数学活动中类比数学思维的发展过程

数学思维论文第六篇：数学活动中类比数学思维的发展过程

 

　　摘要：思维的发展是数学课程目标的核心要义。在对数学基本活动经验中的类比经验研究的基础上,教师可探究类比中数学思维的四个发展过程:对比观察寻找关联点、调动潜意识体悟生长点、归纳推理达成创新点及演绎推理突破拓展点。教师深入探究学生类比活动中的思维过程,帮助学生提升数学思维水平,对实现数学学科的育人价值大有裨益。

 

　　关键词：类比过程; 数学思维; 小学数学;

 

　　数学基本活动经验可分为基本的几何操作经验、基本的数学思维活动经验和基本的综合运用经验三个大类,[1]类比的经验属于基本的数学思维活动经验。类比是一种从特殊到一般、从已知到未知,对原有知识进行比较、拓展后形成新知识的推理方式。学生进行类比活动,降低学习难度,积累学习经验,理解各知识点之间的关联度,提高抽象思维能力、数学理解能力、知识创新能力、判断能力和解决问题的能力。教师深入探究学生类比活动中的思维过程,帮助学生提升数学思维水平,对实现数学学科的育人价值大有裨益。在相关课例研究中,笔者归纳概括出了类比中数学思维的四个发展过程。

 

　　一、对比观察寻找关联点

 

　　在类比活动中,教师引导学生在当前的问题情境和相关情境间找到相同事物的不同之处或不同事物的相似之处,并以此为依据,把未知的事物与已知的事物关联起来。这是思维活动的开始。在此,对比观察至关重要。

 

　　观察智力是人体智力结构的一大要素。观察就是让学生通过视觉器官对事物、数学问题以及数学知识有一个直观的把握,然后将获取的信息在大脑中进行再加工,运用思维辨认内在本质,对知识进行进一步的理解,从而更好地把握数学知识、发现数学规律以及掌握数学性质。[2]类比活动中的观察与一般意义的观察的显着不同之处,就是观察的对象是两个(两类)或者数量更多。这个时候,学生需要运用的是对比观察法。小学阶段学生的思维特点是以形象思维为主,向抽象思维过渡,学生在对比观察中,需要借助的是具体实物或图像,并由此展开必要的想象。

 

　　人教版小学数学教材第七册“线段、直线、射线”一课中,教师创设这样的情境:“打开手电筒,先将光射向墙壁,再将光射向窗户外的遥远天空。你看到的线有何不同?能说一说,并把它们分别表示出来吗?”学生看到了实物,并在对比观察中将实物进行抽象,抓住其本质:“直线”和“端点”,继而展开想象,有了“可否延长”的思考。同中求异,学生对两种线有了最初的认识:“线段和射线两种线,同为直线,但前者有两个端点,后者只有1个端点,可向一边无限延长。”当学生会用语言描述和图形表示手电筒的光线时,教师还可以出示其他事物,当学生所获得的实例达到一定数量后,教师应引导学生对所描述的事物或表示的图形进行分类。分类与聚类同属一个心理过程——既是对不同点的分类,也是对相同点的聚类。看似不同的“两把手电筒尾部相接,光线射向没有阻挡的左右两端”和“笔直的,没有起点,没有尽头的公路”两种抽象后的线,同属一类,便是学生通过观察找到了它们的相同点:“直线,没有端点,能向两端无限延长。”事物之间,通过相同中的不同或不同中的相同,发生牵连和影响,便是我们研究中的关联点。我们要引导学生通过对比观察,找到关联点,由此打开思维的大门。

 

　　二、调动潜意识体悟生长点

 

　　新知嫁接到旧知的枝干上,知识结构方能根深叶茂。新旧知识的连接点被学生有所体悟便能成为学生认知的成长点。从经验积累的角度上看,学生主体作用越凸显,其个体经验的积累成效就越好。新知的生长点,如果让学生主动体悟,并生发“愤悱”的情绪,对后续学习的展开、学生思维的培养,将起到事半功倍的效果。此时,唤醒和调动学生的潜意识参与是关键。

 

　　所谓的潜意识是指人们已经发生但未达到意识状态的心理活动过程。我们主张学生有更多的生活经历,虽然在此过程中的生活问题并没有很好地完成数学化的过程,但这样的经历对丰富学生表象,形成一定的数学潜意识是大有帮助的。有了数学潜意识,学生进一步思维就有了鲜活的表象支撑,思维的效度、深度就能大大加强。学生的思维无法继续延伸和拓展,主要是因为“学生想不下去”,在知识生发阶段,学生思维表象的依据不足。类比活动中的潜意识培养,需要教师在日常教学中不断地创设相关表象,让学生对比感知并作为思维素材累积沉淀,教师还要创设相应的类比活动,把学生的原有经验唤醒出来。

