｅｒ检验统计量的渐近分布．文献［８］讨论了带有ＡＲＦＩＭＡ－ＧＡＲＣＨ误差的单位根过程的检验问 题；文 献 ［９］利 用ＬＡＤ估 计 讨 论 了 带 有ＧＡＲＣＨ（ｐ，ｑ）误差项的单位根过程，并在误差项与更新项都只有有限二阶矩存在的条件下推导出了估计量的渐近分布．当μｎ＝０，且?ｎ ＜１为固定常数时，式（１）即为平稳过程．这时的最小二乘估计量＾?ｎ的极限分布与单位根情形是完全不同的．当μｎ ≠０且?ｎ＝１时，模型（１）为带有常数趋势的单位根过程，虽然只是形式上的微小区别，但是其估计量的渐近分布性质与μｎ＝０的情形是非常不同的．关于这个模型的统计推荐细节参见文献［１０］．本文的目的是在误差项与更新项都只有有限二阶矩存在的条件下，研究带有ＧＡＲＣＨ（ｐ，ｑ）误差与常数趋势的模型（１）的Ｄｉｃｋｅｙ－Ｆｕｌｌｅｒ检验统计量的渐近分布．这个结果推广了文献［７］的结果．
１主要结果
１．１模型与假设
假设ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ为观察值．则模型（１）中的参数?ｎ的最小二乘估计量为
如文献［１１］所示，假设Ａ意味着｛ｕｔ｝是严格平稳序列且其二阶矩Ｅｕ２ｔ＝σ２ｕ＜ ∞．且ｓ２ｎ＝ｎσ２ｕ，然而可能对任意小的δ＞０，有Ｅｕ２＋δｔ＝ ∞．
１．２ Ｄｉｃｋｅｙ－Ｆｕｌｌｅｒ检验统计量的渐近分布
本文的主要结果如下．定理１令ｙｔ为模型（１）与（２）所产生的数据，且假设Ａ成立．那么
２定理的证明
２．１几个引理
首先需要下面２个引理．引理１假设Ａ成立，那么
理２假设Ａ成立，那么当ｎ→ ∞时，对所有的ε＞０，有
引理１与引理２的证明详见文献［１１］．
２．２定理１的证明
注意到｛ｕｔ｝是一个鞅差序列．由引理１、引理２和文献［１２］的定理４．１，有
这里的［ｘ］表示不大于ｘ的最大的整数，“?”表示在被赋予Ｓｋｏｒｏｈｏｄ拓扑的 空间上的弱收敛，且Ｗ（ｔ）为标准的布朗运动．再由引理１，有
参考文献（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ）：
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