摘要：积分学不仅是高等数学的重要组成部分，而且是解决实际问题的有效方法之一。本文主要研究高等数学中各种积分在几何上的应用。
关键词：高等数学; 积分; 几何应用;
高等数学中的各种积分概念一般都是由几何实例引出其一般的模型概念的[1,2]。有了积分概念之后，积分又可以用来求解几何上的一些问题。本文主要研究各种积分在几何上的应用。
在一元函数积分中，我们知道，如果所求量通过划分、近似代替、求和、取极限过程表示为一类和式的极限，那么，这个量就可以用定积分表示，如。然后，把这种思想推广到平面区域、空间区域、曲线或者曲面，函数推广成二元函数、三元函数，就得到重积分、曲线积分和曲面积分。
二重积分为，三重积分为，
曲线积分为，曲面积分为。
这些积分都可以用来解决几何上的实际问题。
一、积分在几何上的应用
(一)利用积分可以求平面图形的面积
1. 由定积分几何意义可知，定积分可以求平面图形面积
例1求由曲线y=ln x与直线y=(e+1)-x和直线y=0所围成的平面图形面积。
解：由定积分几何意义可知平面图形面积为
2. 二重积分当被积函数为1时，表示的是平面积分区域的面积
例2求由曲线y=x2-2与y=x所围成的平面图形的面积。
解：求出两个曲线的交点为(-1,-1),(2,2)，因此，图形面积为
(二)利用积分可以求空间立体的体积
1. 由二重积分几何意义知，二重积分可以求空间立体的体积
例3求以曲面z=x2y为顶，以平面区域D:0≤x≤1,0≤y≤1为底的曲顶柱体的体积。
解：由定积分几何意义可知曲顶柱体体积为
2. 三重积分当被积函数为1时，表示的是空间积分区域的体积
例4求有两个旋转抛物面z=2-x2-y2与z=x2+y2所围成的空间立体的体积。
解：记两个抛物面所围成的空间立体为Ω，Ω在xoy面上的投影区域为Dxy:x2+y2≤1，则体积为
(三)利用积分可以求曲线的弧长
1. 若积分弧段为平面曲线弧，当被积函数为1时，表示平面曲线的弧长
例5计算星形曲线x=acos3t,y=asin3t的长度。解：记星形曲线为L,L1为其在第一象限的部分，
2. 若积分弧段为空间曲线弧，当被积函数为1时，表示空间曲线的弧长
例6设Γ为螺旋线方程，为x=a cosθ，y=a sinθ，z=bθ，求其上相应于t从0变到2π的曲线弧长。
解：空间曲线弧长可表示为
(四)利用积分可以求曲面块的面积：若积分区域为空间曲面时，当被积函数为1时，曲面积分表示曲面的面积
例7求锥面z=被柱面z2=2x割下的部分的面积。
解：记z=被柱面z2=2x割下的部分为Σ，在xoy面上投影区域为Dxy:x2+y2≤2x，则曲面面积为
二、结论
积分不仅可解决几何问题，而且可以用来解其他的实际问题，如利用积分可求平面薄片的质量以及空间物体的质量，还可求立体的重心、转动惯量和物体之间的引力等。
参考文献
[1]同济大学数学系.高等数学[M].7版.北京:高等教育出版社,2014.
[2]朱士信,唐烁,宁荣健.高等数学习题全解指南[M].北京:中国电力出版社,2008.