 

　　人教版小学数学教材第十册“分数的意义”是一节很有研究价值的课例,理解单位“1”是学生理解分数意义的关键。“把一个物体平均分成四份,其中的一份可以用四分之一表示,一些物体的四分之一该如何表示呢?”这是新知的生长点。学生对于一些物体的四分之一的认识是有潜意识的,部分学生完全可以通过知识迁移,表示出一些物体的四分之一。当个别学生表示出“8个糖果的四分之一”后,教师逐一引出四个具有导向性的问题,帮助学生在类比中理解“一个整体”、单位“1”、分数的意义。问题一:“我看到的这份是两颗糖,怎么是四分之一呢?”问题二:“还能把什么看成一个整体,表示出四分之一?”问题三:“这些图示各不相同,但为什么都能用四分之一来表示?”问题四:“一个整体的‘1’和一个物体的‘1’有什么不同之处?”学生在对这些问题的类比中,完成了对四分之一的建构。如果没有潜意识的参与,新旧知的类比的完成就缺乏基础,新知的发展也就不稳定,犹如空中楼阁。

 

　　三、归纳推理达成创新点

 

　　学生在数学思维中的创新可以理解为模拟的创新过程,而非完全意义的科学上的创新。前者的要求是浅层次的,只要是从未知到已知的合理性归纳概括就可成为学生的创新过程。归纳推理是从特例到一般结论的过程,在这个过程中,类比活动的参与,能让学生更好地把握特例到一般结论的合理性,从已知到未知的这个创新点将能得到较好的突破。

 

　　在教学人教版小学数学教材第九册“平行四边形的面积”时,笔者引导学生大胆猜测并验证平行四边形的面积计算方法,然后以半开放的方式为学生提供两种学习材料:有格子的平行四边形和没有格子的平行四边形,让学生根据自己的学习基础和学习需要选择材料进行验证。这个过程既是充分尊重学生已有的知识技能基础和活动经验,让学生选择合适的方法,又是让学生在不同的方法之中进行类比、辨析,深入理解割补法的可行性、简易性和对应性。有不少学生受原有知识的影响会选择“数格子的方法”,计算格子“不满一格按半格算的不科学”,让学生对“数格子”的方法进行改良——把不完整的格两两对应凑完整格,再到一些格子一次性割补凑成长方形,最后到没有格子也可以割补,形成长方形,找到对应关系,求得它的面积。在这一系列过程中,不同方法的类比,相同方法中前后图形的类比,都为学生的思维纵深发展打开了空间。在知识的归纳概括的创新过中,学生的思维也得到了发展。

 

　　四、演绎推理突破拓展点

 

　　在归纳推理和演绎推理两种推理方式中,教师曾经强调演绎推理,从一般到特殊,让学生多解题、多练习,以此提高学习效果,或直接把目标窄化为提高成绩,而将归纳过程草草应付。新课程改革近20年来,注重过程轻视结果的现象也曾出现。其实,从思维的过程与结果相统一的理念上看,归纳推理和演绎推理同等重要。在学生利用一般性结论解决实际问题时,类比活动的参与,可沟通归纳推理和演绎推理的联系,沟通问题之间的联系,并进一步对归纳推理产生的结论有所拓展。如此,学生举一反三的能力,类比迁移的能力就更强,学习也就更有张力。

 

　　以人教版小学数学教材第六册“重叠问题”为例,学生完成基础题后,教师设计了这样的练习:“妈妈昨天买了5种蔬菜,今天买了4种蔬菜,两天都买的可能有几种?最少几种?最多几种?请把不同的情况分别用图式表示出来。”这样的练习,既是构建了应用集合思想、韦恩图解决问题的模式,又是对问题的进一步尝试解决。通过类比,比较知识探究的情景与解决方法的异同,学生进一步拓展思维和视角,拓展重叠问题的其他情况,即不重叠和全部重叠两种极限情况。再者,也是一种变式求重叠部分人数的情况,体现了灵活应用知识的思维过程。

 

　　思维的发展是数学课程目标的核心要义。在数学中,无论是对比观察、调动潜意识的思维初级阶段,还是归纳推理、演绎推理的思维高级阶段,教师都可将类比活动设计其中,合理运用。如此,知识的关联点、生成点、创新点、拓展点都能得到较好的参照和达成,学生思维也伴随此过程得到发展。

 

　　参考文献

 

　　[1] 肖淑芬.小学生数学基本活动经验积累“四段”论[J].厦门广播电视大学学报,2014(11):68.

　　[2] 王碧珠.指导观察,培养数学思维能力[J].教书育人,2018(9):59.